常徽分方程综合练习 中央电大顾静相 一、填空题 L.方程业=Xany的所有常数解是。 2,若y(,x)是一阶找性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表 示为. 3.方程史=y油x产的任一非零解与x桃相交 d女 4.方程业=x产+y产满是解的存在唯一性定理条作的区线是， 5方程少。-y)户满足解的存在唯一性定理条件的区城是， r 6。了广化)连续是保证方程史=任，)初值唯一的条件。 dr 7.方程组 -Fx.Y,x∈RY∈R”的任何一个解的图象是卷空同中的一条积分曲 dx 线 星线性齐次微分方程组业 =A(x)Y的一个基本解组的个数不能多于 个，其中x∈R,Y∈R” 9.若y=网(x),y=:()是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点。 10。二阶线性齐次微分方程的两个解y=织(x)y=华：(x)成为其基本解组的充要条件 是 参考答案： 1.y=k,k=0,±1，±2,2.Cy(x)-(x】+()3.不能4.x0y平面5.满 足1-y2>0的平面区域6.充分7，+18.9，没有10.线性无关 二、单项选择题 l.微分方程yhdr+(x-hy=0是() (A)可分离变量方程(B)线性方程 (C)全微分方程(D)见努利方程
1 常微分方程综合练习 中央电大 顾静相 一、填空题 1.方程 x y x y tan d d = 的所有常数解是． 2．若 y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表 示为． 3.方程 2 sin d d y x x y = 的任一非零解与 x 轴相交． 4．方程 2 2 d d x y x y = + 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 5.方程 2 1 2 (1 ) d d y x y = − 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 6． f (x, y) y 连续是保证方程 ( , ) d d f x y x y = 初值唯一的条件． 7.方程组 n x x x F Y R Y R Y = ( , ), , d d 的任何一个解的图象是维空间中的一条积分曲 线. 8.线性齐次微分方程组 A Y Y ( ) d d x x = 的一个基本解组的个数不能多于 个，其中 xR， n YR ． 9．若 ( ) 1 y = x ， ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 10．二阶线性齐次微分方程的两个解 ( ) 1 y = x , ( ) 2 y = x 成为其基本解组的充要条件 是． 参考答案： 1． y = k, k = 0, 1, 2, 2． [ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 1 C y x − y x + y x 3．不能 4．xoy 平面 5．满 足 1 0 2 − y 的平面区域 6．充分 7．n+18．n 9．没有 10．线性无关 二、单项选择题 1．微分方程 y ln ydx + (x − ln y)dy = 0 是（） （A）可分离变量方程（B）线性方程 （C）全微分方程（D）贝努利方程
2方程业-50sy<)过点00有(0. d (A)一个解(B)两个解(C无数个解D)三个解 3,方程心2一1)灿+：2一1灿=0的所有常数解是()， (A)x=(B)y=1 (C)y=±1，x=±1(D)y=1,x=1 4,微分方程y=√y-x+2(), (A)无奇解(B》一定有奇解 (C)有奇积分曲线(D)可能有奇解 5.方程业=少-x+4()奇解 d女 (A)无(B有一个(C)有两个D)可能有 6。方程史=-了过点0,0的解为y=s油￥，此解存在区间是0. d W国+)@(0Ca+)D受 7.两个不同的线性齐次微分方程组()的基本解组， (A)一定有相同《B)可能有相同C)一定有相制D)没有相月 8.若)，凡x)毕0在仁0，+m》上连续，都么线性非齐次方程组 =AxW+FxeR,yeR的任一非零解0， dx (A)可以与x轴相交(B)不可以与x轴相交 (C)可以与x轴相切(D)不可以可以与x轴相切 9.函登组马()，(x)在区间【a,b】上的阴斯基行列式恒为零是它们在[a,b创上找性相 关的(). (A)充分条作B)必要条件C充分必要条D)无关条件 10.方程y”+2y+y=0的丰零解在x少平面上()与x轴相切. (A)可以以B)不可以C原点处可以D)也许可以 参考答案： 1.B2.C3.C4.A5.A6.D7.D8.A9.B10.B 三，计算题 求下列方程的通解成通积分： 1.史=e"x+x
2 2.方程 (0 ) d d = y y x y 过点(0,0)有（）． (A)一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解 3．方程 x(y 2－1)dx+y(x 2－1)dy=0 的所有常数解是（）． (A) x = 1 (B) y = 1 (C) y = 1, x = 1 (D) y = 1, x =1 4．微分方程 y = y − x + 2 （）． （A）无奇解（B）一定有奇解 （C）有奇积分曲线（D）可能有奇解 5.方程 4 d d = y − x + x y （）奇解． (A)无(B)有一个(C)有两个(D)可能有 6．方程 2 1 d d y x y = − 过点(0,0)的解为 y = sin x ，此解存在区间是（）． （A） (−, + ) （B） (−, 0] （C） [0, + ) （D） ] 2 , 2 [ − 7.两个不同的线性齐次微分方程组（）的基本解组． (A)一定有相同(B)可能有相同(C)一定有相似(D)没有相同 8. 若 A(x),F(x) ≠ 0 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 连 续 ， 那 么 线 性 非 齐 次 方 程 组 n x x x x A Y F R Y R Y = ( ) + ( ), , d d 的任一非零解(). （A）可以与 x 轴相交（B）不可以与 x 轴相交 （C）可以与 x 轴相切（D）不可以可以与 x 轴相切 9.函数组 ( ) 1 x ， ( ) 2 x 在区间 [a, b] 上的朗斯基行列式恒为零是它们在 [a, b] 上线性相 关的（）． (A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件 10.方程 y + 2y + xy = 0 的非零解在 xoy 平面上（）与 x 轴相切． (A)可以(B)不可以(C)原点处可以(D)也许可以 参考答案： 1．B2．C3．C4．A5．A6．D7．D8．A9．B10．B 三、计算题 求下列方程的通解或通积分： 1． e ( ) d d 3 x x x y y = + −
2业=e 3.x业=y-y dx 4业-上+n上 dx x =y+ 6 -cosy-cosxsn'y=sn y d 上二三0 8,(x2-1-y灿+=0 9,(x2e'-yd山r+x=0 10.y=+(y 11.y+4y=3sm2x 12.y-9y=3x2 倍那 13. -2x-y dr -x+y 14. d =-2x+3y d 参考答案： l.解分离变量，得e'少=(x+x)dr 等式两边积分，得e”= ++ 2 2,解：将原方程分离变量，得 e"dy =e'dr 等号两边积分了e'少=e山+C 通积分为ey+e‘+C=0 3
3 2. x y x y + = e d d 3． 2 2 d d xy y x y x = − 4. x y x y x y tan d d = + 5. 5 d d y xy x y = + 6． y x y y x y cos cos sin sin d d 2 − = 7． d 0 3 d 2 4 2 2 3 = − + y y y x x y x 8． ( 1 )d d 0 2 x − − y x + x y = 9． ( e )d d 0 2 x − y x + x y = x 10． 3 y = xy + (y ) 11． y + 4y = 3sin 2x 12． 2 y − 9y = 3x 13． = − = x y t y y t x 2 d d 3 d d 14． = − + = + x y t y x y t x 2 3 d d d d 参考答案： 1．解分离变量，得 y x x x y e d ( )d 3 = + 等式两边积分，得 x x c y = + + 2 4 4 1 2 1 e 2．解：将原方程分离变量，得 y x y x e d = e d − 等号两边积分 y x C y x = + − e d e d 通积分为 e + e + = 0 − C y x
3,解将方程理为齐次方程业。上-( dx xx 令y=,测史=+业，代入原方程有： dac =-w dx dr 积分得：上=n时+c,u= 1 In+c 原方程的通解为：y= hx+c 4.解：令m=之，则y=u+ x =n程 当nM装0时 等号满边枫分岛-停+C hsm叫=nl+hqC*o sin 2-Cx x 5.解：y =y+x dx 令：=y,则生4y业 dx 代入方程得生+4：=4： -(f-4xeldr+C) -e“-4e"d+C =-x+,+Ce 1 所以y▣-x++Ce 6.解：令：=如少，则 r =cosy 代入方程得生-c05x-: dr
4 3．解将方程整理为齐次方程 2 ( ) d d x y x y x y = − 令 y = xu，则 x u u x x y d d d d = + ，代入原方程有： 2 d d u x u x = − 积分得： x c u = ln + 1 ， x c u + = ln 1 原方程的通解为： x c x y + = ln 4．解：令 x y u = ，则 y = u + xu u x u x tan d d = 当 tanu 0 时 等号两边积分 1 d tan d C x x u u = + ln sin u = ln x + ln C C 0 Cx x y sin = 5．解： y x x y y = + −5 −4 d d 令 −4 z = y ，则 x y y x z d d 4 d d −5 = − 代入方程得 z x x z 4 4 d d + = − + − = − e ( 4 e d ) 4d 4d z x x C x x = − + − e ( 4 e d ) 4 4 x x C x x x x C 4 e 4 1 − = − + + 所以 x y x C 4 4 e 4 − 1 − = − + + 6．解：令 z = sin y ，则 x y y x z d d cos d d = 代入方程得 z x z x z − cos = d d 2
-:=:2c0sx d 再令u=,则得 +=-C0S dx (f-cosxedr+C) -e-"(f-cosxe'dr+C) (cs)+Cje" 所以之+eosx+sax=Ce sn r 7.解：因为 62x、6x,y2-3x3 y ay） 所以原方程为全微分方程。取x。=0，。=1,于是通积分为 x 乐.解：积分因子)= 则 --yk+'dy=0 为全微分方程，取x一1，。一0，于是通积分为 2+-G 即2+x+-C 9。解先求积分因子： =e=e= 于是，方程 e-+=0 5
5 即 z z x x z cos d d 2 − = 再令 −1 u = z ，则得 u x x u cos d d + = − + − = − e ( cos e d ) 1 1d 1d u x x C x x = − + − e ( cos e d ) C1 x x x x x x x C − = − (cos + sin ) + e 2 1 1 所以 x x x C x − + cos + sin = e sin 2 7．解：因为 ) 3 ( 6 ) 2 ( 4 2 2 3 4 y y x y x x y x y − = − = 所以原方程为全微分方程．取 x0 = 0 ， y0 = 1 ，于是通积分为 1 1 2 0 3 d 1 d 2 y C y x y x x y + = 3 1 2 1 1 C y y x + − = 即 C y x y = − 3 2 2 8．解：积分因子 2 1 ( ) x x = ，则 d 0 1 d 1 2 2 + = − − y x x x x y 为全微分方程．取 x0 = 1， y0 = 0 ，于是通积分为 1 1 0 2 2 d d 1 x y C x x x y y + = − − 即 C x x x y + + = 1 9．解先求积分因子： 2 2 ln d 2 1 ( ) e e x x x x x = = = − − 于是，方程 d 0 1 (e )d 2 − + y = x x x x y
为全微分方程， 取x。=1,另=0，于是通积分为 S(e'-x+fdv-c 通解为：y=一'+石 10,解：原方程是克莱洛方程，通解是 y■Cr+C3 11.解：原方程对应的济次方程的特征方程为2+4=0 特征根为：21，故齐次通解是 y=C cos2x+C sn 2x 由于位土邛=2i是特任根，故原方程有形如 =Ac0s2x+Bsn 2x) 的特解。代入原方程，确定出 A=-2,B=0 4 所求通解为 3 y=C cos2x+C:smn 2x- 12.解：单方程对应的齐次方程的特征方程为22一9=0， 特征根为入：一土3，故齐次方程的通解为 y=Ce+C:e 设原方程的一个特解为》=Ax2+:+C,代入原方程得 2A-%4r2+m+C-3x2 -9A=3 比较系数得 B=0·解得A=-3·B=0,C=-2 2A-9C=0 由此得原方程的通解为 13.解特征方程为
6 为全微分方程． 取 x0 = 1， y0 = 0 ，于是通积分为 x y c x x y y x − + = 1 0 2 (e )d d 通解为： y x cx x = − e + 10．解：原方程是克莱洛方程，通解是 3 y = Cx +C 11．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 4 0 2 + = 特征根为 2i 1,2 = ，故齐次通解是 y C cos2x C sin 2x = 1 + 2 由于 i = 2i 是特征根，故原方程有形如 ( cos 2 sin 2 ) ~ y = x A x + B x 的特解．代入原方程，确定出 4 3 A = − ， B = 0 所求通解为 y C x C x cos 2x 4 3 = 1 cos 2 + 2 sin 2 − 12．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 9 0 2 − = ， 特征根为 1, 2 = 3 ，故齐次方程的通解为 x x y C C 3 2 3 1 = e + e − 设原方程的一个特解为 y = Ax + Bx +C ~ 2 ，代入原方程得 2 2 2A− 9(Ax + Bx +C) = 3x 比较系数得 − = = − = 2 9 0 0 9 3 A C B A ，解得 3 1 A = − ， B = 0， 27 2 C = − ． 由此得原方程的通解为 x x y x C C 3 2 3 1 2 e e 27 2 3 1 = − − + + − 13．解特征方程为
即2+无-6=0 特征根为入=2，之2■-3 入=2对应特征向量应满足 [&R-周 可确定出 -周 同样可算出之=一3对应的特狂向量为 &- 所以，原方程组的通解为 月-c[] 14.解：特狂方程为2-4元+5=0 特征根为入：=2± a,b满足 「-1-i I Tal-o L-21-b 解得2a-1-0b 取b=1+i,期a=1 x cost-sin f cost +sn t 四、正明题 1,试证明：对任意x。及满足条件0<月<1的乃。·方程 少=少y-1D dx 1+x+y
7 0 2 1 3 = − − − − = A E 即 6 0 2 + − = 特征根为 1 = 2， 2 = −3 1 = 2 对应特征向量应满足 = − − − 0 0 2 1 2 2 3 1 1 b a 可确定出 = 2 3 1 1 b a 同样可算出 2 = −3 对应的特征向量为 − = 1 1 2 2 b a 所以，原方程组的通解为 − + = − − t t t t C C y x 3 3 2 2 2 1 e e 2e 3e 14．解：特征方程为 4 5 0 2 − + = 特征根为 = 2 i 1,2 = + b a y x (2 i)t e a,b 满足 0 2 1 1 1 = − − − − b a i i 解得 2a = (1− i)b 取 b =1+ i ，则 a =1． 于是 + + − = t t t C t t t C y x t t cos sin sin e cos sin cos e 2 2 2 1 四、证明题 1．试证明：对任意 0 x 及满足条件 0 y0 1 的 0 y ，方程 2 2 1 ( 1) d d x y y y x y + + − =
的满足条件川x,)=只的解y=x)在(-西，+∞)上存在。 2.服设头(x):片：(x)是方程y”+p武xy'+gxy=0定义在(a,b)上的解，其中p(x) gx)在(a.b)上连续，证明：如果(x),乃(x)均在e(a,b)点取局部极值，则y(x) 为(x)在(a,b)上不能构成方程的基本解组 3.设f)在0.+o)上连续，且m/)=0,求证：方程虫+y=)的任意解 d y=其x)均有mx)=0. 4.假设例x)在(-，+)上连续，且在该区何上(x)<0,求证：方程 =叫中y的所有解的存在区何为(-西，+小，且是单调不增或单调不减函数。 d 5.若（在(-，+）上连续可微，且当“≠0时，<0，求证方程 =x”以cs)的任一解y=)均在（一鱼+到）上存在，且当)是丰常值解时，那么 dx 川x)是严格单调函数. 参考答案 山.证明由于x功=，心-》 1+x2+y (x,功-2y-1++y)-y-12 0+x2+3y2)月 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在陛一性定理及解的延展定理条 件.又显然y=0,y=1是方程的两个特解.现任取无∈(-0+0)，只。∈(0,1)，记y=J川x) 为过（名，。）的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延根，又上不能穿越y=1,下 不能穿越y=0,因此它的存在区间必为（一或，+） 2,证：已知片(x),另(x)在x。点取局部极植，即 (x-(x)-0 若(x),,(x)是基本解组，则当且仅当 W(x)= y()为(x ≠0，xc(a,b) )(x 而()= ()乃(x(x)( )x0 01 0 因此。另(x),乃(x)不能构成基本解组
8 的满足条件 0 0 y(x ) = y 的解 y = y(x) 在 (−, + ) 上存在． 2．假设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 定义在 (a, b) 上的解，其中 p(x) ， q(x) 在 (a, b) 上连续，证明：如果 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 均在 ( , ) x0 a b 点取局部极值，则 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 在 (a, b) 上不能构成方程的基本解组． 3．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的任意解 y = y(x) 均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ． 4．假设 (x) 在 (−, + ) 上连续，且在该区间上 (x) 0 ，求证：方程 x y x y ( )sin d d = 的所有解的存在区间为 (−, + ) ，且是单调不增或单调不减函数． 5 ． 若 (u) 在 (−, + ) 上连续可微，且当 u 0 时 ， u (u) 0 ，求证方程 (cos ) d d 2 x y x y = 的任一解 y = y(x) 均在 (−, + ) 上存在，且当 y(x) 是非常值解时，那么 y(x) 是严格单调函数． 参考答案： 1．证明由于 2 2 1 ( 1) ( , ) x y y y f x y + + − = 2 2 2 2 2 (1 ) (2 1)(1 ) ( 1)2 ( , ) x y y x y y y y f x y y + + − + + − − = 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条 件．又显然 y = 0, y = 1 是方程的两个特解．现任取 ( , ) x0 − + ， (0, 1) y0 ，记 y = y(x) 为过 ( , ) 0 0 x y 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越 y = 1 ，下 不能穿越 y = 0 ，因此它的存在区间必为 (−, + ) ． 2．证：已知 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 在 0 x 点取局部极值，即 ( ) 1 0 y x = ( ) 2 0 y x =0 若 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是基本解组，则当且仅当 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 = y x y x y x y x W x ， x (a,b) 而 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 = = = y x y x y x y x y x y x W x 因此， ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 不能构成基本解组．
3,证明设y=x)为方程任一解满足州名)=以。·由常数变易法有 )=yew+emwf八sed 于是 m)=m点+m于 fse“d e 0 ，若〔fsed收敛 04 1g然二-a + 若fsed山发版 4.证：方程在全平面上满足解的存在难一及延展定理条件. y=k冠，k=0,土L土2…都是解，且都是在(-，+®)上有定文的常数解. 对任意的(x。,%)∈x0少平面，其中 %e(k知，(h+1),青=0，土1，±2. 当k=0,士2士4，…时，由解的唯一性和延展定理知，对应初值解y=x)在（一丸，+助） 上有定义，又y=例x)smy0时，()0.(2) 0=0,即y=号+红、k=0士1士之，是方程的常数解 对于平面上的任一点(，只，)》。要么在常数解上，要么在两个常数解之间，如果在常数解 少=受+好上。那么由解的雀，其定义区间必为（一国+四.如果化）属于两个常 数解之间内部，那么解(x)=(xx,)一方面可以向平面边界无限延展，另一方面又不 能上，下穿越这两个常数解，因此存在区间必为(-0，+∞)，又由上面的(1)和(2)式可见， 在任何两个常数解之间的区域内，有y>0,或y<0之一成立，故在任意两个常数解之间 9
9 3．证明设 y = y(x) 为方程任一解满足 0 0 y(x ) = y ，由常数变易法有 − − − − − = + x x x x x x s x y x y f s 0 0 0 ( ) e e (s)e d ( ) ( ) 0 于是 0 0 0 0 e ( )e d lim e lim ( ) lim 0 x x x x s x x x x x x f s s y y x − − → − → → = + =0+ = − − − → − 若 发散 ， 若 收敛 0 0 0 0 0 0 0, ( )e d e ( )e lim 0 ( )e d x s x x x x x x x s x f s s f s f s s 4．证：方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件． y = k , k = 0,1, 2, 都是解，且都是在 (−, + ) 上有定义的常数解． 对任意的 (x , y ) xoy 0 0 平面，其中 ( ,( 1) ) y0 k k + ， k = 0, 1, 2, 当 k = 0, 2, 4, 时，由解的唯一性和延展定理知，对应初值解 y = y(x) 在 (−, + ) 上有定义，又 y = (x)sin y 0 ，故它是单调递减函数． 同理，当 k = 1, 3, 时，对应初值解 y = y(x) 在 (−, + ) 上有定义，且它是单调递 增函数． 5．证明由于 ( , ) (cos ) 2 f x y = x y ， ( , ) (cos ) ( sin ) 2 f x y x y y y u − = 所以原方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件．又由 u 0 时， u (u) 0， 有 u 0 时， (u) 0 ，（1） u 0 时， (u) 0 ，（2） (0) = 0 ，即 , 0, 1, 2, 2 y = + k k = ，是方程的常数解． 对于平面上的任一点 ( , ) 0 0 x y ，要么在常数解上，要么在两个常数解之间．如果在常数解 y = + k 2 上，那么由解的唯一性，其定义区间必为 (−, + ) ．如果 ( , ) 0 0 x y 属于两个常 数解之间内部，那么解 ( ) ( , , ) 0 0 y x = y x x y 一方面可以向平面边界无限延展，另一方面又不 能上、下穿越这两个常数解，因此存在区间必为 (−, + ) ．又由上面的（1）和（2）式可见， 在任何两个常数解之间的区域内，有 y 0 ，或 y 0 之一成立，故在任意两个常数解之间
的解必是单调函数 0
10 的解必是单调函数．