第七章玻耳兹曼统计 玻耳兹曼统计常称为麦克斯韦一玻耳兹曼统计,它是讨论遵从经典力学规律的 近独立粒子组成的孤立系统处于平衡态时,粒子按能量分布的规律。 分布函数 由W个近独立的粒子组成的经典系统,处于温度T的平均态,粒子的分布函 数(能量为的每个量子态中的粒子数或最可几粒子数)为 式中,B=17,a=4r,F为化学势
2.配分函数 系统一切热力学量的计算都归结为计算粒子的配分函数,配分函数是把微观状 态和宏观热力学量联系起来的纽带和桥梁。 2.1对于分立谱,单粒子配分函数可表示为 ∑ ∑ 式中, 是按照粒子的能级求和,3按照量子态求和 对于连续谱,当温度很高且能级间隔很小时,能级可以看为连续的。采用用半 经典近似,单粒子配分函数可以表示为 ∫*dr=∫D(ake 式中,d=幽向幽吻中“中,表示对于自由度为r的一个粒子,每 一个可能的状态大小为l的一个小体积元,因此在相空间体积元d中,粒 子的可能状态数为R;2表示单位能量间隔内的可能状态数,称为态密 度
2.2配分函数具有析因子性质.例如:粒子配分函数可等于其平动、转动、振 动配分函数的乘积 =20me+=2oo'o'et**=2oet2oe2o'e 2.3若采用配分函数表示,则有下列关系式成立 对于分立谱 J n Z z M=2吗 z 对于连续谱:粒子数和分布函数的表达式为 dN =No*D(eye n dt 4 ,+D(e=2o
3.热力学公式 系统的基本热力学函数,即内能、广义力和熵为 E==-N ah z= NT 血z B ar P=_40hz N血hz b a 血 S=硎血 4.特性函数 由配分函数2()可以直接得到特性函数 F(r,,M)=-Mhz(,刀) 由F(M可以得到系统的基本热力学函数
aF U=F 扩y P 对于非定域系统, ain S=Nnz-p . kIn M FIT,V, M)=-NkTa z(r, v)+K/h M 5.玻耳兹曼关系式 一个分布的几率和它所含微观状态数Ω成正比,因此Ω为该分布的热力学几 率。则玻耳兹曼关系为 s=k血 应当指出,大量粒子系统在平衡态下,最可几分布的微观态数Q非常接近全部 可能的微观态数,因此上式中系统的熵与最可几分布所含的微观态Ω相联系
6.理想气体的物态方程 对于三维自由粒子,其配分函数和物态方程分别为 dt 丿。如=如中中 把上面方程和PF=K作比较,可推求出玻尔兹曼常数 k=1381×10/K;同理,一维、二维理想气体的配分函及物态方程不难推 出,读者可自行推导。 7.麦克斯韦速度分布律和泻流分布 平衡态下,麦克斯韦速度分布律为 fbv 2 2+2+2)中少 速率分布律
y(v=4DNa( m op 2xrl 2元r 要注意其区别。 研究泻流问题的原理和意义: 由 可知,泄流后,分子质量轻的组元比质量重的组元富集了,利 用泻流可以分离同位素,如:原子能工业要求将裂变的U从天然铀中分离出 来,其中一种做法就是使固态的铀与原子量为19的氟化合,形成据气体, 然后采用逐级泻流分离法把相对轻的气态组元b26福集到99%以上,随 后把还原,得到U2 8.能量均分定理 对于处于温度为T的平衡状态的经典系统,粒子能量的每一个独立平方项的平 cr 均值为2,利用它可以简单地求出物质的平均内能和热容量。 9.固体热容量的爱因斯坦理论 固体中原子的热运动可以看为3个振子的振动,而且这个振子的频率都 相同。这就克服了能均分定理讨论固体的热容量时,在低温范围与实验不符的 经典理论