第4单元 运动图象追及与相遇问题 必备知识要打牢 抓双基 固本源 F握程度 IBEL ZHISHI YAO DALAO 直线运动的x图象 想一想] 乙两物体的位移时间图象如图1-4-1所示,请思考以下问题 图1-4一 (1)甲、乙两物体各做什么性质的运动 (2)甲、乙两物体速度的大小关系。 (3)甲、乙两物体的出发点相距多远 提示:(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动 (2)甲物体的速度小于乙物体的速度 (3)两物体的出发点相距为x0,且甲物体在前。 1.图象的意义 反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。 2.两种特殊的xt图象 (1)x-t图象是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态 (2)x-t图象是一条倾斜直线,说明物体处于匀速直线运动状态 3.x-t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义 (1)点:两图线交点,说明两物体相遇。 (2)线:表示研究对象的变化过程和规律 (3)斜率:x-t图象的斜率表示速度的大小及方向 (4)截距:纵轴截距表示匚=0时刻的初始位移,横轴截距表示位移为零的时刻。 [试一试] 1如图1-4-2所示是一辆汽车做直线运动的x-t图象,对线段OA、AB、BC、CD所
1 第 4 单元 运动图象__追及与相遇问题 直线运动的 x—t 图象 [想一想] 甲、乙两物体的位移时间图象如图 1－4－1 所示，请思考以下问题： 图 1－4－1 (1)甲、乙两物体各做什么性质的运动。 (2)甲、乙两物体速度的大小关系。 (3)甲、乙两物体的出发点相距多远。 提示：(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动。 (2)甲物体的速度小于乙物体的速度。 (3)两物体的出发点相距为 x0，且甲物体在前。 [记一记] 1．图象的意义 反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。 2．两种特殊的 x－t 图象 (1)x－t 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。 (2)x－t 图象是一条倾斜直线，说明物体处于匀速直线运动状态。 3．x－t 图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义 (1)点：两图线交点，说明两物体相遇。 (2)线：表示研究对象的变化过程和规律。 (3)斜率：x－t 图象的斜率表示速度的大小及方向。 (4)截距：纵轴截距表示 t＝0 时刻的初始位移，横轴截距表示位移为零的时刻。 [试一试] 1.如图 1－4－2 所示是一辆汽车做直线运动的 x－t 图象，对线段 OA、AB、BC、CD 所
表示的运动,下列说法正确的是() <m 图1-4-2 A.OA段运动最快 B.AB段静止 C.CD段表示的运动方向与初始运动方向相反 D.运动4h汽车的位移大小为60km 解析:选BC图中CD段斜率的绝对值最大,故CD段的速度最大,A错误;AB段位 移不随时间变化,说明AB段汽车静止,B正确:CD段的斜率与OA段的斜率符号相反 表明两段汽车的运动方向相反,C正确:4h内汽车运动的总位移为零,D错误。 直线运动的U-t图象 想一想 A、B两物体的U-t图象如图1-4-3所示,请思考以下问题: 0105加02 图1-4-3 (1)A、B两物体的运动性质 (2)A、B两物体的加速度大小 (3)在0~10s内A、B两物体的位移大小 提示:(1)A物体做匀速直线运动,B物体做匀加速直线运动。 (2川A物体的加速度为0,B物体的加速度大小为0.5m/s (3)在0~10s内,A物体的位移大小为50m,而B物体的位移大小为25m。 [记一记] 1.图象的意义 反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律 2.两种特殊的U—t图象 (1)若-t图象是与横轴平行的直线,说明物体做匀速直线运动
2 表示的运动，下列说法正确的是( ) 图 1－4－2 A．OA 段运动最快 B．AB 段静止 C．CD 段表示的运动方向与初始运动方向相反 D．运动 4 h 汽车的位移大小为 60 km 解析：选 BC 图中 CD 段斜率的绝对值最大，故 CD 段的速度最大，A 错误；AB 段位 移不随时间变化，说明 AB 段汽车静止，B 正确；CD 段的斜率与 OA 段的斜率符号相反， 表明两段汽车的运动方向相反，C 正确；4 h 内汽车运动的总位移为零，D 错误。 直线运动的 v－t 图象 [想一想] A、B 两物体的 v－t 图象如图 1－4－3 所示，请思考以下问题： 图 1－4－3 (1)A、B 两物体的运动性质； (2)A、B 两物体的加速度大小； (3)在 0～10 s 内 A、B 两物体的位移大小。 提示：(1)A 物体做匀速直线运动，B 物体做匀加速直线运动。 (2)A 物体的加速度为 0，B 物体的加速度大小为 0.5 m/s2。 (3)在 0～10 s 内，A 物体的位移大小为 50 m，而 B 物体的位移大小为 25 m。 [记一记] 1．图象的意义 反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。 2．两种特殊的 v－t 图象 (1)若 v－t 图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动
(2)若υ-t图象是一条倾斜的直线,说明物体做匀变速直线运动 3.υ-t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义 (1)点:两图线交点,说明两物体在该时刻的速度相等 (2)线:表示速度的变化过程和规律 (3)斜率:表示加速度的大小及方向 (4)截距:纵轴截距表示匚=0时刻的初速度,横轴截距表示速度为零的时刻 (5)面积:数值上表示某段时间内的位移 2某物体运动的速度图象如图1-4-4所示,根据图象可知( 图1-4-4 A.0~2s内的加速度为1m/s2 B.0~5s内的位移为10m C.第1s末与第3s末的速度方向相同 D.第1s末与第5s末加速度方向相同 解析:选ACυ-t图线在时间轴的上方,故第1s末与第3s末的速度方向相同,C正 确。图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小,正负表示加速度的方向,故0~2s内的 加速度ca ns2=1m/s3,方向为正,A正确。第1s末加速度的大小和方向与0~2 内的相同,第5s末加速度的大小和方向与4~5内的相同,而4~5内的加速度a2=02 m=-2ms2,方向为负,D错误。0~5s内的位移x=×(2+5)×2m=7m,B错误 「追及与相遇问题1 [记一记 1.追及与相遇问题的概述 当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离 会不断发生变化,两物体间距越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等 问题 2.追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的
3 (2)若 v－t 图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。 3．v－t 图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义 (1)点：两图线交点，说明两物体在该时刻的速度相等。 (2)线：表示速度的变化过程和规律。 (3)斜率：表示加速度的大小及方向。 (4)截距：纵轴截距表示 t＝0 时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻。 (5)面积：数值上表示某段时间内的位移。 [试一试] 2.某物体运动的速度图象如图 1－4－4 所示，根据图象可知( ) 图 1－4－4 A．0～2 s 内的加速度为 1 m/s2 B．0～5 s 内的位移为 10 m C．第 1 s 末与第 3 s 末的速度方向相同 D．第 1 s 末与第 5 s 末加速度方向相同 解析：选 AC v－t 图线在时间轴的上方，故第 1 s 末与第 3 s 末的速度方向相同，C 正 确。图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小，正负表示加速度的方向，故 0～2 s 内的 加速度a 1＝ 2－0 2 m/s2＝1 m/s 2，方向为正，A 正确。第 1 s 末加速度的大小和方向与 0～2 s 内的相同，第 5 s 末加速度的大小和方向与 4～5 s 内的相同，而 4～5 s 内的加速度 a2＝ 0－2 1 m/s2＝－2 m/s 2，方向为负，D 错误。0～5 s 内的位移 x＝ 1 2 ×(2＋5)×2 m＝7 m，B 错误。 追及与相遇问题 [记一记] 1．追及与相遇问题的概述 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离 会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等 问题。 2．追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的
速度。 (2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者速度相等时,两者相距最近。 3.相遇问题的常见情况 (1)同向运动的两物体追及即相遇。 (2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇 [试一试] 3甲、乙两物体先后从同一地点出发,沿一条直线运动,它们的-t图象如图1-4-5 所示,由图可知 /(ms) 图1 甲比乙运动快,且早出发,所以乙追不上甲 B.t=20s时,乙追上了甲 C.在t=20s之前,甲比乙运动快;在t=20s之后,乙比甲运动快 D.由于乙在t=10s时才开始运动,所以t=10s时,甲在乙前面,它们之间的距离为 乙追上甲前的最大距离 解析:选C从题图中看到开始甲比乙运动快,且早出发,但是乙做匀加速运动,最终 是可以追上甲的,A项错误;t=20s时,速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大 于乙的,即甲的位移大于乙的位移,所以乙没有追上甲,B项错误;在t=20s之前,甲的 速度大于乙的速度,在t=20s之后,乙的速度大于甲的速度,C项正确:乙在追上甲之前, 当它们速度相同时,它们之间的距离最大,对应的时刻为t=20s,D选项错误。 2高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高 掌握程度 对运动图象的理解及应用 相同的图线在不同性质的运动图象中含义截然不同,下面我们做一全面比较(见下表)。 图象 x-t图象 U-t图象 a-t图象 图象实例
4 速度。 (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者速度相等时，两者相距最近。 3．相遇问题的常见情况 (1)同向运动的两物体追及即相遇。 (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。 [试一试] 3.甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的 v－t 图象如图 1－4－5 所示，由图可知( ) 图 1－4－5 A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲 B．t＝20 s 时，乙追上了甲 C．在 t＝20 s 之前，甲比乙运动快；在 t＝20 s 之后，乙比甲运动快 D．由于乙在 t＝10 s 时才开始运动，所以 t＝10 s 时，甲在乙前面，它们之间的距离为 乙追上甲前的最大距离 解析：选 C 从题图中看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终 是可以追上甲的，A 项错误；t＝20 s 时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大 于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B 项错误；在 t＝20 s 之前，甲的 速度大于乙的速度，在 t＝20 s 之后，乙的速度大于甲的速度，C 项正确；乙在追上甲之前， 当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为 t＝20 s，D 选项错误。 对运动图象的理解及应用 相同的图线在不同性质的运动图象中含义截然不同，下面我们做一全面比较(见下表)。 图象 x－t 图象 v－t 图象 a－t 图象 图象实例
图线①表示质点做匀速图线①表示质点做匀加图线①表示质点做加 直线运动(斜率表示速度速直线运动(斜率表示加速度逐渐增大的直线 速度a) 运动 图线②表示质点做匀速图线②表示质点做匀 图线②表示质点静止 直线运动 变速直线运动 图线③表示质点向负方图线③表示质点做匀减|图线③表示质点做加 图线含文向做匀速直线运动 速直线运动 速度减小的直线运动 交点④表示此时三个质交点④表示此时三个质「交点④表示此时三个 点相遇 点有相同的速度 质点有相同的加速度 点⑤表示n时刻质点 点⑤表示t时刻质点速 点⑤表示n1时刻质点位移 加速度为a(图中阴 度为o(图中阴影部分面 为x(图中阴影部分的面 影部分面积表示质点 积表示质点在0~1时间 积没有意义) 在0~1时间内的速 内的位移) 度变化量) 例1](2013·聊城联考)如图1-4-6所示,是某型号全液体燃料火箭发射时第一级火 箭发动机工作时火箭的a-t图象,开始时的加速度曲线比较平滑,在120s的时候,为了把 加速度限制在4g以内,第一级的推力降至60%,第一级的整个工作时间为200s。由图线可 以看出,火箭的初始加速度为15m/s2,且在前50s内,加速度可以看做均匀变化,试计算 图1-4-6 (1)=50s时火箭的速度 (2)如果火箭是竖直发射的,在t=10s前看成匀加速运动,则t=10s时离地面的高度是 多少?如果此时有一碎片脱落,将需多长时间落地?(取g=10ms3,结果可用根式表示) 审题指导 (1)a-t图线与t轴所围面积为火箭速度的变化量。 (2)火箭上脱落的碎片将做竖直上抛运动 尝试解题] (1)因为在前50s内,加速度可以看做均匀变化,则加速度图线是倾斜的直线,它与时 间轴所围的面积大小就表示该时刻的速度大小,所以有
5 图线含义 图线①表示质点做匀速 直线运动(斜率表示速度 v) 图线①表示质点做匀加 速直线运动(斜率表示加 速度 a) 图线①表示质点做加 速度逐渐增大的直线 运动 图线②表示质点静止 图线②表示质点做匀速 直线运动 图线②表示质点做匀 变速直线运动 图线③表示质点向负方 向做匀速直线运动 图线③表示质点做匀减 速直线运动 图线③表示质点做加 速度减小的直线运动 交点④表示此时三个质 点相遇 交点④表示此时三个质 点有相同的速度 交点④表示此时三个 质点有相同的加速度 点⑤表示 t1 时刻质点位移 为 x1(图中阴影部分的面 积没有意义) 点⑤表示 t1 时刻质点速 度为 v1(图中阴影部分面 积表示质点在0～t1 时间 内的位移) 点⑤表示 t1 时刻质点 加速度为 a1(图中阴 影部分面积表示质点 在 0～t1 时间内的速 度变化量) [例 1] (2013·聊城联考)如图 1－4－6 所示，是某型号全液体燃料火箭发射时第一级火 箭发动机工作时火箭的 a－t 图象，开始时的加速度曲线比较平滑，在 120 s 的时候，为了把 加速度限制在 4g 以内，第一级的推力降至 60%，第一级的整个工作时间为 200 s。由图线可 以看出，火箭的初始加速度为 15 m/s2，且在前 50 s 内，加速度可以看做均匀变化，试计算： 图 1－4－6 (1)t＝50 s 时火箭的速度； (2)如果火箭是竖直发射的，在 t＝10 s 前看成匀加速运动，则 t＝10 s 时离地面的高度是 多少？如果此时有一碎片脱落，将需多长时间落地？(取 g＝10 m/s2，结果可用根式表示) [审题指导] (1)a－t 图线与 t 轴所围面积为火箭速度的变化量。 (2)火箭上脱落的碎片将做竖直上抛运动。 [尝试解题] (1)因为在前 50 s 内，加速度可以看做均匀变化，则加速度图线是倾斜的直线，它与时 间轴所围的面积大小就表示该时刻的速度大小，所以有
U=×(15+20)×50m/s=875m (2)如果火箭是竖直发射的,在t=10s前看成匀加速运动,则r=10s时离地面的高度是 h=ap=×15×102m=750m 如果有一碎片脱落,它的初速度v1=ar=150m/s 离开火箭后做竖直上抛运动,有-h=0-2g2 代入数据解得t=(15+5V15)s 答案](1)875m(2)750m(15+515)s 规律总结 应用运动图象解题时应注意的问题 (1)运动图象只描述直线运动 (2)不同的图象“斜率”“面积”的含义不同。 (3)速度图象中,图线斜率为正,物体不一定做加速运动,图线斜率为负,物体也不 定做减速运动 追及相遇问题分析 1追及相遇问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到 (2)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、 最小的临界条件,也是分析判断的切入点 2.追及相遇问题常见的情况 假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距x0,有两种常见情况 (1)A追上B时,必有xA-xB=x0,且A≥UB (2)要使两物体恰好不相撞,两物体同时到达同一位置时相对速度为零,必有 x,ω=υBa。若使两物体保证不相撞,此时应有<UB [例2]甲车以10ms的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以4m/s的速度与甲车平 行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以0.5ms3的加速度刹车,从甲车刹车开始 计时,求: (1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离 (2)乙车追上甲车所用的时间 审题指导 6
6 v＝ 1 2 ×(15＋20)×50 m/s＝875 m/s (2)如果火箭是竖直发射的，在 t＝10 s 前看成匀加速运动，则 t＝10 s 时离地面的高度是 h＝ 1 2 at2＝ 1 2 ×15×102 m＝750 m 如果有一碎片脱落，它的初速度 v1＝at＝150 m/s 离开火箭后做竖直上抛运动，有－h＝v1t－ 1 2 gt2 代入数据解得 t＝(15＋5 15) s [答案] (1)875 m/s (2)750 m (15＋5 15) s 应用运动图象解题时应注意的问题 (1)运动图象只描述直线运动。 (2)不同的图象“斜率”“面积”的含义不同。 (3)速度图象中，图线斜率为正，物体不一定做加速运动，图线斜率为负，物体也不一 定做减速运动。 追及相遇问题分析 1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到。 (2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、 最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 2．追及相遇问题常见的情况 假设物体 A 追物体 B，开始时，两个物体相距 x0，有两种常见情况： (1)A 追上 B 时，必有 xA－xB＝x0，且 vA≥vB。 (2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时相对速度为零，必有 xA－xB＝ x0，vA＝vB。若使两物体保证不相撞，此时应有 vA<vB。 [例 2] 甲车以 10 m/s 的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以 4 m/s 的速度与甲车平 行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以 0.5 m/s2 的加速度刹车，从甲车刹车开始 计时，求： (1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； (2)乙车追上甲车所用的时间。 [审题指导]
第一步:抓关键点 关键点 获取信息 甲车经过乙车旁边开始刹车 两车运动的起点位置 以05mS的加速度刹车甲车刹车后做匀减速直线运动 从甲车刹车开始计时 两车运动的时间关系 第二步:找突破口 要求两车间的最大距离→应利用速度关系式U乙=U甲-a求出到距离最大时的时间→利 用位移关系求最大距离。 尝试解题] (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则 7乙=甲at 解得:t=12s 此时甲、乙间的距离为△x=甲2r2-0z=10×12m-2×0.5×12m-4×12m (2)设甲车减速到零所需时间为,则有:h=-=20s 1时间内:x甲=1=×20m=100m x乙=z1=4×20m=80m - 此后乙车运动时间:= 20 故乙车追上甲车需n+12=25s 答案](1)36m 规律总结 求解追及相遇问题的思路和技巧 (1)解题思路和方法 分析物体 示意图/→/找两物体 列位移 运动过程 位移关系→方程 (2)三点解题技巧 ①紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式 ②审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰
7 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 甲车经过乙车旁边开始刹车 两车运动的起点位置 以 0.5 m/s2 的加速度刹车 甲车刹车后做匀减速直线运动 从甲车刹车开始计时 两车运动的时间关系 第二步：找突破口 要求两车间的最大距离→应利用速度关系式 v 乙＝v 甲－at 求出到距离最大时的时间→利 用位移关系求最大距离。 [尝试解题] (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设该减速过程经过的时间为 t，则 v 乙＝v 甲－at 解得：t＝12 s 此时甲、乙间的距离为 Δx＝v 甲 t－ 1 2 at2－v 乙 t＝10×12 m－ 1 2 ×0.5×122 m－4×12 m＝ 36 m (2)设甲车减速到零所需时间为 t1，则有：t1＝ v甲 a ＝20 s t1 时间内：x 甲＝ v甲 2 t1＝ 10 2 ×20 m＝100 m x 乙＝v 乙 t1＝4×20 m＝80 m 此后乙车运动时间：t2＝ x甲－x乙 v乙 ＝ 20 4 s＝5 s 故乙车追上甲车需 t1＋t2＝25 s [答案] (1)36 m (2)25 s 求解追及相遇问题的思路和技巧 (1)解题思路和方法： (2)三点解题技巧： ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰
好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。 ③若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动,另外 还要注意最后对解的讨论分析 31 学科特色要控掘 补短板 弥不足 得满分 掌握程度 UEKE TESE YAO WAJUE 方法技巧专题化”系列之(二) 巧解追及问题的四种方法 方法 相关说明 寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速 临界法|度相等时有最大距离:速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速 度相等时有最小距离 思路一:先求出在任意时刻t两物体间的距离y=f),若对任何1,均存在 =f1)>0,则这两个物体永远不能相遇;若存在某个时刻t,使得y=f1)≤0, 则这两个物体可能相遇 函数法 思路二:设两物体在t时刻两物体相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程 ∫D)=0,若方程∫)=0无正实数解,则说明这两物体不可能相遇;若方程f =0存在正实数解,说明这两个物体能相遇 (1)若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移 图象法图象相交,则说明两物体相遇 (2)若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积 用相对运动的知识求解追及或相遇问题时,要注意将两个物体对地的物理量 (速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中,常把被追及物体 相对运动法作为参考系,这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为:x相=x后 x前=x0,U相对=乙后一0前,a相对=a后-a前,且上式中各物理量(矢量)的符号 都应以统一的正方向进行确定 典例在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为o、加速度大 小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两 车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度满足什么条件。 解析]要使两车不相撞,A车追上B车时其速度最大只能与B车相等。设A、B两车 从相距x到A车追上B车时,A车的位移为x4、末速度为、所用时间为1:B车的位移为 xB、末速度为UB、运动过程如图1-4-7所示,现用四种方法解答如下
8 好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 ③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止 运动，另外 还要注意最后对解的讨论分析。 方法 相关说明 临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速 度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速 度相等时有最小距离 函数法 思路一：先求出在任意时刻 t 两物体间的距离 y＝f(t)，若对任何 t，均存在 y ＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻 t，使得 y＝f(t)≤0， 则这两个物体可能相遇 思路二：设两物体在 t 时刻两物体相遇，然后根据位移关系列出关于 t 的方程 f(t)＝0，若方程 f(t)＝0 无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程 f(t) ＝0 存在正实数解，说明这两个物体能相遇 图象法 (1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移 图象相交，则说明两物体相遇 (2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积 相对运动法 用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量 (速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中，常把被追及物体 作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：x 相对＝x 后 －x 前＝x0，v 相对＝v 后－v 前，a 相对＝a 后－a 前，且上式中各物理量(矢量)的符号 都应以统一的正方向进行确定 [典例] 在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x，A 车在后面做初速度为 v0、加速度大 小为 2a 的匀减速直线运动，而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，两 车运动方向相同。要使两车不相撞，求 A 车的初速度 v0 满足什么条件。 [解析] 要使两车不相撞，A 车追上 B 车时其速度最大只能与 B 车相等。设 A、B 两车 从相距 x 到 A 车追上 B 车时，A 车的位移为 xA、末速度为 vA、所用时间为 t；B 车的位移为 xB、末速度为 vB、运动过程如图 1－4－7 所示，现用四种方法解答如下：
法一:临界法利用位移公式、速度公式求解,对A车有x4=1+×(-2a)×P, =0+(-2a)×t, 对B车有xB==ar2,UB=at 两车位移关系有x=xA-xB, 追上时,两车不相撞的临界条件是U4=UB 联立以上各式解得co=√6ax 故要使两车不相撞,A车的初速度v应满足的条件是vo<6ax 法二:函数法利用判别式求解,由解法一可知x:=x+xB,即o+×(-2a)×r=x 整理得3ar2-2o+2x=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式△=(-20)-43a2x时,t无实 数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度应满足的条件是v0<ax
9 图 1－4－7 法一：临界法 利用位移公式、速度公式求解，对 A 车有 xA＝v0t＋ 1 2 ×(－2a)×t 2，vA ＝v0＋(－2a)×t， 对 B 车有 xB＝ 1 2 at2，vB＝at， 两车位移关系有 x＝xA－xB， 追上时，两车不相撞的临界条件是 vA＝vB， 联立以上各式解得 v0＝ 6ax。 故要使两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax。 法二：函数法 利用判别式求解，由解法一可知 xA＝x＋xB，即 v0t＋ 1 2 ×(－2a)×t 2＝x ＋ 1 2 at2， 整理得 3at2－2v0t＋2x＝0。 这是一个关于时间 t 的一元二次方程，当根的判别式 Δ＝(－2v0) 2－4·3a·2x<0 时，t 无实 数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax
法三:图象法利用υ-t图象求解,先作A、B两车的U-t图象,如图1-4-8所示, 设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有U4=0=00-2at 图1-4-8 对B车有B=0=a 以上两式联立解得t 经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x,它可用图中的阴影面积表示,由 图象可知 x=2o1=20 所以要使两车不相撞,A车的初速度0应满足的条件是0<6a 法四:相对运动法巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为,加速度 为a=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是:a=0,这一过程A车相对于 B车的位移为x,由运动学公式v-6=2ax得 所以w=√6a 即要使两车不相撞,A车的初速度应满足的条件是0<ax 「答案]<6ax 题后悟道]方法一注重对运动过程的分析,抓住两车间距离有极值时速度应相等这 关键条件来求解;方法二由位移关系得到一元二次方程,然后利用根的判别式来确定方 程中各系数间的关系,这也是中学物理中常用的数学方法;方法三通过图象使两车的位 移关系更直观、简洁:方法四通过巧妙地选取参考系,使两车的运动关系变得简明。 ∥针对训练 A、B两列火车,在同一轨道上同向行驶,A车在前,其速度4=10ms,B车在后,其 速度UB=30ms,因大雾能见度低,B车在距A车x0=85m时才发现前方有A车,这时B 车立即刹车,但B车要经过180m才能停止,问:B车刹车时A车仍按原速率行驶,两车 是否会相撞?若会相撞,将在B车刹车后何时相撞?若不会相撞,则两车最近距离是多少? 解析:设B车刹车过程的加速度大小为aB,由v2-2=2ax可得:02-302=2(-a)180
10 法三：图象法 利用 v－t 图象求解，先作 A、B 两车的 v－t 图象，如图 1－4－8 所示， 设经过 t 时间两车刚好不相撞，则对 A 车有 vA＝v＝v0－2at， 图 1－4－8 对 B 车有 vB＝v＝at， 以上两式联立解得 t＝ v0 3a 。 经 t 时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离 x，它可用图中的阴影面积表示，由 图象可知 x＝ 1 2 v0·t＝ 1 2 v0· v0 3a ＝ v 2 0 6a ， 所以要使两车不相撞， A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax。 法四：相对运动法 巧选参考系求解。以 B 车为参考系，A 车的初速度为 v0，加速度 为 a＝－2a－a＝－3a。A 车追上 B 车且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程 A 车相对于 B 车的位移为 x，由运动学公式 v 2 t －v 2 0＝2ax 得： 0 2－v 2 0 ＝2·(－3a)·x， 所以 v0＝ 6ax。 即要使两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0< 6ax。 [答案] v0< 6ax [题后悟道] 方法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一 关键条件来求解；方法二由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方 程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；方法三通过图象使两车的位 移关系更直观、简洁；方法四通过巧妙地选取参考系，使两车的运动关系变得简明。 A、B 两列火车，在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度 vA＝10 m/s，B 车在后，其 速度 vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B 车在距 A 车 x0＝85 m 时才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但 B 车要经过 180 m 才能停止，问：B 车刹车时 A 车仍按原速率行驶，两车 是否会相撞？若会相撞，将在 B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ 解析：设 B 车刹车过程的加速度大小为 aB，由 v 2－v 2 0 ＝2ax 可得：0 2－302＝2(－aB)·180