第2章逻辑代数基础逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。本章首先简要介绍了逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理，然后讲解了逻辑函数的表示和化简方法。并配有一定数量的例题，介绍了如何应用这些公式和定理化简逻辑函数。S2.1概述逻辑是指事物的前因与后果之间所遵循的规律。19世纪英国数学家养治·布尔首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法一一布尔代数。早期应用于解决继电器开关电路的问题，也称为开关代数。随着数字技术的发展，人们发现它完全可以作为研究逻辑电路的数学工具，成为分析和设计逻辑电路的理论基础，所以也把布尔代数称为逻辑代数。逻辑代数和普通代数都是用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量，可以取不同值。和普通代数不同的是，逻辑变量的取值只有两个，“0”或“1”。这两个值不具有数量大小的意义，仅表示客观事物两种不同状态，如开关的闭合与断开，判断问题的是与非，电位的高与低等。s2.2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种。一、与逻辑及与门逻辑与的定义：只有当决定事件发生的所有条件均满足时，事件才会发生。以图2-1的指示灯控制电路为例进行说明。AB?图2-1指示灯控制电路
第 2 章 逻辑代数基础 逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。本章首先简要介绍了逻辑代数的基本 公式、常用公式和基本定理，然后讲解了逻辑函数的表示和化简方法。并配有一定数量 的例题，介绍了如何应用这些公式和定理化简逻辑函数。 §2.1 概述 逻辑是指事物的前因与后果之间所遵循的规律。19 世纪英国数学家乔治·布尔首先 提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法——布尔代数。早期应用于解决继电器开关电 路的问题，也称为开关代数。 随着数字技术的发展，人们发现它完全可以作为研究逻辑电路的数学工具，成为分 析和设计逻辑电路的理论基础，所以也把布尔代数称为逻辑代数。逻辑代数和普通代数 都是用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量，可以取不同值。和普通代数不同的是， 逻辑变量的取值只有两个，“0”或“1”。这两个值不具有数量大小的意义，仅表示客 观事物两种不同状态，如开关的闭合与断开，判断问题的是与非，电位的高与低等。 §2.2 逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种。 一、与逻辑及与门 逻辑与的定义：只有当决定事件发生的所有条件均满足时，事件才会发生。 以图 2-1 的指示灯控制电路为例进行说明。 图 2-1 指示灯控制电路
例2-1：如图2-1，开关A、B串联控制灯泡Y。只有当两个开关同时闭合时，指示灯才会亮。任何一个开关断开，指示灯都不会亮。逻辑表达式为Y=A·B=AB将开关闭合记作1，断开记作0：灯亮记作1，灯灭记作0。可以通过下表来描述与逻辑关系。逻辑真值表：YAB000010100111实现与逻辑运算的单元电路称为与门。与门的逻辑符号如图2-2所示：A&AY上BB图2-2与逻辑图形符号二、或逻辑及或门逻辑或的定义：当决定事件发生的各种条件中，只要有一个或多个条件具备，事件就发生。以图2-3的指示灯控制电路为例进行说明
例 2-1：如图 2-1，开关 A、B 串联控制灯泡 Y。只有当两个开关同时闭合时，指示灯才 会亮。任何一个开关断开，指示灯都不会亮。 逻辑表达式为 Y=A·B=AB 将开关闭合记作 1，断开记作 0；灯亮记作 1，灯灭记作 0。可以通过下表来描述与 逻辑关系。 逻辑真值表： A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 实现与逻辑运算的单元电路称为与门。 与门的逻辑符号如图 2-2 所示： 图 2-2 与逻辑图形符号 二、或逻辑及或门 逻辑或的定义：当决定事件发生的各种条件中，只要有一个或多个条件具备，事件 就发生。 以图 2-3 的指示灯控制电路为例进行说明
B图2-3指示灯控制电路例2-2：如图2-3，开关A、B并联控制灯泡Y。两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为Y=A十B。逻辑真值表如下表所示：BYA000011101111实现或逻辑运算的单元电路称为或门。或门的逻辑符号如图2-4所示：A>1A-YYBB-图2-4或逻辑图形符号三、非逻辑及非门逻辑非的定义：当决定事件发生的条件满足时，事件不发生：条件不满足时，事件反而发生。以图2-5的指示灯控制电路为例进行说明
图 2-3 指示灯控制电路 例 2-2：如图 2-3，开关 A、B 并联控制灯泡 Y。两个开关只要有一个接通，灯就会亮。 逻辑表达式为 Y=A＋B。 逻辑真值表如下表所示： A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 实现或逻辑运算的单元电路称为或门。 或门的逻辑符号如图 2-4 所示： 图 2-4 或逻辑图形符号 三、非逻辑及非门 逻辑非的定义：当决定事件发生的条件满足时，事件不发生；条件不满足时，事件 反而发生。 以图 2-5 的指示灯控制电路为例进行说明
R图2-5指示灯控制电路例2-3：如图2-5，开关A断开，灯亮：开关闭合，灯灭。逻辑表达式为Y=A逻辑真值表如下表所示：YA0110实现非逻辑运算的单元电路称为非门。非门的逻辑符号如图2-6所示：a图2-6非逻辑图形符四、复合逻辑门与、或、非是三种最基本的逻辑运算，应用这三种运算可以组成复合逻辑运算。常用的一些复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。1、与非运算逻辑表达式为：Y=AB逻辑真值表：
图 2-5 指示灯控制电路 例 2-3：如图 2-5，开关 A 断开，灯亮；开关闭合，灯灭。 逻辑表达式为YA 逻辑真值表如下表所示： A Y 0 1 1 0 实现非逻辑运算的单元电路称为非门。 非门的逻辑符号如图 2-6 所示： 图 2-6 非逻辑图形符 四、复合逻辑门 与、或、非是三种最基本的逻辑运算，应用这三种运算可以组成复合逻辑运算。 常用的一些复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。 1、与非运算 逻辑表达式为：Y AB 逻辑真值表：
YAB010011101110逻辑符号：AAfBB图2-7与非的图形符号2、或非运算逻辑表达式为：Y=A+B逻辑真值表：BYA010010100110逻辑符号：
A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 逻辑符号： 图 2-7 与非的图形符号 2、或非运算 逻辑表达式为：Y A B 逻辑真值表： A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 逻辑符号：
4MBB图2-8或非的图形符号3、与或非运算逻辑表达式为：Y=AB+CD逻辑真值表：ABcDY00001000111000110010101001100101I101-110000011100111010101.110-1000110101110011110
图 2-8 或非的图形符号 3、与或非运算 逻辑表达式为：Y AB CD 逻辑真值表： A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
逻辑符号：AA2BBcDD图2-9与或非的图形符号4、异或运算逻辑表达式为：Y=A④B逻辑真值表：相同为0，不同为1BYA000011101110逻辑符号：A4-BB图2-10异或的图形符号5、同或运算逻辑表达式为：Y=AOB逻辑真值表：相同为1，不同为0
逻辑符号： 图 2-9 与或非的图形符号 4、异或运算 逻辑表达式为：Y A B 逻辑真值表：相同为 0，不同为 1 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 逻辑符号： 图 2-10 异或的图形符号 5、同或运算 逻辑表达式为：Y=A⊙B 逻辑真值表：相同为 1，不同为 0
YBA001010100111逻辑符号：AaBB图2-11同或的图形符号S2.3逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式序号公式序号公式101=0:0=11110·A=01+ A= 12121-A=AO+A=A313AA=AA+A=A414A·A'=0A+A'=1515A·B=B-AA+B=B+A616A (B -C) = (A -B) CA + (B +C) =(A + B) + C
A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 逻辑符号： 图 2-11 同或的图形符号 §2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 一、基本公式 序号 公 式 序号 公 式 10 1′ = 0; 0′= 1 1 0·A = 0 11 1+ A= 1 2 1·A = A 12 0+ A = A 3 A·A = A 13 A + A = A 4 A·A′= 0 14 A + A′ = 1 5 A·B = B·A 15 A +B = B + A 6 A (B ·C) = (A ·B) C 16 A + (B +C) = (A + B) + C
717A(B+C)=AB+ACA + BC = (A +B)(A +C)818(A ·B) = A'+ B'(A+ B) = A'B9(A""=A公式（17）的证明（公式推演法）：右=(A+B)(A+C)=A+AB+AC+BC= A(1+ B+C)+ BC=A+BC=左公式（17）还可以通过真值表进行证明BCABCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)000000000001000110000010111110110111110001111101011111011111111二、常用公式公式序号21 A+ AB= A22A+ AB= A+B23AB+ AB = A
7 A (B +C) = A B + A C 17 A + B C = (A +B)(A +C) 8 (A ·B) ′ = A′ + B′ 18 (A+ B) ′ = A′B′ 9 (A ′) ′ = A 公式（17）的证明（公式推演法）： 左 右 A BC A B C BC A AB AC BC A B A C (1 ) ( )( ) 公式（17）还可以通过真值表进行证明： ABC BC A+BC A+B A+C (A+B)(A+C) 000 0 0 0 0 0 001 0 0 0 1 0 010 0 0 1 0 0 011 1 1 1 1 1 100 0 1 1 1 1 101 0 1 1 1 1 110 0 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 二、常用公式 序 号 公 式 21 A AB A 22 A AB A B 23 AB AB A
24A(A+ B)= AAB + AC + BC = AB + AC25AB+AC+BCD=AB+AC26A.AB-AA.AB= AB各公式的证明过程如下：1、A+AB=A证明：A+AB=AI+B)=A·1=A2、A+AB=A+B证明：A+AB=(A+A(A+B)=1·(A+B)=A+B3、AB+AB=A证明：AB+AB=A(B+B)=A-1=A4、A(A+B)=A证明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A·(I+B)=A·I=A5、AB+ AC+BC= AB+AC证明：AB+ AC+ BC = AB+ AC + BC(A+ A)= AB+ AC + ABC+ ABC= AB(1+C) + AC(1+ B)= AB+ AC同理，可进一步推导出AB+AC+BCD=AB+AC。A-AB= AB6、A.AB=A
24 A(A B) A 25 AB AC BC AB AC AB AC BCD AB AC 26 A AB A A AB AB 各公式的证明过程如下： 1、A + A B = A 证明：A + A B = A(1+B)=A·1=A 2、 A AB A B 证明： A AB(A A)(AB) 1(AB) AB 3、 AB AB A 证明： AB AB A(BB) A1 A 4、A ( A + B) = A 证明：A ( A + B) = A·A+A·B=A+ A·B=A·(1+B)=A·1=A 5、 AB ACBC AB AC 证明： AB AC AB C AC B AB AC ABC ABC AB AC BC AB AC BC A A (1 ) (1 ) ( ) 同理，可进一步推导出 AB ACBCD AB AC。 6、 A AB A A AB AB