§3.6格特定理油松方程的积分公式 V●Ar= POnds 取矢量A=①Vq 常用手段 Φ、q任意 则:V·(①V)=V2q+VVq3.6.1 A·n=Vpon=① 3.6 an
§3.6 格林定理 泊松方程的积分公式 3.6.2 : ( ) 3.6.1 2 n A n n 则 s Ad A ndS Φ、 任意 常用手段 A 取矢量
带入散度定理可得格林第一定理 ①V+VΦ·V)dz=dbV dS3.6.3 对换重,o后,有: ∫(ov+voor=oS
dS n d s ( ) , , : 2 对换 后 有 带入散度定理可得格林第一定理 ( ) 3.6.3 2 dS n d s
相减得格林第二恒等式 Vo Vo (Vq-v)dz=中( )dS3.6.4 an an 使用例子(求泊松方程的通解) 在均匀无界空间,任意闭合面S在 S包围的τ内,待求r)满足: V2(r)=-p/0 取p=G(7,F)代入第二恒等式有: aG 08(7-F)+G(r,r)dr 为C∞ an
相减得格林第二恒等式: ( ) ( ) 3.6.4 2 2 dS n n d s 使用例子 (求泊松方程的通解) 在均匀无界空间,任意闭合面S,在 S包围的内,待求f(r) 满足: 2f(r) r/e0 ( , ), , : ' 取 G0 r r 代入第二恒等式 有 dS n G n G r r G r r d s e r 0 0 ' 0 ' ( ) ( , )
(7")=-G(r,r")p(r)dr +中/GC aG an an 互换r与r注意G(rr)=G(r,r),即得()表示 式(有界空间内的泊松方程的积分解通解 1 G O(r)Go(G 0(F)=-「 F,F)z+表面积分,当源仅近分布于 有限空间时,r→∞时恒为零 fIGV p()-p(vG].ds
dS n G n G r G r r r d s r e ( , ') ( ) 1 ( ') 0 互换r与r'注意G(r,r')= G(r' ,r)),即得f(r)表示 式(有界空间内的泊松方程的积分解通解) ( ) ( ') ( ') ' ( ') , ' 1 ( ) ' ' 0 0 G r r G dS r r G r r d s r e 表面积分,当源仅近分布于 有限空间时,r时恒为零
1当s→∞若p()分布在有限体积则 △JoG)G I p(dt 3.6.6 整个无界区 46o 间的e的 2若S内无源则p()=0,且p满足拉普 拉斯eq,V=0;这时 有界空间拉 0()=G(G,(F)ds 普拉斯的解 .p(rlvGo(,r).dS 3.6.7 只要知道S上V()及0)源的分布即可求得S内的场d(r) 由S外其它源产生(电位与电位梯 度)因为内部=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.6.6 4 ' 1 ' , ' 1 1. S r' : 0 r e r e r r r r d r r G r r d 当 若 分布在有限体积则 无界空间内 泊松eq的解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ') 3.6.7 , ' ' , 0; 2. , ' 0, 0 ' ' 0 2 r G r r dS r G r r r dS eq S r s s r 拉斯 这时 若 内无源 则 且 满足拉普 整个无界区 有界空间拉 普拉斯的解 只要知道S上'f(r') 及f(r') 源的分布即可求得S内的场f(r) 由S外其它源产生(电位与电位梯 度),因为内部=0
电场边值问题→利用边值条件求 泊松eq 拉普拉斯c 的解→偏微分方程法 边值分3类 1整个边界上的电位均知.狄利克莱边界 2整个边界上电位法向导数..诺伊曼边界 3混合边界 1.电位 导体变为:2.电量(导体内电荷为0) 3.混合
电场边值问题 利用边值条件求 的解 拉普拉斯 泊松 eq eq 偏微分方程法 边值分3类: l整个边界上的电位均知… 狄利克莱边界 2 整个边界上电位法向导数…诺伊曼边界 3 混合边界 1. 电位 导体变为: 2 . 电量 (导体内电荷为0) 3 . 混合
松、拉普拉斯方程解的唯一性。(给 定电位时) A、导体情况:设导体电位给出体积内p→0 在格林第一定理中令平==0有: Covip+(vo kr=fo 00S S3.7.1 an 利用反证法:设有另一解 V2d()=0;则必有¢(r)=(m)-d()也为解 立氏方程为线性)代入式3.7.1,有: ∫(V")adτ=∮。p"o"nds 在边界上,==U(给定)∴¢"(r)=0 则∫(V)d=0V"=C=
( ) 3.7.1 2 2 dS n d s A、导体情况:设导体电位给出体积内r0; 在格林第一定理中令=f=有: 利用反证法:设有另一解 ∫(f'') 2d ∮sf''∂f''/∂ndS 在边界上,f f' = U (给定) ∴f''(r) 0 则∫(f'') 2d 0 f'' = C f f' 2f'(r) 0; 则必有f''(r)f(r)f'(r) 也为解。 (∵拉氏方程为线性)代入式3.7.1,有:
唯一性(给定电量时) q=-980 s an 基本方法同前面推导,此时在边界上有: ds an a n 0(1- 0 an 0=0→ (Vp)2=0 an C 对于求解E唯一,混合边界可以用迭加
( ) ( ) c n dS q q n dS n dS n s s s '' ' 2 '' ' 1 0 ' 0 1 0 0 0 0 f e e e dS n q s e 0 基本方法同前面推导,此时在边界上有: 对于求解E唯一,混合边界可以用迭加.
唯一性(泊松方程) 对于泊松cg设有q和p满足V2g=-p/n 9=-0/E0 1.g解唯 相减V2q=0 2边界上=0 边界上q≡0→V=0.g=q
0 2 ' 0 ' 2 / / , r e r e 对于泊松 eq设有 和 满足 唯一性(泊松方程) '' '' ' '' '' 2 '' 0 0 2. 0 1. 0 f 边界上 边界上 解唯一 相减
一到 唯一性定理告诉我们,给定边界条件场 解喔一解法变→形式变 但等价 只要能发现一个满足边界条件的解 (位函数)且该位函数满足拉氏 eq则它就是我们要求的解
. ( ) , 则它就是我们要求的解 位函数 且该位函数满足拉氏 只要能发现一个满足边界条件的解 但等价 解法变 形式变 解唯一 唯一性定理告诉我们 给定边界条件场 eq