1.从广义能谱E=出发,研究O〖下维完全简并理想费米气体的性质 并推导出普遍表达式,并举例分析在三维情况下自由粒子和极端相对论粒子的 热力学函数。 解对于如=晶=甲(日为常数,为正数)的粒子,粒子的量子态密度 为 =ePh r3 B D(de=Bede g为自旋简并因子(1) 差维理想气体的内能和压强的普遍关系 (2) 式中,为维数,E压强P的指数,V为体积,为内能,证明见后面题
绝对0K时,完全简并的费米气体分布为 1c< 川高bcr,(3) 黔维费米气体能量即由粒子数X决定 x-e)na'→n2r (4) 得绝对0K时的化学势 (5) 费米气体的内能为
z-()(e)=() B-s(e=N-ne 6+2 +S 定容热容量 把(6)式代入(2)式可得简并压 pv=Eu=N Be, p=28-e (8) 平均能量和能量平方的平均值分别为 BI e de de +26 e 7+B (9) 一个费米气体的相对涨落 n2+2g (10) 可见,在完全简并时,定容热容量为零,不随着能谱和维数的改变而改变,这 是因为在0时,在费米面附近的粒子数才有可能吸收能量而被激发,而这儿 的粒子数占总粒子数几乎为零.费米气体的粒子数相对涨落只与维数和能谱有 关
讨论:我们可以通过变换维数和压强上的指数,来推求具有不同能谱的粒子 些性质,下面举例分析 1.=36=2asl 2m,g=2时,为三维自由粒子2m,则有 h2(3)3 U=-NE E 2N P=以8 n2+28-21 厚=38=1a=6,则为三维极端相对论气体E= 3 hc U==Ne- E==e 8 1 N p=4 = n2+215 结果与教材书一致,这就验证了我们推导普遍表达式的正确性,这种方法解法 简单,过程明了,易于理解,具有一定的普遍意义
2.考虑由M个无相互作用的电子组成的电子气体,假定电子是非相对论的 (E),若粒子被限制在一个二维平面中(面积为A),求出在D时 的费米能级、内能、简并压。 解我们已经在上题中讨论了厚维粒子的情况,令厚=2,B=2,s、 g=2,二维自由粒子很容易得到Dz时的费米能级、内能、简并压 Va Va h 2m[2k =一一Er=N-郾 + 2+2 1 N Ya+
