第4讲万有引力定律及其应用 自主篇一基础知识更重要 知识点吃透(关键词填空) 知识点一开普勒行星运动定律 1.开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个 2.开普勒第二定律(面积定律) 对每一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的 相等 3.开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的 三次方跟它的 的二次方的比值都相等 答案:1.焦点2.面积3.半长轴公转周期 知识点二万有引力定律 1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小 与物体的质量m和m的 成正比,与它们之间距离r的 成反比 2.公式:F=(,其中G= N·m2/kg2,叫万有引力常量 3.适用条件 公式适用于 间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物 体可视为质点:r为两物体间的距离 答案:1.乘积二次方2.6.67×10-13.质点 知识点三经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)物体的质量不随速度的变化而变化 (2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果 (3)适用条件:宏观物体、_运动 2.相对论时空观 同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果 答案:1.相同低速2.不同 》关键点排查(自我辨是非) (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆.( (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越近,运行速率越小.() (3)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律.() (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离,就可以由F=d2计算物体间的万
第 4 讲 万有引力定律及其应用 知识点一 开普勒行星运动定律 1.开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上. 2.开普勒第二定律(面积定律) 对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的 相等. 3.开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等. 答案：1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期 知识点二 万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小 与物体的质量 m1 和 m2 的 成正比，与它们之间距离 r 的 成反比. 2.公式：F＝G m1m2 r 2 ，其中 G＝ N·m2 /kg2，叫万有引力常量. 3.适用条件 公式适用于 间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物 体可视为质点；r 为两物体间的距离. 答案：1.乘积 二次方 2.6.67×10－11 3.质点 知识点三 经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)物体的质量不随速度的变化而变化. (2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果 . (3)适用条件：宏观物体、 运动. 2.相对论时空观 同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果 . 答案：1.相同 低速 2.不同 (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆.( ) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小.( ) (3)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律.( ) (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F＝G m1m2 r 2 计算物体间的万
有引力 (5)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心.() (6)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大 答案 (1)√ (3)√ (5)√ 课堂篇强化能力向高考 考点开普勒行星运动定律的理解和应用 第步讲透教材讲知识到位 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理,若按椭圆轨道处理,则利用其半长轴进行计算 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动 3开普勒第三定律产=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同 第②步细分考向研考题出彩 考向1对开普勒定律的理解 [典例1]火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知 A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 [解析]由开普勒第一定律(轨道定律)可知,太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,A错 误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同,运行速度的大小不可能始终相等,B错误.根据开普勒 第三定律(周期定律)可知,所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是 一个常数,C正确.对于某一个行星来说,其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等,不 同行星在相同的时间内扫过的面积不相等,D错误 [答案]C 考向2开普勒定律的应用 [典例2](2016·新课标全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上 任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设 地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约 为() A. 1 h C 8 h D 16 h [解题指导]画出由三颗同步卫星实现赤道上任意两点保持通讯的示意图,由几何关系 计算轨道半径,根据开普勒第三定律计算周期
有引力.( ) (5)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心.( ) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.( ) 答案： (1)√ (2) (3)√ (4) (5)√ (6) 考点 开普勒行星运动定律的理解和应用 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算. 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动. 3.开普勒第三定律a 3 T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同. 考向 1 对开普勒定律的理解 [典例 1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( ) A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 [解析] 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错 误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误.根据开普勒 第三定律(周期定律)可知，所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是 一个常数，C 正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不 同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误. [答案] C 考向 2 开普勒定律的应用 [典例 2] (2016·新课标全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上 任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍.假设 地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约 为( ) A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h [解题指导] 画出由三颗同步卫星实现赤道上任意两点保持通讯的示意图，由几何关系 计算轨道半径，根据开普勒第三定律计算周期
[解析]设地球半径为R,画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无 线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图,如图所示.由图中几何关系可得,同步卫星的最 小轨道半径r=2R.设地球自转周期的最小值为T,则由开普勒第三定律可得, 6.6R) 24h)2 严,解得~≈4h,选项B正确 [答案]B 第3步思维升华提技法出新 涉及椭圆轨道运动周期的问题,在中学物理中,常用开普勒第三定律求解.但该定律只能 用在同一中心天体的两星体之间,如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间, 而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律,开普勒第三定律不仅适用于天体 沿椭圆轨道运动,也适用于天体沿圆轨道运动 考点 2 万有引力的计算及应用 第步讲透教材讲知识到位 1.万有引力定律适用于计算质点间的引力,具体有以下三种情况 (1)两物体间的距离远远大于物体本身的线度,两物体可视为质点,例如行星绕太阳的旋 (2)两个均匀的球体间,其距离为两球心的距离 (3)一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体即质点之间,其距离为质点到 球心的距离 2.重力与万有引力的关系 重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;万有引力是物体随地球自转所 需向心力和重力的合力 (1)在地面上,忽略地球自转时,认为物体的向心力为零,各位置均有m≈ (2)若考虑地球自转,在赤道上的物体有一m一K=F向,其中F大小等于mg,对处于南北 两极的物体则有 (3)在地球上空某一高度处有、GMm R+h) mg,可知随着高度的增加,重力逐渐减小
[解析] 设地球半径为 R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无 线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示.由图中几何关系可得，同步卫星的最 小轨道半径 r＝2R.设地球自转周期的最小值为 T，则由开普勒第三定律可得， 6.6R）3 2R）3 ＝ 24 h） 2 T 2 ，解得 T≈4 h，选项 B 正确. [答案] B 涉及椭圆轨道运动周期的问题，在中学物理中，常用开普勒第三定律求解.但该定律只能 用在同一中心天体的两星体之间，如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间， 而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律，开普勒第三定律不仅适用于天体 沿椭圆轨道运动，也适用于天体沿圆轨道运动. 考点 万有引力的计算及应用 1.万有引力定律适用于计算质点间的引力，具体有以下三种情况： (1)两物体间的距离远远大于物体本身的线度，两物体可视为质点，例如行星绕太阳的旋 转. (2)两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离. (3)一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体即质点之间，其距离为质点到 球心的距离. 2.重力与万有引力的关系 重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所 需向心力和重力的合力. (1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有 mg≈ GMm R 2 . (2)若考虑地球自转，在赤道上的物体有GMm R 2 －FN＝F 向，其中 FN 大小等于 mg，对处于南北 两极的物体则有GMm R 2 ＝mg. (3)在地球上空某一高度 h 处有 GMm R＋h） 2＝mg′，可知随着高度的增加，重力逐渐减小
重力加速度也逐渐减小 第②步细分考向研考题出彩 考向1万有引力的计算 [典例3](多选)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆 轨道上,设地球质量为M,半径为R.下列说法正确的是() A.地球对一颗卫星的引力大小为 Glm B.一颗卫星对地球的引力大小为 C.两颗卫星之间的引力大小 D.三颗卫星对地球引力的合力大小为 [解析]地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A错误,B正确;两颗 相邻卫星与地球球心的连线互成120°角,间距为3r,代入数据得,两颗卫星之间的引力大 小为3F,选项C正确:三颗卫星对地球引力的合力为零,选项D错误 [答案]BC 考向2万有引力与重力的关系 [典例4]假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小 为,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G地球的密度为( D. 解析]在地球两极处, m,在赤道处,ag=m7B故、5-g)严 3 B正确 [答案]B 考向3万有引力的应用
重力加速度也逐渐减小. 考向 1 万有引力的计算 [典例 3] (多选)如图所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆 轨道上，设地球质量为 M，半径为 R.下列说法正确的是( ) A.地球对一颗卫星的引力大小为 GMm r－R）2 B.一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2 C.两颗卫星之间的引力大小为Gm 2 3r 2 D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm r 2 [解析] 地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项 A 错误，B 正确；两颗 相邻卫星与地球球心的连线互成 120°角，间距为 3r，代入数据得，两颗卫星之间的引力大 小为Gm 2 3r 2，选项 C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项 D 错误. [答案] BC 考向 2 万有引力与重力的关系 [典例 4] 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小 为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为( ) A. 3π GT 2 g0－g g0 B. 3π GT 2 g0 g0－g C. 3π GT 2 D. 3π GT 2 g0 g [解析] 在地球两极处，G Mm R 2 ＝mg0，在赤道处，G Mm R 2－mg＝m 4π2 T 2 R，故 R＝ g0－g）T 2 4π2 ，则 ρ＝ M 4 3 πR 3 ＝ R 2 g0 G 4 3 πR 3 ＝ 3g0 4πRG ＝ 3π GT 2 g0 g0－g ，B 正确. [答案] B 考向 3 万有引力的应用
典例5]假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布 均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为() A.1 dRR [解题指导]解答本题时应从以下两点进行分析: (1)地球表面重力加速度的计算方法:mg= ()质量分布均匀的球体(模型)可以看成无数个球壳(模型)的组合.球体内部某一点的重 力加速度,可以等效为以球心到该点为半径的球体表面的重力加速度 [解析]在地球表面,由万有引力定律有m=mg,其中M=mRp;在矿井底部,由万 有引力定律有一,其中业=3,十联立解得1-A正确 [答案]A 第③步思维升华提技法出新 1=和g=R+b)=不仅适用于地球,也适用于其他星球 2.在赤道上随地球自转的物体所受的万有引力F分解的两个分力F向和mg刚好在一条直 线上,则有F9=F向+mg 3.地球卫星的重力和万有引力 地球卫星的重力和万有引力是同一个力,且万有引力全部用来提供向心力,故地球卫星 处于完全失重状态 考点 3 天体质量和密度的计算 第步讲透教材讲知识到位 1.自力更生法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R (1) n得天体质量M= (2)天体密度p=MM3g 34n (3)Om=gR称为黄金代换公式 2.借助外援法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T
[典例 5] 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布 均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A.1－ d R B.1＋ d R C. R－d R 2 D. R R－d 2 [解题指导] 解答本题时应从以下两点进行分析： (1)地球表面重力加速度的计算方法：mg＝G Mm R 2 . (2)质量分布均匀的球体(模型)可以看成无数个球壳(模型)的组合.球体内部某一点的重 力加速度，可以等效为以球心到该点为半径的球体表面的重力加速度. [解析] 在地球表面，由万有引力定律有 G Mm R 2＝mg，其中 M＝ 4 3 πR 3ρ；在矿井底部，由万 有引力定律有 G M0m R 2 0 ＝mg0，其中 M0＝ 4 3 πR 3 0ρ，R＝R0＋d，联立解得g0 g ＝1－ d R ，A 正确. [答案] A 1.g＝G M R 2和 g′＝G M R＋h） 2不仅适用于地球，也适用于其他星球. 2.在赤道上随地球自转的物体所受的万有引力 F 引分解的两个分力 F 向和 mg 刚好在一条直 线上，则有 F 引＝F 向＋mg. 3.地球卫星的重力和万有引力 地球卫星的重力和万有引力是同一个力，且万有引力全部用来提供向心力，故地球卫星 处于完全失重状态. 考点 天体质量和密度的计算 1.自力更生法 利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. (1)由 G Mm R 2＝mg 得天体质量 M＝ gR 2 G . (2)天体密度 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR . (3)Gm＝gR 2 称为黄金代换公式. 2.借助外援法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T
42r3 ()由m得天体的质量∥ (2)若已知天体的半径B,则天体的密度P干 (3)若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度p= 可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期7,就可估算出中心天体的密度 第2步细分考向研考题出彩 [典例δ](2017·广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验,结果为探 测器在靠近火星表面轨道做圆周运动的周期是,探测器着陆过程中,第一次接触火星表面后, 以的初速度竖直反弹上升,经t时间再次返回火星表面,设这一过程只受火星的重力作用, 且重力近似不变.已知引力常量为G,试求: (1)火星的密度 (2)火星的半径 [解析](1)设火星的半径为R,火星的质量为M,探测器的质量为m,探测器绕火星表面 飞行时,有 可得火星的质量M 则根据密度的定义有p==-673π (2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力,有 根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动,根据竖直上抛运动落回抛出点的 时间=产得火星表面的重力加速度2h 将②④代入③得=F 答案]①3x(2)2 [变式1](多选)如图所示,飞行器P绕某星球做匀速圆周运动,星球相对飞行器的张角 为,下列说法正确的是() A.轨道半径越大,周期越长 B.轨道半径越大,速度越大
(1)由 G Mm r 2＝m 4π2 r T 2 得天体的质量 M＝ 4π2 r 3 GT 2 . (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3πr 3 GT 2 R 3 . (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝ 3π GT 2 ， 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度. [典例 6] (2017·广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为探 测器在靠近火星表面轨道做圆周运动的周期是 T，探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后， 以 v0 的初速度竖直反弹上升，经 t 时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用， 且重力近似不变.已知引力常量为 G，试求： (1)火星的密度； (2)火星的半径. [解析] (1)设火星的半径为 R，火星的质量为 M，探测器的质量为 m，探测器绕火星表面 飞行时，有 G mM R 2＝mR 4π2 T 2 ，① 可得火星的质量 M＝ 4π2 R 3 GT 2 ，② 则根据密度的定义有 ρ＝ M V ＝ 4π2 R 3 GT 2 4 3 πR 3 ＝ 3π GT 2 . (2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有 G mM R 2 ＝mg′，③ 根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的 时间 t＝ 2v0 g′ 得火星表面的重力加速度 g′＝ 2v0 t ，④ 将②④代入③得 R＝ v0T 2 2π2 t . [答案] (1)3π GT 2 (2) v0T 2 2π2 t [变式 1] (多选)如图所示，飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角 为 θ，下列说法正确的是( ) A.轨道半径越大，周期越长 B.轨道半径越大，速度越大
C.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度 D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均密度 答案:AC解析:设星球质量为M,半径为R,飞行器绕星球运动的半径为r,周期为T 由y=m27知=2x√r越大,T越大,选项A正确:由=知|GM,r 越大,v越小,选项B错误:由 停和"得-xsm,所以 所以选项C正确,D错误. 第3步思维升华提技法出新 1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的 质量,并非环绕天体的质量 2.区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r≈R计算天体 密度时,=六I中的R只能是中心天体的半径 考点宇宙中双星及多星模型 第步讲透教材讲知识到位 1.双星模型 (1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的,故两行星做 匀速圆周运动的向心力大小相等 (2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,因此它们的运行周期和角速度是相 等的 ()两颗行星做匀速圆周运动的半径n和n2与两行星间距L的大小关系:n+n2=L. 2.三星模型 (1)如图甲所示,三颗质量相等的行星,一颗行星位于中心位置不动,另外两颗行星围绕 它做圆周运动.这三颗行星始终位于同一直线上,中心行星受力平衡.运转的行星由其余两颗
C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 答案：AC 解析：设星球质量为 M，半径为 R，飞行器绕星球运动的半径为 r，周期为 T. 由 G Mm r 2＝m 4π2 T 2 r 知 T＝2π r 3 GM ，r 越大，T 越大，选项 A 正确；由 G Mm r 2 ＝m v 2 r 知 v＝ GM r ，r 越大，v 越小，选项 B 错误；由 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r 和 ρ＝ M 4 3 πR 3 得 ρ＝ 3πr 3 GT 2 R 3 ，又R r ＝sin θ 2 ，所以 ρ＝ 3π GT 2 sin3θ 2 ，所以选项 C 正确，D 错误. 1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的 质量，并非环绕天体的质量. 2.区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体 密度时，V＝ 4 3 πR 3 中的 R 只能是中心天体的半径. 考点 宇宙中双星及多星模型 1.双星模型 (1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做 匀速圆周运动的向心力大小相等. (2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相 等的. (3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间距 L 的大小关系：r1＋r2＝L. 2.三星模型 甲 (1)如图甲所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕 它做圆周运动.这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡.运转的行星由其余两颗
行星的引力提供向心力 两行星转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等 (2)如图乙所示,三颗行星位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆周运动每 颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供 三颗行星转动的方向相同,周期、角速度相等. 乙 第2步细分考向研考题出彩 考向1双星模型的计算 [典例]2012年7月,一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双 星系统,它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动,如图所示.此双星系统中体积较小成员 能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者 球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中() A.它们做圆周运动的万有引力保持不变 B.它们做圆周运动的角速度不断变大 C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大,线速度也变大 D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大,线速度变小 解析]对双星M、显,设距离为L,圆周运动半径分别为n、n2,它们做圆周运动的万 有引力为F=0,距离L不变,M与影之和不变,其乘积大小变化,则它们的万有引力发生 变化,A错;依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动,周期和角速度相同,由万 有引力定律及牛顿第二定律:越=Man,越=起,n+=,可解得:M十 Mn=属n2,由此可知ω不变,质量比等于圆周运动半径的反比,故体积较大的星体因质量减 小,其轨道半径将增大,线速度也增大,B、D错,C对. [答案]C 考向2三星模型的计算 [典例8](多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图
行星的引力提供向心力：Gm 2 r 2 ＋ Gm 2 2r） 2＝ma 向. 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等. (2)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动.每 颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供. 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等. 乙 考向 1 双星模型的计算 [典例 7] 2012 年 7 月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双 星系统，它们绕两者连线上的某点 O 做匀速圆周运动，如图所示.此双星系统中体积较小成员 能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者 球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( ) A.它们做圆周运动的万有引力保持不变 B.它们做圆周运动的角速度不断变大 C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大 D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小 [解析] 对双星 M1、M2，设距离为 L，圆周运动半径分别为 r1、r2，它们做圆周运动的万 有引力为 F＝G M1M2 L 2 ，距离 L 不变，M1与 M2 之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生 变化，A 错；依题意双星系统绕两者连线上某点 O 做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万 有引力定律及牛顿第二定律：G M1M2 L 2 ＝M1ω2 r1，G M1M2 L 2 ＝M2ω2 r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝ ω 2 L 3 G ， M1r1＝M2r2，由此可知 ω 不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减 小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D 错，C 对. [答案] C 考向 2 三星模型的计算 [典例 8] (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图
所示,三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R,忽略其他星体对它 们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,万有引力常量为G,则 A.每颗星做圆周运动的线速度 B每颗星做圆周运动的角速度为1/3c C每颗星做圆周运动的周期为2x1/ D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 解门每星受到的合力为=m60层,轨道半径为=3A由向心力 公式F=m=m=ma2r=m 解得a √3 显然加速度a与m有关,故A、B、C正确 [答案]ABC [变式2](多选)美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较 远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统:三颗星位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央 星在同一半径为R的圆形轨道上运行.设每个星体的质量均为M,忽略其他星体对它们的引力 作用,则( A环绕星运动的角速度为1⑤5cM B.环绕星运动的角线度为 C.环绕星运动的周期为4x50∥ D.环绕星运动的周期为2丌 R GM 答案:BC解析:环绕星做匀速圆周运动,其他两星对它的万有引力充当向心力,即 G =M2=2 R,解得v= 4,7=4m 5GM 、C正 2R) 4R 确,A、D错误
所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它 们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则 ( ) A.每颗星做圆周运动的线速度为 Gm R B.每颗星做圆周运动的角速度为 3Gm R 3 C.每颗星做圆周运动的周期为 2π R 3 3Gm D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 [解析] 每颗星受到的合力为 F＝2G m 2 R 2sin 60°＝ 3G m 2 R 2，轨道半径为 r＝ 3 3 R，由向心力 公式 F＝ma＝m v 2 r ＝mω2 r＝m 4π2 r T 2 ，解得 a＝ 3Gm R 2 ，v＝ Gm R ，ω＝ 3Gm R ，T＝2π R 3 3Gm ， 显然加速度 a 与 m 有关，故 A、B、C 正确. [答案] ABC [变式 2] (多选)美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较 远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央 星在同一半径为 R 的圆形轨道上运行.设每个星体的质量均为 M，忽略其他星体对它们的引力 作用，则( ) A.环绕星运动的角速度为 5GM R 3 B.环绕星运动的角线度为 5GM 4R C.环绕星运动的周期为 4π R 3 5GM D.环绕星运动的周期为 2π R 3 GM 答案：BC 解析：环绕星做匀速圆周运动，其他两星对它的万有引力充当向心力，即 G M 2 R 2 ＋G M 2 2R）2＝M v 2 R ＝Mω 2 R＝M 2π T 2 R，解得 v＝ 5GM 4R ，ω＝ 5GM 4R 3 ，T＝4π R 3 5GM ，B、C 正 确，A、D 错误
第3步思维升华 提技法出新 1.双星模型的重要结论 )两颗星到轨道圆心的距离n、a与星体质量成反比一会 (2)双星的运动周期7=2m G m+m) ()双星的总质量m+D=r6 2.多星问题的解题技巧 (1)挖掘一个隐含条件:在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等 (2)重视向心力来源分析:双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供, 星或多星做圆周运动,向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供 (3)区别两个长度关系:圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的,不能 误认为一样. 训练篇分项细练要技巧一 1.[开普勒定律的应用]地球的公转轨道接近圆,但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭 圆天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星,他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公 转轨道半径的18倍,并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实,该彗 星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年,它下次将在哪一年飞近地球() A.2042年 B.2052年 C.2062年 D.2072年 (太阳)地球 rt地 答案:C解析:根据开普勒第三定律=k,可得 且rg=18r地,得 地,又T地=1年,所以T=54V2年≈76年,故选C 2.[天体质量的计算]观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的 弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ(弧度),如图所示.已知引力常量为G,“嫦娥三号”的 环月轨道可近似看成是圆轨道,由此可推导月球的质量为() 嫦娥三号 月球 A.2 Got
1.双星模型的重要结论 (1)两颗星到轨道圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比m1 m2 ＝ r2 r1 . (2)双星的运动周期 T＝2π L 3 G m1＋m2） . (3)双星的总质量 m1＋m2＝ 4π2 L 3 T 2 G . 2.多星问题的解题技巧 (1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等. (2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三 星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供. (3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的，不能 误认为一样. 1.[开普勒定律的应用]地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭 圆.天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公 转轨道半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗 星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，它下次将在哪一年飞近地球( ) A.2042 年 B.2052 年 C.2062 年 D.2072 年 答案：C 解析：根据开普勒第三定律a 3 T 2＝k，可得r 3 慧 T 2 慧 ＝ r 3 地 T 2 地 ，且 r 慧＝18r 地，得 T 慧＝54 2T 地，又 T 地＝1 年，所以 T 慧＝54 2年≈76 年，故选 C. 2.[天体质量的计算]观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的 弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 θ(弧度)，如图所示.已知引力常量为 G，“嫦娥三号”的 环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( ) A.2π l 3 Gθt 2 B. l 3 Gθt 2