第七部分静电场 第一讲基本知识介绍 在奥赛考纲中,静电学知识点数目不算多,总数和高考考纲基本相同,但在个别知识点上,奥 赛的要求显然更加深化了:如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的 极化等。在处理物理问题的方法上,对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。 如果把静电场的问题分为两部分,那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究,高考考纲 比较注重第二部分中带电粒子的运动问题,而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。 也就是说,奥赛关注的是电场中更本质的内容,关注的是纵向的深化和而非横向的综合。 电场强度 1、实验定律 库仑定律 内容 件:(1)点电荷,(2)真空,(3)点电荷静止或相对静止。事实上,条件(1)和(2)均不能视为对库 仑定律的限制,因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体,非真空介质可以通 过介电常数将k进行修正(如果介质分布是均匀和“充分宽广”的,一般认为k′=k/er)。只有 条件(3),它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用 的) b、电荷守恒定律 叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 电场的概念:试探电荷(检验电荷);定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段 电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性) b、不同电场中场强的计算 决定电场强弱的因素有两个:场源(带电量和带电体的形状)和空间位置。这可以从不同电 场的场强决定式看出 ()点电荷:E=k 结合点电荷的场强和叠加原理,我们可以求出任何电 场的场强,如 (2)均匀带电环,垂直环面轴线上的某点P: G+R,其中r和R的意义见图71 图7-1 (3)均匀带电球壳
第七部分 静电场 第一讲 基本知识介绍 在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥 赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的 极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。 如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲 比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。 也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。 一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律 内容； 条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库 仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通 过介电常数将 k 进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为 k′= k /εr）。只有 条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用” 的）。 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段； 电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。 b、不同电场中场强的计算 决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电 场的场强决定式看出—— ⑴点电荷：E = k 2 r Q 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电 场的场强，如—— ⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点 P：E = 2 3 2 2 (r R ) kQr + ，其中 r 和 R 的意义见图 7-1。 ⑶均匀带电球壳
内部:E内=0 外部:E=k,其中r指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的(内径R1、外径R2),在壳体中(R <r<R): E=4nk且,其中p为电荷体密度。这个式子的物理意 义可以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解 (p4r2-R)即为图72中虚线以内部分的总电量… 图7-2 (4)无限长均匀带电直线(电荷线密度为):E=2x (5)无限大均匀带电平面(电荷面密度为0):E=2rko 、电势 1、电势:把一电荷从P点移到参考点Po时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值,即 U 参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。 和场强一样,电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点,U=k9 b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点,U外=k9,U=k 3、电势的叠加 由于电势的是标量,所以电势的叠加服从代数加法。很显然,有了点电荷电势的表达式和叠加 原理,我们可以求出任何电场的电势分布 4、电场力对电荷做功 静电场中的导体 静电感应→静电平衡(狭义和广义)→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义 a、导体内部的合场强为零;表面的合场强不为零且一般各处不等,表面的合场强方向总是 垂直导体表面。 b、导体是等势体,表面是等势面 c、导体内部没有净电荷:孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率 2、静电屏蔽
内部：E 内 = 0 外部：E 外 = k 2 r Q ，其中 r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的（内径 R1 、外径 R2），在壳体中（R1 ＜r＜R2）： E = 2 3 1 3 r r R k 3 4 − ，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意 义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解 〔 (r R ) 3 4 3 3 − 即为图 7-2 中虚线以内部分的总电量…〕。 ⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E = r 2k ⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ 二、电势 1、电势：把一电荷从 P 点移到参考点 P0 时电场力所做的功 W 与该电荷电量 q 的比值，即 U = q W 参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。 和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点，U = k r Q b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点，U 外 = k r Q ，U 内 = k R Q 3、电势的叠加 由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加 原理，我们可以求出任何电场的电势分布。 4、电场力对电荷做功 WAB = q（UA － UB）= qUAB 三、静电场中的导体 静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义—— a、导体内部的合场强 ．．．为零；表面的合场强 ．．．不为零且一般各处不等，表面的合场强 ．．．方向总是 垂直导体表面。 b、导体是等势体，表面是等势面。 c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽
导体壳(网罩)不接地时,可以实现外部对内部的屏蔽,但不能实现内部对外部的屏蔽:导体 壳(网罩)接地后,既可实现外部对内部的屏蔽,也可实现内部对外部的屏蔽。 四、电容 1、电容器 孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式C= b、决定式。决定电容器电容的因素是:导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类,所以不 同电容器有不同的电容 (1)平行板电容器C= d,其中E为绝对介电常数(真空中E0-4k其它介 质中ε=1),ε,则为相对介电常数,Er=三 (2)柱形电容器:C= (3)球形电容器:C=ERR k(R,-R 3、电容器的连接 、串联1=1+1+1+…+1 b、并联C=C1+C2+C3+…+Cn 4、电容器的能量 用图7-3表征电容器的充电过程,“搬运”电荷做功W就是图中 阴影的面积,这也就是电容器的储能E,所以 oU C=} 电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场? 正确答案是后者,因此,我们可以将电容器的能量用场强E表示。 对平行板电容器E=E2 图7-3 认为电场能均匀分布在电场中,则单位体积的电场储能w=-E2。而且,这以结论适用 于非匀强电场。 五、电介质的极化 、电介质的极化 a、电介质分为两类:无极分子和有极分子,前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电 荷“重心”彼此重合(如气态的H2、O2、N2和CO2),后者则反之(如气态的HO、SO2和液
导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体 壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。 四、电容 1、电容器 孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式 C = U Q b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不 同电容器有不同的电容 ⑴平行板电容器 C = 4 kd rS = d S ，其中ε为绝对介电常数（真空中ε0 = 4 k 1 ，其它介 质中ε= 4 k 1 ），εr则为相对介电常数，εr = 0 。 ⑵柱形电容器：C = 1 2 r R R 2kln L ⑶球形电容器：C = k(R R ) R R 2 1 r 1 2 − 3、电容器的连接 a、串联 C 1 = C1 1 + C2 1 + C3 1 + … + Cn 1 b、并联 C = C1 + C2 + C3 + … + Cn 4、电容器的能量 用图 7-3 表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功 W 就是图中 阴影的面积，这也就是电容器的储能 E ，所以 E = 2 1 q0U0 = 2 1 C 2 U0 = 2 1 C q 2 0 电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？ 正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强 E 表示。 对平行板电容器 E 总 = 8 k Sd E 2 认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能 w = 8 k 1 E 2 。而且，这以结论适用 于非匀强电场。 五、电介质的极化 1、电介质的极化 a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电 荷“重心”彼此重合（如气态的 H2 、O2 、N2和 CO2），后者则反之（如气态的 H2O 、SO2 和液
态的水硝基笨) b、电介质的极化:当介质中存在外电场时,无极分子会变为有极分子,有极分子会由原来 的杂乱排列变成规则排列,如图74所示 2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷 a、束缚电荷与自由 电荷:在图7-4中,电介 C+ G+ 质左右两端分别显现负 电和正电,但这些电荷并 不能自由移动,因此称为 束缚电荷,除了电介质 导体中的原子核和内层 图74 电子也是束缚电荷;反 之,能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上,导体中存在束缚电荷与自由电荷,绝缘体中 存在束缚电荷和自由电荷,只是它们的比例差异较大而已 b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷,就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观 过剩电荷是相对极化电荷来说的,它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重 要区别是:前者能够用来冲放电,也能用仪表测量,但后者却不能 第二讲重要模型与专题 、场强和电场力 【物理情形1】试证明:均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。 如图7-5所示,在球壳内取一点P,以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体,锥体与球 面相交得到球面上的两个面元△S1和△S2,设球面的电荷面密度为σ,则这两个面元在P点激发 的场强分别为 △E2=k 为了弄清ΔE1和△E2的大小关系,引进锥体顶部的立体角△ 2a=△9=s0g ,显然 所以△E1=k9,△E2=k2,即:△E1=△E2 图7-5 而它们的方向是相反的,故在P点激发的合场强为零 同理,其它各个相对的面元△S3和ΔS4、ΔSs和ΔS6…激发的合场强均为零。原命题得证
态的水硝基笨） b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来 的杂乱排列变成规则排列，如图 7-4 所示。 2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷 a、束缚电荷与自由 电荷：在图 7-4 中，电介 质左右两端分别显现负 电和正电，但这些电荷并 不能自由移动，因此称为 束缚电荷，除了电介质， 导体中的原子核和内层 电子也是束缚电荷；反 之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也 存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。 b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图 7-4 中电介质两端显现的电荷。而宏观 过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重 要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。 第二讲 重要模型与专题 一、场强和电场力 【物理情形 1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。 如图 7-5 所示，在球壳内取一点 P ，以 P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球 面相交得到球面上的两个面元ΔS1 和ΔS2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在 P 点激发 的场强分别为 ΔE1 = k 2 1 1 r S ΔE2 = k 2 2 2 r S 为了弄清ΔE1 和ΔE2 的大小关系，引进锥体顶部的立体角Δ Ω ，显然 2 1 1 r S cos = ΔΩ = 2 2 2 r S cos 所以 ΔE1 = k cos ，ΔE2 = k cos ，即：ΔE1 = ΔE2 ， 而它们的方向是相反的，故在 P 点激发的合场强为零。 同理，其它各个相对的面元ΔS3 和ΔS4 、ΔS5 和ΔS6 … 激发的合场强均为零。原命题得证
【模型变换】半径为R的均匀带电球面,电荷的面密度为σ,试求球心处的电场强度。 【解析】如图7-6所示,在球面上的P处取一极小的面元 △S,它在球心O点激发的场强大小为 △E=k,方向由P指向O △S 无穷多个这样的面元激发的场强大小和△S激发的完全相 同,但方向各不相同,它们矢量合成的效果怎样呢?这里我们 要大胆地预见一—由于由于在x方向、y方向上的对称性,Σ ∑ 0,最后的∑E=∑E2,所以先求 △E2=△Ecos0=ksos°,而且△Scos0为面元在xoy 图7-6 平面的投影,设为△S′ 所以ΣE ∑ΔS 【答案】E=kπo,方向垂直边界线所在的平面。 〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷,面密度仍为σ,那么,球 心处的场强又是多少? 〖推荐解法〗将半球面看成4个球面,每个球面在x、y、z三个方向上分量均为km 能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量,因此ΣE=ΣE, 〖答案〗大小为kπσ,方向沿ⅹ轴方向(由带正电的一方指向带负电的一方 【物理情形2】有一个均匀的带电球体,球心在0点,半径为R,电荷体密度为ρ,球体内 有一个球形空腔,空腔球心在0′点,半径为R′,OO=a,如图7-7所示,试求空腔中各点的 场强 【模型分析】这里涉及两个知识的应用:一是均匀带电球体的场强定式(它也是来自叠加原理, 这里具体用到的是球体内部的结论,即“剥皮法则”),二是 填补法 将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电(电荷 体密度相等)的小球的集合,对于空腔中任意一点P,设OP =r1,Op=r2,则大球激发的场强为 Xkpr,方向由0指向P E? 图7-7
【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。 【解析】如图 7-6 所示，在球面上的 P 处取一极小的面元 ΔS ，它在球心 O 点激发的场强大小为 ΔE = k 2 R S ，方向由 P 指向 O 点。 无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS 激发的完全相 同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们 要大胆地预见——由于由于在 x 方向、y 方向上的对称性，Σ Eix = Σ Eiy = 0 ，最后的ΣE = ΣEz ，所以先求 ΔEz = ΔEcosθ= k 2 R Scos ，而且ΔScosθ为面元在 xoy 平面的投影，设为ΔS′ 所以 ΣEz = 2 R k ΣΔS′ 而 ΣΔS′= πR 2 【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的平面。 〖学员思考〗如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球 心处的场强又是多少？ 〖推荐解法〗将半球面看成 4 个 8 1 球面，每个 8 1 球面在 x、y、z 三个方向上分量均为 4 1 kπσ， 能够对称抵消的将是 y、z 两个方向上的分量，因此ΣE = ΣEx … 〖答案〗大小为 kπσ，方向沿 x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。 【物理情形 2】有一个均匀的带电球体，球心在 O 点，半径为 R ，电荷体密度为 ρ ，球体内 有一个球形空腔，空腔球心在 O′点，半径为 R′， OO = a ，如图 7-7 所示，试求空腔中各点的 场强。 【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理， 这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是 填补法。 将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷 体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点 P ，设 OP = r1 ， OP = r2 ，则大球激发的场强为 E1 = k 2 1 3 1 r r 3 4 = 3 4 kρπr1 ，方向由 O 指向 P
“小球”激发的场强为 E2= k kpπr2,方向由P指向0 和E2的矢量合成遵从平行四边形法则,ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1∑E和空间位 置三角形OP0′是相似的,ΣE的大小和方向就不难确定了 【答案】恒为kpπa,方向均沿0→0′,空腔里的电场是匀强电场。 学员思考〗如果在模型2中的OO连线上O一侧距离O为b(b>R)的地方放一个电量为 q的点电荷,它受到的电场力将为多大? 〖解说〗上面解法的按部就班应用 〖答〗5mkpq(bb-a 、电势、电量与电场力的功 【物理情形1】如图78所示,半径为R的圆环均匀带电,电荷线密度为λ,圆心在O点,过 圆心跟环面垂直的轴线上有P点,PO=r,以无穷远为参考点,试求 P点的电势UP。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取 个元段△L,它在P点形成的电势 △U=k 环共有2段,各段在P点形成的电势相同,而且它们是标量叠加 【答案】Up= 图 〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q,则U的结论为多少?如果这个总电量的分布 不是均匀的,结论会改变吗? 答p=顶R+;结论不会改变 〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳,总电量仍为Q,试问:(1)当电量均匀分布时,球 心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少?(2)当电量不均匀分布时,球心电势为多少?
“小球”激发的场强为 E2 = k 2 2 3 2 r r 3 4 = 3 4 kρπr2 ，方向由 P 指向 O′ E1 和 E2 的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1ΣE 和空间位 置三角形 OP O′是相似的，ΣE 的大小和方向就不难确定了。 【答案】恒为 3 4 kρπa ，方向均沿 O → O′，空腔里的电场是匀强电场。 〖学员思考〗如果在模型 2 中的 OO′连线上 O′一侧距离 O 为 b（b＞R）的地方放一个电量为 q 的点电荷，它受到的电场力将为多大？ 〖解说〗上面解法的按部就班应用… 〖答〗 3 4 πkρq〔 2 3 b R − 2 3 (b a) R − 〕。 二、电势、电量与电场力的功 【物理情形 1】如图 7-8 所示，半径为 R 的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在 O 点，过 圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点， PO = r ，以无穷远为参考点，试求 P 点的电势 UP 。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一 个元段ΔL ，它在 P 点形成的电势 ΔU = k 2 2 R r L + 环共有 L 2 R 段，各段在 P 点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。 【答案】UP = 2 2 R r 2 k R + 〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量 Q ，则 UP 的结论为多少？如果这个总电量的分布 不是均匀的，结论会改变吗？ 〖答〗UP = 2 2 R r kQ + ；结论不会改变。 〖再思考〗将环换成半径为 R 的薄球壳，总电量仍为 Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球 心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？
球内(包括表面)各点电势为多少? 〖解说〗(1)球心电势的求解从略 球内任一点的求解参看图7-5 △U1=kAS=k.A2·=kG△Q5 cOS oL △U2=ko△Q 它们代数叠加成AU=△U1+△U2=ko△Q5 而r1+n2=2Rcos 所以△U=2Rk0△Q 所有面元形成电势的叠加ΣU=2RkσΣ△Q 注意:一个完整球面的ΣΔΩ=4π(单位:球面度sr),但作为对顶的锥角,Σ △Q只能是2π,所以 ∑U=4mRk=kQ R (2)球心电势的求解和〖思考〗相同; 球内任一点的电势求解可以从(1)问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗(1)球心、球内任一点的电势均为kQ;(2)球心电势仍为kQ,但其它各点的电 势将随电量的分布情况的不同而不同(内部不再是等势体,球面不再是等势面) 【相关应用】如图7-9所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别 为R1和R2,带有净电量+q,现在其内部距球心为r的地方放一个 电量为+Q的点电荷,试求球心处的电势 【解析】由于静电感应,球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果 根据静电感应的尝试,内壁的电荷量为一Q,外壁的电荷量为 +Q+q,虽然内壁的带电是不均匀的,根据上面的结论,其在球心形 图7-9
球内（包括表面）各点电势为多少？ 〖解说〗（1）球心电势的求解从略； 球内任一点的求解参看图 7-5 ΔU1 = k 1 1 r S = k 1 r · • cos r 2 1 = kσΔΩ cos r 1 ΔU2 = kσΔΩ cos r 2 它们代数叠加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = kσΔΩ + cos r r 1 2 而 r1 + r2 = 2Rcosα 所以 ΔU = 2RkσΔΩ 所有面元形成电势的叠加 ΣU = 2RkσΣΔΩ 注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度 sr），但作为对顶的锥角，Σ ΔΩ只能是 2π ，所以—— ΣU = 4πRkσ= k R Q （2）球心电势的求解和〖思考〗相同； 球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为 k R Q ；（2）球心电势仍为 k R Q ，但其它各点的电 势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。 【相关应用】如图 7-9 所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别 为 R1 和 R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为 r 的地方放一个 电量为+Q 的点电荷，试求球心处的电势。 【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。 根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为 +Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形
成的电势仍可以应用定式,所以 【答案】U=k-kQ+k9+q。 R 〖反馈练习〗如图7-10所示,两个极薄的同心导体球壳A和B,半径分别为RA和RB,现 让A壳接地而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求:(1)A球壳的感应电荷量;(2)外球壳的电 势。 〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形,B壳将形成图 图7-10 示的感应电荷分布(但没有净电量),A壳的情形未画出(有净 电量),它们的感应电荷分布都是不均匀的 此外,我们还要用到一个重要的常识:接地导体(A壳)的电势为零。但值得注意的是,这里 的“为零”是一个合效果,它是点电荷q、A壳、B壳(带同样电荷时)单独存在时在A中形成 的的电势的代数和,所以,当我们以球心O点为对象,有 Uo=k±+k△+k 0 QB应指B球壳上的净电荷量,故QB=0 所以Q=-Aq ☆学员讨论:A壳的各处电势均为零,我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列?(答 不能,非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式!) 基于刚才的讨论,求B的电势时也只能求B的球心的电势(独立的B壳是等势体,球心电势 即为所求) UB= k
成的电势仍可以应用定式，所以… 【答案】Uo = k r Q － k R1 Q + k R2 Q + q 。 〖反馈练习〗如图 7-10 所示，两个极薄的同心导体球壳 A 和 B，半径分别为 RA 和 RB ，现 让 A 壳接地，而在 B 壳的外部距球心 d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求：（1）A 球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电 势。 〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B 壳将形成图 示的感应电荷分布（但没有净电量），A 壳的情形未画出（有净 电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。 此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A 壳）的电势为零。但值得注意的是，这里 的“为零”是一个合效果 ．．．，它是点电荷 q 、A 壳、B 壳（带同样电荷时）单独存在时 ．．．．．在 A 中形成 的的电势的代数和，所以，当我们以球心 O 点为对象，有 UO = k d q + k A A R Q + k B B R Q = 0 QB 应指 B 球壳上的净电荷量，故 QB = 0 所以 QA = － d R A q ☆学员讨论：A 壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对 A 壳表面上的某点去列？（答： 不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！） 基于刚才的讨论，求 B 的电势时也只能求 B 的球心的电势（独立的 B 壳是等势体，球心电势 即为所求）—— UB = k d q + k B A R Q
〖答〗(1)QA=-Aq;(2)UB=k9(1 【物理情形2】图7-11中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒,每根棒上的电荷分布 情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心,点B则与A相对bc棒对称,且已 测得它们的电势分别为UA和UB。试问:若将ab棒取走,A、B两点的电势将变为多少? 【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根 细棒也没有构成环形,故前面的定式不能直接应用。若用 元段分割→叠加,也具有相当的困难。所以这里介绍另一 种求电势的方法 每根细棒的电荷分布虽然复杂,但相对各自的中点必 然是对称的,而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相 同。这就意味着:①三棒对A点的电势贡献都相同(可设 为U1);②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同(可设为 图7-11 U2);③bc棒对A、B两点的贡献相同(为U1)。 所以,取走ab前3U1=UA 2U2+U1=U 取走ab后,因三棒是绝缘体,电荷分布不变,故电势贡献不变,所以 UA′=2U1 UB=U1+ U2 【答案】UA30A:UB=UA+UB。 〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成,各导体板带电且电势分别为U U、U和U4,则盒子中心点O的电势U等于多少? 〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性,但电量各不相同,因此对O点的电 势贡献也不相同,所以应该想一点办法 我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观:先将每一块导体板复制三块,作成-个正四 面体盒子,然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中, 每个壁的电量将是完全相同的(为原来四块板的电量之和)电势也完全相同(为U1+U2+U3+ 凵4),新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体,故新盒子的中心电势为 U"=U1+U2+U3+U4
〖答〗（1）QA = － d R A q ；（2）UB = k d q (1－ B A R R ) 。 【物理情形 2】图 7-11 中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布 情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点 A 是 Δabc 的中心，点 B 则与 A 相对 bc 棒对称，且已 测得它们的电势分别为 UA 和 UB 。试问：若将 ab 棒取走，A、B 两点的电势将变为多少？ 【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根 细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用 元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一 种求电势的方法。 每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必 然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相 同。这就意味着：①三棒对 A 点的电势贡献都相同（可设 为 U1）；②ab 棒、ac 棒对 B 点的电势贡献相同（可设为 U2）；③bc 棒对 A、B 两点的贡献相同（为 U1）。 所以，取走 ab 前 3U1 = UA 2U2 + U1 = UB 取走 ab 后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以 UA′= 2U1 UB′= U1 + U2 【答案】UA′= 3 2 UA ；UB′= 6 1 UA + 2 1 UB 。 〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为 U1 、 U2 、U3和 U4 ，则盒子中心点 O 的电势 U 等于多少？ 〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对 O 点具有对称性，但电量各不相同，因此对 O 点的电 势贡献也不相同，所以应该想一点办法—— 我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四 面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中， 每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为 U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为 U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原来的单层盒子,中心电势必为U=1U 〖答〗U=1(U2+U2+U+U ☆学员讨论:刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2″?(答:不行,因为三角形各边 上电势虽然相等,但中点的电势和边上的并不相等。) 〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半面ACB上,球面半径为R,CD为通过半球顶点C和球 心O的轴线,如图7-12所示。P、Q为CD轴线上村对O点对称的两点,已知P点的电势为Up 试求Q点的电势U 〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成 完整球面,并令右边内、外层均匀地带上电量为q的哇 PoQ+ 荷,图7-12所示。 从电量的角度看,右半球面可以看作不存在,故这 图7-12 时P、Q的电势不会有任何改变。 而换一个角度看,P、Q的电势可以看成是两者的叠加:①带电量为2q的完整球面;②带电 量为-q的半球面。 考查P点,U=k2+U半面 其中∪半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反,即U半球面=-U 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ=k2 【物理情形3】如图7-13所示,A、B两点相距2L,圆弧OCD是以B为圆心、L为半径的半 A处放有电量为q的电荷,B处放有电量为-q C 图7-13
最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = 4 1 U′ 〖答〗U = 4 1 （U1 + U2 + U3 + U4）。 ☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形 2”？（答：不行，因为三角形各边 上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。） 〖反馈练习〗电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面半径为 R ，CD 为通过半球顶点 C 和球 心 O 的轴线，如图 7-12 所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点，已知 P 点的电势为 UP ， 试求 Q 点的电势 UQ 。 〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成 完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电 荷，如图 7-12 所示。 从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这 时 P、Q 的电势不会有任何改变。 而换一个角度看，P、Q 的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为 2q 的完整球面；②带电 量为－q 的半球面。 考查 P 点，UP = k R 2q + U 半球面 其中 U 半球面显然和为填补时 Q 点的电势大小相等、符号相反，即 U 半球面= －UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ = k R 2q － UP 。 【物理情形 3】如图 7-13 所示，A、B 两点相距 2L ，圆弧 OCD 是以 B 为圆心、L 为半径的半 圆。A 处放有电量为 q 的电荷，B 处放有电量为－q