第十二章波与相对论[选修3-4] 高考研究 GA①RA① YANJIILU (教师用书独具) 年高考考点统计与分析 (1)在新课标省区的高考中,对该部分的考查是在选考题部分出现,从近几年高考题来 看,对“简谐振动”的考査相对较少,主要考査振动图象和波动图象以及波的传播规律等 另外对光学知识的考查主要以折射定律,全反射和不同色光的折射率问题为重点考查 (2)高考考查的题型有选择题、实验题、计算题,题目难度中等或中等偏下。 2014年高考考情预测 预计在2014年高考中,仍会以主干知识为考查重点,对振动和波的考查仍会以图象为 主,考查简谐运动的特点和传播时的空间关系:对光学部分的考查仍会以几何光学中的光的 折射率和光的全反射为重点,并且光学实验也是考查重点 [备课札记] 第十二章波与相对论[选修3-4] 学习目标定位 考纲下载 考情上线
1 第十二章 波与相对论[选修 3－4] 一、三年高考考点统计与分析 (1)在新课标省区的高考中，对该部分的考查是在选考题部分出现，从近几年高考题来 看，对“简谐振动”的考查相对较少，主要考查振动图象和波动图象以及波的传播规律等； 另外对光学知识的考查主要以折射定律，全反射和不同色光的折射率问题为重点考查。 (2)高考考查的题型有选择题、实验题、计算题，题目难度中等或中等偏下。 二、2014 年高考考情预测 预计在 2014 年高考中，仍会以主干知识为考查重点，对振动和波的考查仍会以图象为 主，考查简谐运动的特点和传播时的空间关系；对光学部分的考查仍会以几何光学中的光的 折射率和光的全反射为重点，并且光学实验也是考查重点。 [备课札记] 第十二章 波与相对论[选修 3－4] [学习目标定位] 考 纲 下 载 考 情 上 线
1.简谐运动(I) 2.简谐运动的公式和图象(Ⅱ) 3.单摆、周期公式(I) 4.受迫振动和共振(I) 在高考中考查的重点是波的形 5.机械波(Ⅰ) 式和传播规律及光的折射、全反 高考 6.横波和纵波(I) 射的现象,考查的题型一般为选 地位 7.横波的图象(Ⅱ) 择、填空、计算等,考查的难度 8.波速、波长和频率(周期)的关系(Ⅱ) 中等偏下,分值一般为8~15分 9.波的干涉和衍射现象(I) 10.多普勒效应(I) 11.光的折射定律(Ⅱ) 12.折射率(I) 13.全反射、光导纤维(I) 14.光的干涉、衍射和偏振现象(I) 1简谐运动的规律 15.变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场、 2.波的形成与传播规律、振动 电磁波(I) 图象与波动图象的综合应用 16.电磁波的产生、发射和接收(I) 17.电磁波谱(I) 考点3.波的干涉、衍射、多普勒效 应等现象的理解及应用。 18.狭义相对论的基本假设(I) 布设 4.光的折射、全反射现象的应 19.质速关系、质能关系(I) 用 20.相对论质能关系式(I) 5.光的波动性的理解及应用 21.实验十三:探究单摆的运动、用单摆测定重力 6电磁波及相对论的理解。 加速度 22.实验十四:测定玻璃的折射率 23.实验十五:用双缝干涉测光的波长 第1单元 机械振动 必备知识要打 双基 固本源 掌握程度 IBEI ZHISHI YAO DALAC 知识点 简谐运动 [想一想]
2 1.简谐运动(Ⅰ) 2．简谐运动的公式和图象(Ⅱ) 3．单摆、周期公式(Ⅰ) 4．受迫振动和共振(Ⅰ) 5．机械波(Ⅰ) 6．横波和纵波(Ⅰ) 7．横波的图象(Ⅱ) 8．波速、波长和频率(周期)的关系(Ⅱ) 9．波的干涉和衍射现象(Ⅰ) 10．多普勒效应(Ⅰ) 11．光的折射定律(Ⅱ) 12．折射率(Ⅰ) 13．全反射、光导纤维(Ⅰ) 14．光的干涉、衍射和偏振现象(Ⅰ) 15．变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场、 电磁波(Ⅰ) 16．电磁波的产生、发射和接收(Ⅰ) 17．电磁波谱(Ⅰ) 18．狭义相对论的基本假设(Ⅰ) 19．质速关系、质能关系(Ⅰ) 20．相对论质能关系式(Ⅰ) 21．实验十三：探究单摆的运动、用单摆测定重力 加速度 22．实验十四：测定玻璃的折射率 23．实验十五：用双缝干涉测光的波长 高考 地位 在高考中考查的重点是波的形 式和传播规律及光的折射、全反 射的现象，考查的题型一般为选 择、填空、计算等，考查的难度 中等偏下，分值一般为8～15分。 考点 布设 1.简谐运动的规律。 2．波的形成与传播规律、振动 图象与波动图象的综合应用。 3．波的干涉、衍射、多普勒效 应等现象的理解及应用。 4．光的折射、全反射现象的应 用。 5．光的波动性的理解及应用。 6 电磁波及相对论的理解。 第 1 单元 机_械_振_动 简谐运动 [想一想]
(1)简谐运动的图象和简谐运动的轨迹相同吗?为什么? (2)简谐运动的位移与必修1中所学的直线运动的位移有何区别? (3)在一个周期内,质点的路程与振幅有何关系?27、4T呢? 「提示](1)不同。简谐运动的图象描述的是振动质点的位移(一个物理量)随时间变化的 规律,而简谐运动的轨迹是质点运动的径迹。 (2)简谐运动的位移是以平衡位置为参考点,与位置对应,是时刻的函数,总是从平衡 位置指向质点所在的位置;直线运动的位移是以物体的初始位置为参考点,与过程对应,是 时间的函数,是从初始位置指向物体所在的位置 (3)个周期T内,路程等于4个振幅,内路程等于2个振幅,但内路程可能等于 1个振幅,也可能小于—个振幅,也可能大于一个振幅。 [记一记] 1.概念 质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦 曲线 2.简谐运动的表达式 (1)动力学表达式:F=二k,其中“一”表示回复力与位移的方向相反 (2)运动学表达式:x=Asn(on+g,其中A代表振幅,o=2表示简谐运动的快慢,(ot g)代表简谐运动的相位,q叫做初相位 3.回复力 (1)定义:使物体返回到平衡位置的力。 (2)方向:时刻指向平衡位置 (3)来源:振动物体所受的沿振动方向的合力。 4.简谐运动的图象 图12-1-1 (1)振动图象表示的是简谐运动的质点偏离平衡位置的位移与时间的关系,是一条正弦 (或余弦)曲线,如图12-1-1所示。 (2)由振动图象可以确定质点振动的振幅和周期,以及任意时刻质点的位移、振动方向
3 (1)简谐运动的图象和简谐运动的轨迹相同吗？为什么？ (2)简谐运动的位移与必修 1 中所学的直线运动的位移有何区别？ (3)在一个周期 T 内，质点的路程与振幅有何关系？ 1 2 T、 1 4 T 呢？ [提示] (1)不同。简谐运动的图象描述的是振动质点的位移(一个物理量)随时间变化的 规律，而简谐运动的轨迹是质点运动的径迹。 (2)简谐运动的位移是以平衡位置为参考点，与位置对应，是时刻的函数，总是从平衡 位置指向质点所在的位置；直线运动的位移是以物体的初始位置为参考点，与过程对应，是 时间的函数，是从初始位置指向物体所在的位置。 (3)一个周期 T 内，路程等于 4 个振幅，1 2 T 内路程等于 2 个振幅，但1 4 T 内路程可能等于 1 个振幅，也可能小于一个振幅，也可能大于一个振幅。 [记一记] 1．概念 质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t 图象)是一条正弦 曲线。 2．简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中 A 代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动的快慢，(ωt ＋φ)代表简谐运动的相位，φ 叫做初相位。 3．回复力 (1)定义：使物体返回到平衡位置的力。 (2)方向：时刻指向平衡位置。 (3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力。 4．简谐运动的图象 图 12－1－1 (1)振动图象表示的是简谐运动的质点偏离平衡位置的位移与时间的关系，是一条正弦 (或余弦)曲线，如图 12－1－1 所示。 (2)由振动图象可以确定质点振动的振幅和周期，以及任意时刻质点的位移、振动方向
和加速度的方向。如图12-1-1所示,n时刻质点P的运动方向沿x轴负方向。 [试一试] 1.一质点做简谐运动的振动图象如图12-1-2所示,质点的速度与加速度方向相同的 时间段是() 0309/ 图12-1 A.0~0.3s B.0.3~0.6s C.0.6~0.9s D.0.9~1.2s 解析:选BD质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同,与位移方向相反,总 是指向平衡位置;位移增加时速度与位移方向相同,位移减小时速度与位移方向相反。 识点三 受迫振动共振 想一想 蜘蛛虽有8只眼睛,但视力很差,完全靠感觉来捕食和生活,它的腿能敏捷地感觉到丝 网的振动,当丝网的振动频率为广=200Hz左右时,网的振幅最大。对于落在网上的昆虫, 当其翅膀振动的频率为多少时,蜘蛛能立即感知到它。 提示]200Hz [记一记] 1.受迫振动 (1)概念:系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动。 (2)振动特征:受迫振动的频率等于驱动力的频率,与系统的固有频率无关 2.共振 (1)概念:驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大的现象 (2)共振条件:驱动力的频率等于系统的固有频率 (3)特征:共振时振幅最大 4)共振曲线:如图12-1-3所示
4 和加速度的方向。如图 12－1－1 所示，t1 时刻质点 P 的运动方向沿 x 轴负方向。 [试一试] 1.一质点做简谐运动的振动图象如图 12－1－2 所示，质点的速度与加速度方向相同的 时间段是( ) 图 12－1－2 A．0～0.3 s B．0.3～0.6 s C．0.6～0.9 s D．0.9～1.2 s 解析：选 BD 质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总 是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反。 受迫振动 共振 [想一想] 蜘蛛虽有 8 只眼睛，但视力很差，完全靠感觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到丝 网的振动，当丝网的振动频率为 f＝200 Hz 左右时，网的振幅最大。对于落在网上的昆虫， 当其翅膀振动的频率为多少时，蜘蛛能立即感知到它。 [提示] 200 Hz [记一记] 1．受迫振动 (1)概念：系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动。 (2)振动特征：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 2．共振 (1)概念：驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象。 (2)共振条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。 (3)特征：共振时振幅最大。 (4)共振曲线：如图 12－1－3 所示
图12-1-3 2.某振动系统的固有频率为f,在周期性驱动力的作用下做受迫振动,驱动力的频率 为∫。若驱动力的振幅保持不变,下列说法正确的是() A.当∫<后时,该振动系统的振幅随∫增大而减小 B.当∫~J时,该振动系统的振幅随∫减小而增大 C.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于f D.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于f 解析:选BD受迫振动的频率总等于驱动力的频率,D正确;驱动力的频率越接近固 有频率,受迫振动的振幅越大,B正确 知识点三 单摆 想一想 单摆做简谐运动的回复力由哪些力来提供?摆球在平衡位置时所受合外力和回复力是 否为零? 「提示]单摆做简谐运动的回复力是由重力沿轨迹切线方向的分力提供的。 摆球在平衡位置时所受合外力等于小球做囻周运动的向心力,不为零,而回复力恰好等 于零 [记一记] (1)单摆的振动可视为简谐运动的条件是最大摆角小于10°。 (2)摆做简谐运动的周期公式:=2x.单摆做简谐运动的周期或频率)跟振幅及 摆球质量无关,摆长l指悬点到摆球重心的距离,g为单摆所在处的重力加速率。 (3)秒摆的周期为2s,根据单摆周期公式,可算得秒摆的摆长约为1m。 [试一试] 3.发生下述哪一种情况时,单摆周期会增大( A.增大摆球质量 B.缩短摆长 C.减小单摆振幅 D.将单摆由山下移到山顶
5 图 12－1－3 [试一试] 2．某振动系统的固有频率为 f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率 为 f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( ) A．当 f＜f0 时，该振动系统的振幅随 f 增大而减小 B．当 f＞f0 时，该振动系统的振幅随 f 减小而增大 C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于 f0 D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于 f 解析：选 BD 受迫振动的频率总等于驱动力的频率，D 正确；驱动力的频率越接近固 有频率，受迫振动的振幅越大，B 正确。 单 摆 [想一想] 单摆做简谐运动的回复力由哪些力来提供？摆球在平衡位置时所受合外力和回复力是 否为零？ [提示] 单摆做简谐运动的回复力是由重力沿轨迹切线方向的分力提供的。 摆球在平衡位置时所受合外力等于小球做圆周运动的向心力，不为零，而回复力恰好等 于零。 [记一记] (1)单摆的振动可视为简谐运动的条件是最大摆角小于 10°。 (2)单摆做简谐运动的周期公式：T＝2π l g 。单摆做简谐运动的周期(或频率)跟振幅及 摆球质量无关，摆长 l 指悬点到摆球重心的距离，g 为单摆所在处的重力加速率。 (3)秒摆的周期为 2 s，根据单摆周期公式，可算得秒摆的摆长约为 1 m。 [试一试] 3．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( ) A．增大摆球质量 B．缩短摆长 C．减小单摆振幅 D．将单摆由山下移到山顶
解析:选D由单摆的周期公式T=2m可知,g减小时周期会变大,正确选项为D。 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 AN YAO TONGGUAN 简谐运动 简谐运动的五个特征 1.动力学特征 F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的 劲度系数 2.运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反,为变加速运动,远离 平衡位置时,x、F、a、E均增大,U、E均减小,靠近平衡位置时则相反。 3.运动的周期性特征 相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同 4.对称性特征 (1)相隔或(2n+7 (n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称,位移、速度 加速度大小相等,方向相反 (2)如图12-1-4所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP=OP’)时 速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等 图 (3)振子由P到O所用时间等于由O到P’所用时间,即1o=top (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即top=tPo 5.能量特征 振动的能量包括动能Ek和势能E,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统 的机械能守恒 例 简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点。=0时刻振子的位移x=-0.1m =s时刻x=0.1m;t=4s时刻x=0.1m。该振子的振幅和周期可能为( B.0.1m,8s 6
6 解析：选 D 由单摆的周期公式 T＝2π l g 可知，g 减小时周期会变大，正确选项为 D。 简谐运动 简谐运动的五个特征 1．动力学特征 F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的 劲度系数。 2．运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离 平衡位置时，x、F、a、Ep 均增大，v、Ek 均减小，靠近平衡位置时则相反。 3．运动的周期性特征 相隔 T 或 nT 的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。 4．对称性特征 (1)相隔T 2 或 (2n＋1)T 2 (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、 加速度大小相等，方向相反。 (2)如图 12－1－4 所示，振子经过关于平衡位置 O 对称的两点 P、P′(OP＝OP′)时， 速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 图 12－1－4 (3)振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P′所用时间，即 tPO＝tOP′ (4)振子往复过程中通过同一段路程(如 OP 段)所用时间相等，即 tOP＝tPO。 5．能量特征 振动的能量包括动能 Ek 和势能 Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统 的机械能守恒。 [例 1] 一简谐振子沿 x 轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0 时刻振子的位移 x＝－0.1 m； t＝ 4 3 s 时刻 x＝0.1 m；t＝4 s 时刻 x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( ) A．0.1 m， 8 3 s B．0.1 m,8 s
C.02m,8 D.0.2m.8s 审题指导 (1)简谐振子运动的对称性和周期性 (2)当两时刻振子的位移相同,则两时刻的差可能为周期的整数倍,也可能不是周期的 数倍 [尝试解题] 若振子的振幅为01m,39)=(n+2)7,则周期最大值为s,A项正确,B项错;若振 子的振幅为0.2m,由简谐运动的对称性可知,当振子由x=-0.1m处运动到负向最大位移 处再反向运动到x=0m处,再经n个周期时所用时间为s,则2+n7=3s),所以周期 的最大值为s,且t=4s时刻x=0lm,故C项正确;当振子由x=-0.lm经平衡位置运 动到x=0.1m处,再经n个周期时所用时间为s,则(+n)T=(s),所以此时周期的最大 值为8s,且t=4s时,x=0.1m,故D项正确 答案]ACD 简谐运动图象的应用 1图象特征 图12-1 (1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线,是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始 时刻的位置 (2)图象反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图象不代表质点运动 的轨迹 (3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度 的方向,正时沿x轴正方向,负时沿x轴负方向。 2.图象信息 (1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移
7 C．0.2 m， 8 3 s D．0.2 m,8 s [审题指导] (1)简谐振子运动的对称性和周期性； (2)当两时刻振子的位移相同，则两时刻的差可能为周期的整数倍，也可能不是周期的 整数倍。 [尝试解题] 若振子的振幅为 0.1 m， 4 3 (s)＝(n＋ 1 2 )T，则周期最大值为8 3 s，A 项正确，B 项错；若振 子的振幅为 0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由 x＝－0.1 m 处运动到负向最大位移 处再反向运动到 x＝0.1 m 处，再经 n 个周期时所用时间为4 3 s，则( 1 2 ＋n)T＝ 4 3 (s)，所以周期 的最大值为8 3 s，且 t＝4 s 时刻 x＝0.1 m，故 C 项正确；当振子由 x＝－0.1 m 经平衡位置运 动到 x＝0.1 m 处，再经 n 个周期时所用时间为4 3 s，则( 1 6 ＋n)T＝ 4 3 (s)，所以此时周期的最大 值为 8 s，且 t＝4 s 时，x＝0.1 m，故 D 项正确。 [答案] ACD 简谐运动图象的应用 1.图象特征 图 12－1－5 (1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始 时刻的位置。 (2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动 的轨迹。 (3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度 的方向，正时沿 x 轴正方向，负时沿 x 轴负方向。 2．图象信息 (1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移
(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向 ①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度的方向在图 象上总是指向t轴 ②速度的方向:速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,若下一时刻位移增加, 速度方向就是远离t轴:若下一时刻位移减小,速度方向就是指向t轴 「例2](2012北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原 点。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确 反映振子位移x与时间t关系的图象是() 图12-1-6 尝试解题] 弹簧振子做简谐运动,由回复力公式F=-kx,结合牛顿第二定律F=ma可知,经四 分之一的周期有沿x轴正方向的最大加速度,则其位移为负的最大值。t=0时刻振子应该自 平衡位置向x轴负向运动,故选项A正确。 答案]A 单摆周期公式的应用 例3](2012·全国高考)一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为 k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力 为零,求矿井的深度d
8 (3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。 ①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图 象上总是指向 t 轴。 ②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加， 速度方向就是远离 t 轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向 t 轴。 [例 2] (2012·北京高考)一个弹簧振子沿 x 轴做简谐运动，取平衡位置 O 为 x 轴坐标原 点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿 x 轴正方向的最大加速度。能正确 反映振子位移 x 与时间 t 关系的图象是( ) 图 12－1－6 [尝试解题] 弹簧振子做简谐运动，由回复力公式 F＝－kx，结合牛顿第二定律 F＝ma 可知，经四 分之一的周期有沿 x 轴正方向的最大加速度，则其位移为负的最大值。t＝0 时刻振子应该自 平衡位置向 x 轴负向运动，故选项 A 正确。 [答案] A 单摆周期公式的应用 [例 3] (2012·全国高考)一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为 k。设地球的半径为 R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力 为零，求矿井的深度 d
[审题指导] 第一步:抓关键点 关键点 获取信息 在矿井底时,地球对物体的引力相当于一半径 质量均匀分布的球壳对壳内物体引力为零 为R-d的球体对物体产生的引力 第二步:找突破口 重力加速度是联系单摆的振动周期和地球对物体引力的桥梁 尝试解题] 单摆在地面处的摆动周期7=2xNV,又由在地面处mg=GR 其中M=p 在某矿井底部摆动周期r1=2x个 又由mg′=G 其中M=p2(R- T=kT 联立以上各式解得d=(1-R)R 答案](1-k)R 规律总结]: :: (1)在地球表面上方,重力加速度随高度增大而减小。 (2)在地球表面下方,重力加速度也随深度增大而减小,但所遵从的规律不同
9 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 质量均匀分布的球壳对壳内物体引力为零 在矿井底时，地球对物体的引力相当于一半径 为 R－d 的球体对物体产生的引力 第二步：找突破口 重力加速度是联系单摆的振动周期和地球对物体引力的桥梁。 [尝试解题] 单摆在地面处的摆动周期 T＝2π L g ，又由在地面处 mg＝G Mm R 2 。 其中 M＝ρ· 4 3 πR 3 在某矿井底部摆动周期 T′＝2π L g′ ， 又由 mg′＝G M′m (R－d) 2 。 其中 M′＝ρ· 4 3 π(R－d) 3 T＝kT′ 联立以上各式解得 d＝(1－k 2 )R [答案] (1－k 2 )R (1)在地球表面上方，重力加速度随高度增大而减小。 (2)在地球表面下方，重力加速度也随深度增大而减小，但所遵从的规律不同