西安交通大学：《智能控制理论与方法》课程教学资源（PPT课件讲稿）模糊逻辑与模糊推理

模糊逻辑与模糊推理 1)精确逻辑(传统逻辑)的一些概念 命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中,命题的“真″”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题,组合成另一个命题的过 程 组合的基本操作 1)合取 Conjunction,P∧q,交” 2)析取 Disjunction Pv g,“并 3)隐含 Implication P→q,“ if then )逆操作 Inversion 5)等效关系 equivalence P<>q,"p即

模糊逻辑与模糊推理 1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念 命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, ,“交” 2）析取 Disjunction , “并” 3）隐含 Implication , “if then” 4) 逆操作 Inversion 5) 等效关系 Equivalence ，“p即 q”。 p  q p  q p → q ~ p p  q

一个隐含是“真”,必须满足三个条件之 )前提是真,结论是真;在教书,是教师 2)前提是假,结论是假;不教书,不是教师 3)前提是假,结论是真。不在教书,是教师; 隐含是“假”时,则 4)前提是真,结论是假。在教书,不是教师。 逻 p qpq pvq p→>qp<>q 辑 关 角F 真 F FF 值 表7F T F T FIF F F T T T

p q p  q p  q p → q p  q ~ p T F T T T T T T T T T T T T T T F F F F F F F F F F F F 一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师； 2） 前提是假，结论是假； 不教书，不是教师； 3） 前提是假，结论是真。 不在教书，是教师； 隐含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。 在教书，不是教师。 逻 辑 关 系 用 真 值 表 示

传统命题逻辑的基本公理: 1。每一命题是真或假,但不能既真又假 2。由确定的术语所组成的表达式,都是命题 3。合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复(隐含) (P→q)4[P∧(g (P→9)4>(~p)q4(p)yq 从真值表可以获得证明 p pqqPA(q-pAfgkplp)v TI T T F F T F T TI F F T T F F F FIT T F F T T T FF T T F T T T

p q p → q ~ q p  (~ q) ~ [ p(~ q)] ~ p (~ p)  q T F T T T T T T T T T T T T T T T T F T F F F F F F F F F F F F 传统命题逻辑的基本公理： 1。 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2。 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3。 合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复（隐含） p q p q p q p q p q →     →   ( ) (~ ) (~ ) ( ) ~ [ (~ )] 从真值表可以获得证明：

隐含隶属函数表达式 n+(x,y)=1-p(x,y)=1-mn(x)(1-()或 p->q (x, y)=pug(x, y)=maxlup(x), uq(y) max[(l-un(x),u,l n1(x,y)=1-n(x)-A(y)(P→>q)分[A(~q)](乘积) y(x,y)=min[(,(1-Hn(x)+4(y)](~p)q(有界和 (x)4(y14(x)1-( 9(1)max1-p(x)()]1-m(x1-k( 11 00 0 0 0 0 00 0

1- 1- 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 (x)  p ( y)  q ( y)  q (x)  p max[1 (x), ( y)] −  p q 1 min[ (x),1 ( y)] −  p − q 隐含隶属函数表达式 (x, y) 1 (x, y) 1 min[ (x),(1 ( y))]  p→q = −  pq = −  p − q max[(1 ( )), ( )] ( , ) ( , ) max[ ( ), ( )] x y x y x y x y p q p q p q p q       = − → =  = 或 (x, y) 1 (x) (1 ( y) ) ( p q) ~ [ p ( ~ q) ]（乘积）  p→q = − p −q →    p→q (x, y) = min[(1,(1− p (x) + q ( y))] ( ~ p)q（有界和）

传统命题逻辑的推理 D假言推理( Modus ponens) 前提1(事实)x是A 前提2(规则)jx是A, then y是B 结论 y是B(p^(p→>q)->q 2)否定前提的假言推理( Modus Tollens) 前提1事实)y不是B 前提2(规则)∥fx是A, then y是B 结论 x不是A[(q∧(p→>q)→p

传统命题逻辑的推理 [( ( )) ] 2 , 1 1 (Modus Ponens) y B p p q q if x A then y B x A 结论 是  → → 前提（规则） 是 是 前提（事实） 是 ）假言推理 [( ( )) ] 2 , 1 2) (Modus Tollens) x A q p q p if x A then y B y B 结论 不是  → → 前提（规则） 是 是 前提（事实） 不是 否定前提的假言推理

2)模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。 (xy)10是衡量x和隐含关系的真实程度。表示为 H4B(x,y)=1-mn[4(x)(1-B(y) LAB(x, y)=max[(1-u(x),uB() 或 (x,y)=1-[/A(x)·(1-4(y) AB(x,y)=mn[(1,(-44(x)+B(y 在连续域情况下,应用于推理会发生问题! x为A y为B If+hen规贝 B A→)B

2）模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。 ( , ) min[( 1,(1 ( ) ( ))] ( , ) 1 [ ( ) (1 ( ))] ( , ) max[(1 ( )), ( )] ( , ) 1 min[ ( ),(1 ( ))] ( , ) [0,1] x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y A B A B A B A B A B A B A B A B A B              = − + = − • − = − = − −  → → → → → 或 是衡量 和 隐含关系的真实程度。表示为： 在连续域情况下，应用于推理会发生问题！ If-then规则  x为A  y为B (x, y)  A→B ( y) B  

ug(y)=suPLA4 (x)*UAB(x, y) ∈A 关于p(计算 D假定对x=x,H(x)=1,对x≠x,1(x)=0 x∈ 2)山AB(x,y)用极小(min)三角范式计算 g2(y)=sup[A4(x)太HA→B(x2y) A (x)HA→B(x,y)(对x=x”) 1A→B(x,y)=mn[1,AB(x’,y) uAB(x,y)=l-minl u,(x,( -(] 图示如后:

( y) sup[ * (x) (x, y)] A A B x A B →  =       关于  B  ( y) 的计算 ( , ) 1 min[ ( ),(1 ( )) ] 1 ( , ) min[ 1, ( , )] ( ) ( , ) ( ) ( ) sup[ ( ) ( , )] 2) ( , ) (min) ; 1 , ( ) 1; , ( ) 0, * * * * * * x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x U x x x x x x A B A B A B A B A A B A A B x A B A B A A              =  = −  − =  =  =   =  =  =  =   = → → → → →  →  对 用极小 三角范式计算。 ）假定 对 对 ☆ ☆ ☆ 图示如后：

1-4l(y) g(y) r4(x) 有限支集 minl u ( x )1-pB(y) 无限支集 4(x≠x)大HA→B(x≠x3,y) 0山AB(x≠x,y) inO,AB(x≠x',y) 取上界 g(y)=1-minO,HA→B(x≠x,y)

1 1 1 (y)  B (x ) A   1 (y) − B min[ (x ),1 ( y)]  A −  B   ( y) B   y y 有限支集 无限支集 ( ) 1 min[ 0, ( , )] 1 0 min[ 0, ( , )] 0 ( , ) * ( ) ( , ) = −   = = =   =       → → → →  y x x y x x y x x y x x x x y B A B A B A B A A B      ☆  ☆ 取上界：

说明二点: 1)对x=x一个特定的规则(其结果是具有有限支集的特定 模糊集合),激发的结果是一个具有无限攴集的模糊集合。 2)对x≠x所有各点,规则将以最大可能的输出隶属函数值1 来激发规则。 从工程观点看,以上二点,违反了工程中的因果关系,即 有因才有果。无因不能有果。 Mamdani和 Larsen分别提出极小和乘积的隐含运算 uAB(x,y)=minL u(x),uB(I AB(x,y)=[A(x)·/B2(y) 这二种计算并不是基于因果关系,是出于计算的简单性, 但保留了因果关系,与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含

说明二点： 1）对 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定 模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2）对 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1， 来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。 x  x  x = x  Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 ( , ) ˆ [ ( ) ( )] ( , ) ˆ min[ ( ), ( )] x y x y x y x y A B A B A B A B       = • = → → 这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含

用真值表表示:(精确隐含) x)4(0y)nin[41(x)42()(x)(y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4B(y) 4(x WB(y) 4→B(x,y)=mn[4(x)B(y 4→8(x,y)=[pA(x)o42(y) X三x 模糊隐含 X三x

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 min[ (x), (y)]  A  B (x) (y)  A  B (x) •  A (y)  B 用真值表表示：(精确隐含) 1 1 1 1 (x, y) ˆ min[ (x ), (y)]  A B  A  B → =  (x, y) ˆ [ (x ) (y)]  A B  A  B → =  • (x ) A   (x ) A   (y)  B ( y) B   ( y) B   x = x  模糊隐含 x = x 