第四章小结、习题 、分离变量法: 用于求解规则边界条件下的拉普拉斯方程 根据边界面的形状,选择适当的坐标系,如平面边界 则选直角坐标;圆柱面、选园柱坐系;球面、选球坐标。 以便以简单的形式表达边界条件。将电位函效表示成三 个一维函数的乘积,通过分离变量将拉普拉斯方程变为 个常微分方程,得到电位函数的通解,然后寻求满足 边界条件的特解
第四章小结、习题 一、分离变量法： 用于求解规则边界条件下的拉普拉斯方程。 根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界、 则选直角坐标；圆柱面、选园柱坐系；球面、选球坐标。 以便以简单的形式表达边界条件。将电位函效表示成三 个一维函数的乘积，通过分离变量将拉普拉斯方程变为 三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足 边界条件的特解
1.直角坐标系中的分离变量法.(拉普拉斯方程解法I 方程:V2=0++0y=0令=X(x)Y(y)z(z) dy az 将代入方程,整理得 XY Z ++=0 Y K 2 K 2 X K2,得 a+K2X=0、q2y d 2X d-z +KY=0 ?+K2Z=0 K2+K2+K2=0
2 2 2 '' '' '' '' 2 2; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 0 ; ; : 0; 0 0; 0 X Y z x y z x y z x y z Y Z Y Z Y z K K K Y Z d X d Y d Z K K K dx dy dz KKK X Y Z + + = = − = − = − + = + = + = + + = 222 ２ " "" 1.直角 中的分离变量法.(拉普拉斯方程解法I) 方程: = + + =0 令 =X(x)Y(y)Z(z) X 将 代入方程,整理得 X X 令 得 x 坐标系
d 2X 求 a+2+K2X=0的解 (1)K2>0,K为实数,方程解为X=Aikx+A2cosk1x (2)K2<0K为纯虚数,方程解为X=Bsha,x+B2chax (3)K2=0,X=Cx+C2 Y和Z解的形式同X(x)形式 4,1图所示为一长方形截面的导体槽.槽可以视为无限 长.其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零.盖板的电 位为U求内槽的电位函数 Uo b
4，1 图所示为一长方形截面的导体槽．槽可以视为无限 长．其上有——块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零．盖板的电 位为UO求内槽的电位函数。 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 0; , sin . cos . 2 0; , c 3 0; ( ) x x x x x x x x x x d X K dx K K X A k x A k x K K X B sh x B h x K X C x X C Y Z X x + = = + = + = = + 求 的解 为实数 方程解为 为纯虚数 方程解为 和 解的形式同 形式
V=0 x=0,x=a,y=0,d=0 y=b,d=U 由边条得 Φ(x,y2)=∑4sin-sh n7 y n=1 =∑41sizx, sh nzt ∫Un nIx sin =「sm2(x-), sh -dx
( ) 2 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0, , 0, 0 , , , sin sin sin sin ( ) n n n n a a n x x a y y b U n x n y x y z A sh a a n x n b U A sh a a n x n x n b U dx A sh dx a a a = = = = = = = = = = = = 由边条得
4乙 An =1n·mb… n=1.3.5 n=2.4.6 4U.ch nny 丌x n=13.5 a 4.4图所示的导体槽,底面保持电位 Uo.其余两面电位为0,求槽内的电位的解
0 0 1,3,5... 4 ............... 1,3,5... 0 ...............n=2,4,6... 4 sin n n U n n b A n sh a n y U sh a n x n b a n sh a = = = = 4．4 图所示的导体槽，底面保持电位 UO．其余两面电位为0，求槽内的电位的解
V2Φ=0 x=0 n元y n元x ① SIn 1 n元x A Sin :
2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 sin sin x x a y y n y a n n n n U n x A e a n x U A a = = = = − = = = = = = = = =
n元x o sIn 0 0/82,n兀x 元x a U. cos 40 n=1,3,5,7. ni y =∑sin n元x n=135777r
2 0 0 0 1 a 0 0 0 0 n=1,3,5,7... sin sin ( ) a cos = 2 4 .....n=1,3,5,7... 4 = sin a a n n n n n y a n x n x U dx A dx a a a n x U A n a U A n U n x e n a = − = =
2.柱坐标系:讨论与z无关的问题 p=R()9() 可求得 p-Er" (A, sin ng+B, cos no)+r"(C, sin ng +D, cos ng) n 4.8在均电场E=eE0中垂直于电场方向放置一导体圆柱.圆 柱半径为d。求圆柱外的电位函数和导体表面的感应电荷密度。 VΦ(r,g)=0 ΦD=E0rCOS0 I agp =0 r op r=a
2. 柱坐标系：讨论与z无关的问题 ( ) ( ) ( sin cos sin cos ) ( ) n n n n n R r g A n B n r C n D n − = + + + n n=1 可求得 = r 4．8 在均电场E＝exE0中垂直于电场方向放置一导体圆柱．圆 柱半径为d。求圆柱外的电位函数和导体表面的感应电荷密度。 ( ) 2 0 , 0 cos 1 0 r r a r E r r = = = = − =
由边条得: (r,)=-Eorcosp+2r"(Cn sin no +D cos no) Eoasino->na "(Dn sin np-C, cos np)=0 C.=0 Eos 2 n≠ D.=0 a(,p)=-Eorcosp+Ea2r-cos p 2E E cOSe r=a
( ) ( ) 0 1 0 1 2 1 0 n 2 1 0 0 0 0 0 , cos ( sin cos ) sin ( sin cos ) 0 0 1 D 0 , cos cos 2 n n n n n n n n n r a r E r r C n D n E a na D n C n C D E a n r E r E a r E COS r − = − = − = = − + + − − = = = = = − + = − = 由边条得：
3.球坐标系: =R()g(0) =∑[4"+B (m+1) cOS 4.14无限大介质中外加均匀电场Ez=E。,在介质中有一半 径为a的球形空腔,求空腔中的E和空腔表面的极化电荷密度 (介质的介电常数为。 1(r,0)=0 Arcos e vΦ2(r,0)=0 ①,=① F三a Φ2.为有限值 r→ ar ar
3. 球坐标系： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 cos m m m m m m R r g A r B r P − + = = = + 4．14 无限大介质中外加均匀电场EZ ＝E。，在介质中有一半 径为a的球形空腔，求空腔中的E和空腔表面的极化电荷密度 (介质的介电常数为。 ( ) ( ) 2 1 1 0 2 1 2 2 1 2 2 0 0 , 0 cos , 0 r r r E r r r a r r → → = = − = = = = 为有限值