D01I:10.13374/i.issn1001053x.1981.04.002 北京钢铁学院学报 1981年第4期 钢管斜轧穿孔机辊型设计的几何基础 计算机应用室林学福 冶金机械教研室豪念担 工程图学教研室马香峰 摘 要 本文从图解解析方法入手、研究分析在交叉轴情况下，斜轧管坯变形情况的空 间几何关系，找出其内在规律，并据此提出合理的辊型设计方法，以改变目前辊型 设计仍处于缺乏根据的官目状态。文章给出基本几何形体的共轭回转面的作图法， 并推导出它们的解析公式。这里的结论除应用于斜轧生产中之外，也适用于机械加 工如磨削、铣削加工等。 在实现“四个现代化”的过程中，无缝钢管的生产在国民经济中占有重要地位。目 前，无缝钢管的生产不论从品种、数量上还是从质量上都必须提高到一个新的水平，才能适 应国民经济发展的需要。 为了提高无缝钢管的产量和改善它的内外表面的质量，目前国内外的无缝钢管斜轧穿孔 生产都向加大交叉角方向发展，一般已达12°~17°。为了适应大交叉角情况，三辊穿孔机也 相应产生并已取得良好效果。目前，国内现有设备以二辊穿孔机为主。穿孔机辊型设计直到 目前为止都是凭经验数据来确定的。本文拟从图解解析方法入手，研究和分析管坯变形情况 的空间几何关系，找出其内在规律，据此提出辊型合理几何形状的设计方法，以改变目前辊 型设计仍处于缺乏根据的状态。 让我们先简单研究一下穿孔区的变形情况。如果我们垂直于管坯轴线取一系列截面（如 图1)，每一个截面上管坯的断面均与各个辊面的断有一段接触面长度，其中两个端点，一个 我们称它为“咬入点”，另一个称它为“轧出点”（如图1A-A中a11,a12为咬入点， b11,b12为轧出点)。由于理论上两辊与管坯是处于以轧制中心为原点的对称的位置，所 以同一断面上的咬入点和轧出点是分别处于管轴中心的同一个圆周上。为了叙述方便我们把 轧出点所在的圆称之为“变形圆”。沿轧制方向管坯断面的形状及其大小是逐渐在改变的。 金属在穿孔过程中就是由前一个变形圆沿着螺旋方向流动到后一个变形圆、这些变形圆迭加 在一起就形成一个“变形锥”。用截面法求管坯的断面形状、变形圆和变形锥是比较复杂的 问愿：·长期以来，许多研究者只能在实验的基础上作出种种推测和估计，但都未能做出合理 的几何解析、因而其结论就没有普遍意义。 本文将用包络球面法先求出变形锥，再按照“等体积变螺矩”原则求出各断面形状，最 后搞清管坯在穿孔区的变形情况，为进一步分析建立基础。 9
北 京 铜 铁 学 院 学 报 年第 期 钢管斜轧穿孔机辊型设计的几何基础 计 算 机 应 用 室 林学福 冶金 机械教研 室 念祖 工 程 图学教研 室 马番峰 摘 要 本 文从 图解 解 析方法入 手 、 研 究分 析在 交叉 轴 情况 下 ， 料 轧管坯 变形 情况 的空 间几 何关 系 ， 找 出其 内在规律 ， 并据此提 出合 理 的辊型 设 计方法 ， 以 改变 目前辊型 设 计仍处 于 缺乏 根 据 的盲 目抉态 。 文章给 出墓 本几 何 形 体的共 辘 回 转 面 的作 图法 ， 并推导 出它们 的解析公 式 。 这 里 的结论 除应用 于 斜 轧生产 中之 外 ， 也 适 用 于 机械加 工 如磨削 、 铣 削加 工 等 。 在实现 “ 四 个现代化 ” 的 过 程 中 ， 无缝 钢管 的生 产 在 国 民 经 济 中 占有重要地位 。 目 前 ， 无缝钢管的 生产不论 从品 种 、 数量 上还是 从质 量 上都必 须 提 高到一个新 的水 平 ， 才能适 应 国民经 济发展 的 需要 。 为了提高无缝钢 管 的产 量和 改 善它 的 内外表 面的 质 量 ， 目前国内外的 无缝钢管斜轧穿 孔 生产都向加大交 叉角方 向发展 ， 一般 已达 。 。 。 为 了适应 大交 叉角情 况 ， 三 辊穿孔机也 相应产生并 已取得 良好效果 。 目前 ， 国 内现有设备以二辊穿孔机为主 。 穿 孔机辊型设 计直 到 目前为止都是凭 经 验数据来确定 的 。 本文拟 从图 解解析方 法入 手 ， 研究 和 分析管坯变形情况 的空 间几何关系 ， 找 出其 内在 规律 ， 据此 提出辊型 合理 几何形状 的设计方 法 ， 以改 变 目前辊 型设计仍处于 缺乏根 据的 状态 。 让我们 先简单研究一下穿孔 区 的变形情 况 。 如果我 们垂直于管坯轴线取一 系 列截面 如 图 ， 每一个截面 上管 坯的 断面均 与各个辊面 的断有一段 接触 面长度 ， 其 中两个端点 ， 一个 我们称 它为 “ 咬入 点” ， 另一个 称 它 为 “ 轧 出点 ” 如 图 一 中 ， ， ， 为 咬 入 点 ， ， 为轧 出点 。 由 于理论上两辊与管坯 是 处于 以轧 制 中心 为原点 的对 称 的位置 ， 所 以同一 断面 上 的 咬入 点 和 轧 出点是 分 别处于管轴 中心 的同一个回周 上 。 为了叙 述方便我们把 乳出点所在 的 圆称 之 为 “ 变形圆” 。 沿轧制方向管坯 断面 的形状 及 其大小是逐渐 在改 变的 。 金属 在穿孔过 程 中就是 由前一 个变形 圆沿着螺旋方 向 流动 到后一个变形 圆 、 这些变形圆迭加 在 起就形 成一个 “ 变 形锥” 。 用 截面 法求管坯 的 断面 形状 、 变形圆和 变 形锥是 比较复杂的 阿通“ 长期以来 ， 许 多研究 者只 能在 实 验的基 础 上 作 出种 种 推测 和估 计 ， 但都未能做出合 理 的 几何解析 、 因而其结论就没 有普遍意义 。 本文将用 包络 球面法 先求 出变形锥 ， 再按照 “ 等体积变 螺矩” 原则求出各断面形状 ， 最 后搞 清管坯在穿孔区的变形情 况 ， 为进一 步 分析建立基 础， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．04．002
AT-B广- ”专向 AL-BL. A-A B-B 图1 一、用包络球面法求变形崔 我们知道，空间两根交叉轴线间，若其中一根轴线上给定了一个回转面，则在另一根轴 线上唯一地确定了另一个回转面与之密切接触，我们称它们为一对“共轭回转面”。共轭回 转面之间必定存在着一条“接触线”。 如果我们把穿孔机的轧辊辊面当作是给定的回转面，那么上述的变形锥就是与辊面密切 接触的另一个回转面。很显然，“变形锥”应该是以各个截面上的轧出点所形成的“轧出 线”绕管坯的轴线回转而形成的，轧出线就是前面提到的接触线，换句话说，变形锥就是轧 辊的共轭回转面。理解这一点是搞清斜轧变形的前提。 设已给定辊身长为L,大端直径D:;小端直径D2,交叉角α，两轴线最短距离A(即公 垂线长)。 在图2上，让管坯轴线放置成水平位置，根据α，D1、Dz、L数值，画出其正面投影、 再取一个与辊轴垂直的正垂面做辅助面，画出棍子的投影及管坯轴线（根据尺寸A)。在正 面投影的管坯轴线上，自交叉点O起向左取一系列等分点，找到其辅助投影，在辅助投影面 上，以辊轴为旋转轴，将各等分点转平，因辊面（锥面）旋转时其投影不变，这样就可以从 各等分点的新投影向锥面的外形素线作垂线，各垂足就是相应的球面与辊面的切点，再将这 些点旋转回原来的位置，投回到正面投影上去，把它们光滑地连接起来就得到一条接触线的 投影，而各球面的包络面就是该辊面处于该情况下的共轭回转面，即我们所要求的变形锥。 10
红一 ” 广卜 舀 一 谈咸苏甲 户 二 图 一 、 用 包络球 面法求 变形锥 我们知道 ， 空 间两根交叉轴线 间 ， 若其 中一根轴线 上给定 了一个回转面 ， 则 在 另一根轴 线 上唯一地确定 了另一个回转面 与之 密切 接触 ， 我 们称 它们为一对 “ 共扼回转面” 。 共耗回 转面之 间必定存在 着一 条 “ 接触线万 。 如果我们把穿孔机的轧 辊辊面 当作是 给定的 回转面 ， 那 么上述的变形锥就 是与辊面密切 接触 的 另一个回转面 。 很显然 ， “ 变形锥” 应 该是 以 各 个截 面 上 的轧 出点所 形成的 “ 轧出 线” 绕管坯 的轴线 回转而形成的 ， 轧出线 就是前面提到 的 接触 线 ， 换句话说 ， 变形锥就是轧 辊 的共辘回转面 。 理解这一点是 搞清斜轧变形 的前提 。 设 已给定辊身长为 大端直径 ， 小端直径 ， 交 叉 角 勺 两轴线 最短 距 离 即公 垂线 长 。 在 图 上 ， 让管坯轴线放置 成水 平位 置 ， 根 据 ， 、 、 数值 ， 画 出其正 面投影 、 再取一个与辊轴垂直的 正垂 面做辅助面 ， 画 出辊子 的投影及管坯轴线 根 据尺寸 。 在 正 面 投影的管坯轴线 上 ， 自交 叉点 起向左取一系列 等分点 ， 找 到其 辅 助投影 ， 在辅 助投影面 上 ， 以辊轴为旋转轴 ， 将各等分点转平 ， 因辊面 锥面 旋转时 其投影不变 ， 这样 就可 以从 各等分点的 新投影向锥面 的外形素线 作垂线 ， 各垂足 就是 相应 的球面 与辊面 的 切 点 ， 再将这 些点旋转回原来的位 置， 投回 到正 面投影上去 ， 把它 们光 滑地连接起来 就得 到一 条接触线 的 投影 ， 而 各球面 的包络 面 就是该辊面 处于该情况 下的共抚回转 面， 即我 们所要求的变形锥
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二、变形锥的进一步分析 如果上述各个参数：L、D:、D2、A的值不改变，只改变交叉角a的大小，重复前面的 作图，又可以得到不同的变形锥（见图3(a),(b)。 通过作图比较，在图4上可以看出：α越大，变形锥的喇叭口越大，而且变形锥的外形 素线是一条曲线，只有当α=0°时，变形锥才是直圆锥面。 图3(a) 12
二 、 变形锥的进一 步分析 如果 上述 各个参数 、 、 、 的值不改变 ， 作图 ， 又可 以得 到不 同的变形锥 见图 ， ” 。 只改变交叉角 的 大小 ， 重 复前面的 通 过作图比较 ， 在图 上可 以看 ， 出 越大 ， 变形 锥的喇 叭 口 越 大 ， 而且变形锥的外形 素线是一 条曲线 ， 只 有 当 。 。 时 ， 变形锥才是 直 圆锥面 。 一－ 卜子 一一一一一一城锚决一 书去十 尹卜入护多洲反 日 二二二二二一一一一，吧，弓胜猴日 伙洲并称裘北 肠 一 一 一一挂丈、 一奋 二丁 一 一入巴写二吮二斗 孙 沙 尸 冲 丫 丫全 、 一碑巴二二竺写二汤洲时性二舀奇 、 一户弓留沼二吐二二奋巴巴二二舀州 、 一‘ 口弓至三三盔兰三七右二二毛竺 口 日 尸 门 」 口 日歌丢言冬曰诬鱼多声二 闷诵刁 卜 ‘ 〔 甲乒二二， 妇 岌兴举七友不勿瓜从 一 ‘ 尸 璧理茸鑫盆葵三三二二 创」旧沙卜 叫 一一布麟势 「 ” ” 一上 一一 户 切口 一一 一 创州， 一一一 一 甲 一 一一一一一一 户 一 一 少 升 下一 一 一一 口 一 一 ‘ ‘ 口卜曰 吧习户 门 可 斤二一一一一 … 卜 一 龟 犷五井 一卜 图
图3(b) a2=20°a1=12°0=0° 图4 13
弓一 认、 ‘叹叹、 尸尸 一 一 了 优吊魁砂洲沪， 灭 「 一 － 一 一一 － 沪 ‘ 户二户戒厄 卜一 ‘ 一弓缤七二一代二翻脸卜尸 声 一『 一 一 一 一 环 － 一 一下狡 一一 二二弓 匕罗吧二二二， 一二 刁马 函，尸一 粉、 砚止墓至丢三云二二三三柑讯广一什 产箫霭卜贪、 、 邑兰罗二二二二二二二竺尸 二 ， 一尹 广， 忍亏 心 涟 之 全 弓含 之 ‘乏只 于 言 二二二‘ 二 一 了 一一， 一， 创 们 引 创 旧 峥 ‘ 卜 之‘ 一仃 录廿招 『下 、 、 一 － 、 哎李、 亡、 州服杯卜‘ 且 日下 、 、－ 一 、 、 、 、 、 以翻切、 工 丘王 夕 嘴肠于 皿 － 一 初朴 、 、 …少 工一 一 七 二 寻讨 二川 一 ‘工讨 工讨牙汁 一 、 、 、 ，叮讨 门犷 一一了 门 二二二日毕一一冲一州 赶 工舀
若管坯直径不变，则对于不同的交又角α，就会有不同的穿孔长度，随着交叉角α的增 大，穿孔长度变短，也就是管坯的变形区缩短而截面的尺寸加大（见图5），这样，轧制时 相对压下量就要大大地增加，这就是为什么在大交叉角情况下咬入困难、轧机振动甚至无法 轧制的原因。 图5 为了求得管坯的截面形状，除了要知道变形锥的形状及大小之外，还要知道金属在变形 区内流动的情况。 按等螺距划分变形锥，则断面图如图6所示。 在图6上，为了便于比较，把小交叉角a1的变形锥画在轴线的上.方，大交叉角α2的变 的变形锥画在轴线下方。 6543210 A-A 6543210 a=12 图6 实际上，在轧制过程中金属沿轴线方向流动的规律，应该是“等体积变螺距”原则，否 则将出现金属的堆积或拉断的现象。 按等体积原则对变形锥进行等分的实际意义就在于从变形过程金属流动的情况看，可以 说前面一个等分的金属旋转一定的角度之后，就处于后一个等分的空间里，这样依次运动， 直至轧件不再变形，而每一断面上的轧出点与辊面脱离接触之后就沿着螺旋线继续前进。 有了以上认识，我们]就可以按照等体积变螺距的原则绘制出合理的断面图形。真正的变 形空间正是由这些连续的断面所组成的。 14
若管坯直径 不变 ， 则对于 不同 的 交又 角 ， 就 会有不同的 穿孔长度 ， 随着交叉 角 的 增 大 ， 穿孔长度变短 ， 也 就是 管坯 的 变形 区缩 短而截 面的 尺寸加大 见 图 ， 这样 ， 轧制时 相对压 下量就要大大地 增加 ， 这就是为什 么在大交叉 角情况 下咬入 困难 、 轧机振 动甚至 无 法 轧制的原 因 。 …目 曰， 竺 业 为 了求得管坯 的截 面形状 ， 除 了要 知道变形锥的形状 及大小之外 ， 还 要 知道金 属 在变 形 区 内流动的情况 。 按等螺距 划 分变形锥 ， 则 断面 图如 图 所示 。 在 图 上 ， 为 了便 于 比较 ， 把小交 叉 角 的变 形锥 画在 轴线 的上方 ， 大交 叉角 的变 的变形锥画在轴 线 下方 。 肠幻 人 人 仪泌 二 图 实际上 ， 在 轧制 过程中金 属沿轴 线方 向流动 的规律 ， 应 该 是 “ 等体积 变螺距 ” 原 则 ， 否 则将出现金 属 的堆 积或拉 断 的 现象 。 按 等体积原则对变形 锥进行等分的实际意义就在 于从变形过程金属 流动 的情 况 看 ， 可以 说前面一个等分的金属旋 转一定的 角度之后 ， 就 处于后一 个等分的 空 间里 ， 这样 依 次运 动 ， 直至轧件 不再变形 ， 而每一断 面上 的 轧 出点 与辊 面脱 离接触之后 就 沿着螺旋 线 继 续前进 。 有 了以上 认识 ， 我 们就可 以按照 等体积变 螺 距 的 原 则绘制 出 合理的 断面 图形 。 真正的 变 形 空 间正是 由这些连续 的 断面 所 组成的 。 卫
三、按等体积变螺距原则绘制断面图 图7是考虑了等体积按变化着的螺距来量取断面上各分角线上的点所作出的断面图 8-B 图7 15
三 、 按 等体 积 变螺距 原 则绘 制断面 图 图 是考虑了等体积按变化着的 螺距来量取 断面上 各分角线上的 点所作出的 断面图 瞬黝 图
为了便于对比，按两个不同的交叉：来绘制断面图形。 变形锥还是按两个不同的交叉角分别画在轴线的上下部，但是剖面A一A和B一B还是画 或完整的。 从图中我们可以明显地看出：a变大时，咬入点a和轧出点b之间的距离相应地加大，断 面图形的蜗线半径也相应加大，而且越靠近入口端这种趋势就越明显。 根据上述的分析可以断定，当α增大时，压下量也随之加大，这就是当α增大时，旧有 辊型不能适应的主要原因。 前面已经提到，大交叉角可以提高产量和改善管坯的质量，这是目前发展的趋势，但是 如何解决加大交叉角与压下量随之增大的矛盾呢？我们认为可以从下述三条途径加以解决： 其一，采用三辊穿孔机，其二，仍用二辊穿孔机但要改变辊型设计，其三，三辊穿孔机也把 旧辊型加以改进，这是前两种方案的综合。总之辊型设计应符合最有利的轧制条件。 从图8上可以明显地看出，三辊穿孔机比之二辊穿孔机来说在各个断面上的绝对压下量 由原来的二分之一减少到三分之一（以金属旋转一周的半径差为准）。所以对三辊穿孔机而 言进一步加大交叉角是完全允许的，目前已达到？·。 图8 对现有二辊穿孔机进一步加大交叉角也是可能的，问题是如何在加大交叉角的条件下，设 计最为合理的辊型，使之加长穿孔锥部分长度，从而减少相对压下量。下面我们将讨论合理 设计穿孔机辊型的几何原理和解析公式的推导。 四、改进辊型设计的建议 我们认为穿孔机辊型的设计首先应该以理想的管坯变形条件为依据（即最佳变形条件）。 在考虑到整个变形情况的基础上，穿孔过程可以分成咬入，穿孔，整圆，辗轧、精整等几个 部分。这样甚至有可能一次就精轧出合格的管子来（国外已有这种轧机）。 理想的管坯变形情况，根据不同金属可以通过实验的方法加以确定。现假定最优的变形 情况已经求得并如图9所示。其中【一一咬入段，即为管坯圆柱的直径，最好设计为小锥度 的喇叭口，以适应毛坯尺寸和形状的偏差，【一穿孔段，为圆锥形、得到均匀的压下， 16
为了便于对 比 ， 按 两个不 同的交 叉 丸来绘制断面 图形 。 变形锥还是按 两个不 同的交 叉 角分 别 画在轴 线的 上下部 ， 但是 剖面 一 和 一 还是画 成完整的 。 从图 中我们可以 明显地 看 出 变大时 ， 咬入 点 和轧 出点 之 间的距 离相应地加大 ， 断 面 图形 的蜗线半径也相应加大 ， 而且越 靠近入 口 端这种趋势就越 明显 。 根据上述 的分析可 以断定 ， 当 增 大 时 ， 压下量 也随 之加大 ， 这 就是 当 增大时 ， 旧有 辊型 不能适应 的 主 要原 因 。 前面已经提到 ， 大交叉 角可 以提 高产 量和改 善管坯 的质 量 ， 这是目前发展 的趋势 ， 但是 如何解决加大交 叉 角与压下量 随 之增大 的矛盾 呢 我们认为可以 从下述三 条途径加以 解决 其一 ， 采用 三 辊穿孔机 ， 其二 ， 仍 用二辊穿孔机但 要改变辊型设计 ， 其三 ， 三辊穿孔机也把 旧 辊型加 以 改进 ， 这是 前两种方案 的综合 。 总之 辊型设计应 符合 最有利的轧 制条件 。 从图 上可 以 明显地看 出 ， 三 辊穿孔机 比之二辊穿孔机来说在 各个断面上的绝对压下量 由原来的二分之一减少 到三 分之一 以金 属旋转一周 的半径差为准 。 所 以对三辊穿孔机而 言进一步加大交 叉 角是完全 允许的 ， 目前 已达 到 。 。 对 现有二辊穿孔机进一 步加 大交 叉角也是可能的 ， 问题是如何在 加大交 叉角的 条件下 ， 设 计 最为合理 的辊型 ， 使 之加 长穿孔锥 部分 长度 ， 从而减少 相对压 下量 。 下面我 们将讨论合理 设 计穿孔机辊型 的几 何原理 和 解析公式的推 导 。 四 、 改 进辊 型设 计的建议 我们 认为穿孔机辊型 的设 计首先应 该 以 理 想 的管坯 变形 条件为依据 即最佳变 形 条件 。 在考虑到 整个变形情况 的基 础上 ， 穿孔 过程可 以 分成咬入 ， 穿 孔 ， 整圆 ， 辗轧 、 精 整 等几个 部分 。 这样甚 至 有可能一 次就精轧 出合 格的管子 来 国外 已有这种轧机 。 理想 的管坯 变形情 况 ， 根 据不 同金 属可 以通 过实验 的方 法加 以确定 。 现假定最优 的变形 情况 已经求得 并如 图 所示 。 其 中 － 咬入 段 ， 即 为管坯 回柱 的 直径 ， 最好设 计为小锥 度 的喇叭 口 ， 以 适应 毛 坯 尺 寸和 形状 的偏差 ， －穿孔段 ， 为圆锥形 、 得 到均匀的压 下 ， 母
置一整圆段，为圆柱形、防止外表面出现折迭波纹，V一展轧段，进一步轧薄管壁，要 考虑辊型与頂头的配合，使之钢管壁厚均匀影V一一精整段，整圆管子并压平外表面。 图9 有了上述变形条件之后，再给出交叉角和中心距A即可根据图解法定出新的辊型，并在 此基础上再推导出计算公式。 为了简化叙述，我们先将变形条件分成几部分，分别进行图解和解析推导、最后再加以 综合。 1,圆柱部分辊型 (1)图解法（图10） 在正面投影上使管坯轴线放成水平位置，定作X轴。取交叉点为O,根据交叉角α作出 辊轴O'X'粮。在侧面投影上根据管坯半径作出圆柱管坯有积聚性的投影一圆，再根据 中心距A作出辊轴的侧面投影O”X”袋。 图10 在正面投影上将辊轴按一定的步长等分（辊身长度是根据变形条件给定的各部分长度之 和而定的)，其分点为1‘，2'，3'，…，n‘,投影到侧面上得1"，2"，…，n”,各 点。以这些分点为球心可以分别作出不同半径的球面与管坯圆柱相切于不同的点。具体作图 是利用圆柱侧面投影为圆的积聚性，先将1”，2”，…”，与O”连线，这一组射线与圆的 17
，－ 整圆段 ， 为圆 柱形 、 防止外表面出现折迭波纹 ， － 展 轧段 ， 进一 步轧 薄管壁 ， 要 考虑辊型 与填头的配 合 ， 使 之 钢 管壁厚 均 匀， 一一精 整段 ， 整 圆管子 并压 平外 表 面 。 了 ’ ’ ， 创 尸 、 匕 一 且妇 一 图 有 了上述变形 条件之 后 ， 再给 出交 叉角和 中心 距 即可 根 据 图解法定 出新 的辊型 ， 并在 此 基 础 上再推 导 出计算公式 。 为 了简化叙述 ， 我 们 先将变形 条件分成几 部分 ， 分 别进行 图 解和 解析 推 导 、 最 后再加 以 综 合 。 圆柱部 分 辊 型 图解法 图 在正 面投影上使 管 坯轴 线 放成水 平位置 ， 定 作 轴 。 取 交 叉点 为 ， 根 据 交 叉角 作出 辊轴， ， 辊 。 在侧 面 投影上 根 据 管 坯半 径 作 出圆柱管 坯有积聚性 的投影－ 圆 ， 再根据 中心距 作出辊轴 的侧 面投影 “ “ 辊 。 态交 二 八 藻潺彝馋奕 一 一 抓 郭 耘目 芬垒迷拿李、 、 图 在正面 投影上 将辊轴 按 一定的 步 长等 分 辊身长度是根 据变 形 条件 给定 的 各部 分 长度之 和 而走的 ， 其分点为 ， ， ， ， ， ， … ， ， ， 投 影 到 侧 面 上得 “ ， “ ， … ， 扩 ， 各 点 。 ‘ 以这些分点为球心可 以 分 别作出 不 同半径 的球面 与 管坯 圆 柱 相切 于 不同 的点 。 具体作图 是利用 画柱 侧面投 影为 圆 的积 聚性 ， 先将 “ ， “ ， … “ ， 与 “ 连线 ， 这一 组射线 与 圆的
交点K1”,K:”,…K"即为球面与圆柱面的切点，显然球半径就分别是1K,”,2K“,… n"K"。在正面投影上分别以1'，2'，…n'为球心根据相应的半径作球面的投影一一园。 这些球面的包络面就是所求的辊面，而球面的投影一圆的包络线即为辊型曲线。 为了清晰准确的作出此包络线，可以利用作图确定包络面与球面的切点。 因为球面与柱面的接触点（切点）侧面投影均为已知，它们都是在球面侧面投影的外形 轮事大圆上，这些圆的正面投影就是过1'，2'，…‘的垂直直径，这样就可以找到各接 触点正面投影K:',K,',K',过这些点作辊轴的垂线就会与各相应的圆交于两点。将这 些交点光滑地连接起来就能准确地作出包络面一辊型曲面的轮廓线。各接触点光滑地连接 起来就是一条接触线，它是一条空间曲线，接触线绕辊轴回转就得到辊型曲面，而接触线绕 轧件轴线回转便是轧件的“孔型”。 (2)解析法 因为辊型曲面的轮廓线是一系列圆的包络、通过对所包络的圆的参数方程求偏导数，很 容易得出该包络线的参数方程。 以OX摄z'摇为坐标，则圆的参数方程是 2 A tg0-x'摄）+y辗= (1) 、ina c080 其中。tg0是园心的x坐标，圆心的z坐标为零， (哈。r)是圆的半径 ①是球心侧面投影和管坯中心连线与O”Y"轴的夹角，是方程的参数。 根据微分几何可知，若 F(x,z,w)=0 、 F(x,2,0）-=0 (2) 80 即可求出包络线以⊙为参数的方程，将(1)式对⊙求偏导数并令其为零，即得： Atgo cosa+rsinasin (3) Bina 将(3)式代入(1)式，经整理得 z=(o哈。-r)1-n2an0 (4) (3)和(4)就是对应于圆柱部分的辊型曲线的参数方程式。为了简化，式中x‘和z'可 以用x和z代替。 2.圆锥部分视型 (1)图解法 在前面第二部分求“变形锥”时已经涉及到这个问题，现在为了推出其解析公式，不妨 再详细地说明一下。如图11所示。 仍将圆锥轴线放成水平位置，根据交叉轴角α作出辊轴的正面投影o'x‘,根据中心 距A作出辊轴的侧面投影。"辊z”辐，仍按一定步长等分辊轴，从侧面投影上等分点(1”， 2",…n")向管坯中心o“作连线。 18
交点 尸 ， “ ， 一 “ 即为球 面 与圆柱 面的 切点 ， 显然球半径就分别是 ，护， 万 ， 一 扩 护 。 在正 面投影上 分 别 以 尹 ， 声 ， … 尹 为球心根据相应的半径 作球面 的投影－ 园、 这些 球面的 包络 面就 是所求的辊 面 ， 而球面的 投影－ 圆的 包络 线 即为辊型 曲线 。 为 了清晰 准确的 作出此 包络 线 ， 可 以利用 作图确定包 络面与球 面的 切点 。 因为球面与柱面的 接触点 切 点 侧 面投影均为 巳知 ， 它们都是 在球面侧 面投影的外形 轮廓大团上 ， 这些 圆 的正 面投 影 就是 过 尸 ， 尹 ， … 了 的垂 直 直径 ， 这样就可 以找 到各接 触点正 面投影 ，产 ， 产 ， 。 尸 ， 过这些点 作辊轴的垂 线就 会与各相应 的圆交于 两点 。 将这 些 交点 光 滑地 连 接起 来就 能 准确地 作 出包络 面－ 辊型 曲面 的轮廓线 。 各接触点光 滑地连 接 起来就是一 条接触 线 ， 它是一 条空 间 曲线 ， 接触 线绕辊轴 回转就得 到辊型 曲面 ， 而接触线绕 轧件轴 线回转便 是轧件的 “ 孔 型 ” 。 解析 法 因为辊型 曲面 的轮廓线是一 系列 圆的包络 、 通 过对所 包络 的 圆的 参数方程求偏导数 ， 很 容 易得 出该 包络 线的 参数方程 。 以 辘 尹 棍 为坐 标 ， 则 圆的 参数方 程是 、 六 一 ， 。 一 辊 ’ ， · 其 中 目 。 是 园心 的 坐标， 圆心 的 坐标为零， 、 一 一 一 卜 一 饭靛 一 一 少是圆的半径 。 是 球 心 侧 面投影和 管坯 中心连 线与 “ 刀 轴 的 夹 角 根 据微分几 何可 知 ， 若 是方 程的 参数 。 即可求出包 络线 以。 为参数的方 程 ， 将 式 对。 求偏 导数并令其为零 ， 即得 ， 二 奥 ‘ 鲤一 ， ， 。 。 ‘ 。 目 将 式 代入 式 ， 经 整理得 ， 辰磊 亿 一 苗 。 和 就 是 对 应于 圆柱 部分的 辊型 曲线的 参数方 程式 。 为 了简化 ， 式 中 尹 和 ， 可 以用 和 代替 。 圆 锥 部分棍型 图 解法 在前面 第二部分求 “ 变形锥” 时 巳经 涉及 到这个 问题 ， 现在为 了推 出其解析 公式 ， 不妨 再详细地 说 明一下 。 如 图 所 示 。 仍将圆 锥轴线放 成水 平位 置 ， 根 据交 叉轴 角 作出辊轴 的正 面投影 。 声 尸辐 ， 根 据 中心 距 作 出辊轴的侧 面投影 。 扩 辊 “ 棍 ， 仍按一定 步 长 等 分辊轴 ， 从侧 面投影上 等分点 扩 ， “ ， … “ 向管坯 中心 。 “ 作连线
