第2单元 力的合成与分解 必备知识要打牢 抓双基 固本源 F握程度 IBEL ZHISHI YAO DALAO 知说点 力的合成 想一想 如图2-2-1所示为两个共点力F1=8N,F2=6N,其夹角为O,要求两个力的合力 应使用什么法则?若θ角是可以改变的,则这两个力的最大值和最小值各多大?随O角的增 大,两个力的合力大小如何变化? 图2 提示:求两个力的合力,应使用平行四边形定则,其合力的最大值为14N,最小值为2 N,随着θ角的增大,两个力的合力大小逐渐减小 [记一记 1.合力与分力 (1)定义:如果一个力产生的效果跟几个力共同作用的效果相同,这一个力就叫那几个 力的合力,那几个力就叫这个力的分力 (2)逻辑关系:合力和分力是一种在作用效果上的等效替代关系。 2.共点力 如果一个物体受到两个或更多力的作用,这些力共同作用在物体的同二点,或作用线 的延长线交于一点,这样的一组力叫做共点力。 3.共点力的合成法则 (1)平行四边形定则:求两个互成角度的共点力F1、F2的合力,可以用表示F1、F2的有 向线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向,如图2 2-2甲所示 F2平移 图2-2-2
1 第 2 单元 力的合成与分解 力的合成 [想一想] 如图 2－2－1 所示为两个共点力 F1＝8 N，F2＝6 N，其夹角为 θ，要求两个力的合力， 应使用什么法则？若 θ 角是可以改变的，则这两个力的最大值和最小值各多大？随 θ 角的增 大，两个力的合力大小如何变化？ 图 2－2－1 提示：求两个力的合力，应使用平行四边形定则，其合力的最大值为 14 N，最小值为 2 N，随着 θ 角的增大，两个力的合力大小逐渐减小。 [记一记] 1．合力与分力 (1)定义：如果一个力产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个 力的合力，那几个力就叫这个力的分力。 (2)逻辑关系：合力和分力是一种在作用效果上的等效替代关系。 2．共点力 如果一个物体受到两个 或更多力的作用，这些力共同作用在物体的同一点，或作用线 的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力。 3．共点力的合成法则 (1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力 F1、F2 的合力，可以用表示 F1、F2 的有 向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图 2－ 2－2 甲所示。 图 2－2－2
(2)三角形定则 求两个互成角度的共点力F1、F2的合力,可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画 出,把F1、F2的另外两端连接起来,则此连线就表示合力的大小和方向,如图2-2-2乙 所示。 1.如图2-2-3所示,F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形,这三个力的合力最大 的是() 图2-2-3 解析:选C由矢量合成法则可知A图的合力为2F3,B图的合力为0,C图的合力为 2F2,D图的合力为2F,因F2为直角三角形的斜边,故这三个力的合力最大的为C图 知识点三 力的分解 想一想 如图2-2-4所示,质量为m的物体。静止在倾角为θ的斜面上,则物体的重力mg 产生了哪两个作用效果?这两个分力与合力间遵循什么法则?请确定两个分力的大小? 提示:物体的重力mg的两个作用效果,使物体沿斜面下滑、使物体压紧斜面,这两个 分力与合力间遵循平行四边形定则,其大小分别为 gsinθ、 mgcos 6 记一记] 1.力的分解 (1)定义:求一个力的分力的过程,是力的合成的逆运算 (2)遵循法则:平行四边形定则、三角形定则。 (3)分解的方法 ①按力的实际作用效果进行分解。 ②力的正交分解
2 (2)三角形定则： 求两个互成角度的共点力 F1、F2 的合力，可以把表示 F1、F2 的线段首尾顺次相接地画 出，把 F1、F2 的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图 2－2－2 乙 所示。 [试一试] 1．如图 2－2－3 所示，F1、F2、F3 恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大 的是( ) 图 2－2－3 解析：选 C 由矢量合成法则可知 A 图的合力为 2F3，B 图的合力为 0，C 图的合力为 2F2，D 图的合力为 2F3，因 F2 为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为 C 图。 力的分解 [想一想] 如图 2－2－4 所示，质量为 m 的物体。静止在倾角为 θ 的斜面上，则物体的重力 mg 产生了哪两个作用效果？这两个分力与合力间遵循什么法则？请确定两个分力的大小？ 图 2－2－4 提示：物体的重力 mg 的两个作用效果，使物体沿斜面下滑、使物体压紧斜面，这两个 分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为 mgsin θ、mgcos θ。 [记一记] 1．力的分解 (1)定义：求一个力的分力的过程，是力的合成的逆运算。 (2)遵循法则：平行四边形定则、三角形定则。 (3)分解的方法； ①按力的实际作用效果进行分解。 ②力的正交分解
2.矢量和标量 (1)矢量:既有大小又有方向的物理量,求矢量和时遵循平行四边形定则 (2)标量:只有大小没有方向的物理量,求和时按算术法则相加。 [试一试] 2.(2012运城楔拟)如图2-2-5所示,质量为m的滑块A受到与水平方向成O角斜向 上方的拉力F作用,向右做匀速直线运动,则滑块受到的拉力与摩擦力的合力的大小和方 向是() 图2-2-5 A. Fsin 6 B. mg-Fsin 8 C.竖直向上 D.向上偏右 解析:选AC将力F沿水平方向和竖直方向分解,水平分力为 Fcos e,竖直分力为Fsin θ,因滑块匀速直线运动,所以Fcosθ与滑块所受的摩擦力等大反向,因此,滑块所受的拉 力与摩擦力的合力的大小为Fsin,方向竖直向上,A、C正确,B、D错误。 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 AOPIN KAODIAN YAO TONGGUAN 力的合成问题 1几种特殊情况的共点力的合成 类型 作图 合力的计算 F=√F2+F 互相垂直 F2 F=2FIcoS 两力等大,夹角θ F2=F1 F与F1夹角 两力等大且夹角120° 合力与分力等大 F
3 2．矢量和标量 (1)矢量：既有大小又有方向的物理量，求矢量和时遵循平行四边形定则。 (2)标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按算术法则相加。 [试一试] 2．(2012·运城模拟)如图 2－2－5 所示，质量为 m 的滑块 A 受到与水平方向成 θ 角斜向 上方的拉力 F 作用，向右做匀速直线运动，则滑块受到的拉力与摩擦力的合力的大小和方 向是( ) 图 2－2－5 A．Fsin θ B．mg－Fsin θ C．竖直向上 D．向上偏右 解析：选 AC 将力 F 沿水平方向和竖直方向分解，水平分力为 Fcos θ，竖直分力为 Fsin θ，因滑块匀速直线运动，所以 Fcos θ 与滑块所受的摩擦力等大反向，因此，滑块所受的拉 力与摩擦力的合力的大小为 Fsin θ，方向竖直向上，A、C 正确，B、D 错误。 力的合成问题 1.几种特殊情况的共点力的合成 类型 作图 合力的计算 互相垂直 F＝ F 2 1 ＋F 2 2 tan θ＝ F1 F2 两力等大，夹角 θ F＝2F1cos θ 2 F 与 F1 夹角为θ 2 两力等大且夹角 120° 合力与分力等大
2合力的大小范围 (1)两个共点力的合成:F1-F2≤F合≤F1+F2 即两个力大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两力反向时,合力最小,为F1 F2,当两力同向时,合力最大,为F1+F2 (2)三个共点力的合成 ①三个力共线且同向时,其合力最大,为F1+F2+F3 ②任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围之内,则三个力的合力的 最小值为零,如果第三个力不在这个范围内,则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个 较小的力的和的绝对值。 例1]一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用,三力的矢量关系如图2-2-6 所示(小方格边长相等),则下列说法正确的是() 图2-2-6 A.三力的合力有最大值F1+F2+F3,方向不确定 B.三力的合力有唯一值3F,方向与F同向 C.三力的合力有唯一值2F3,方向与F3同向 D.由题给条件无法求出合力大小 [尝试解题] 用作图法先求出F1和F2的合力,其大小为2F3,方向与F3同向,然后再用F1和F2的 合力与F3合成,可得出三个力的合力大小为3F3,方向沿F3方向,故B正确 答案]B 规律总结]:: (1)力的大小和方向一定时,其合力也一定 (2)作图法求合力,需严格用同一标度作出力的图示,作出规范的平行四边形。 (3)解析法求合力,只需作出力的示意图,对平行四边形的作图要求也不太严格,重点 是利用数学方法求解 力的分解问题 1力的效果分解法 (1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向 (2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形 (3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小
4 2.合力的大小范围 (1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F 合≤F1＋F2 即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1 －F2|，当两力同向时，合力最大，为 F1＋F2。 (2)三个共点力的合成： ①三个力共线且同向时，其合力最大，为 F1＋F2＋F3。 ②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的 最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个 较小的力的和的绝对值。 [例 1] 一物体受到三个共面共点力 F1、F2、F3 的作用，三力的矢量关系如图 2－2－6 所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( ) 图 2－2－6 A．三力的合力有最大值 F1＋F2＋F3，方向不确定 B．三力的合力有唯一值 3F3，方向与 F3 同向 C．三力的合力有唯一值 2F3，方向与 F3 同向 D．由题给条件无法求出合力大小 [尝试解题] 用作图法先求出 F1 和 F2 的合力，其大小为 2F3，方向与 F3 同向，然后再用 F1 和 F2的 合力与 F3 合成，可得出三个力的合力大小为 3F3，方向沿 F3 方向，故 B 正确。 [答案] B (1)力的大小和方向一定时，其合力也一定。 (2)作图法求合力，需严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形。 (3)解析法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点 是利用数学方法求解。 力的分解问题 1.力的效果分解法 (1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向； (2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形； (3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小
2.正交分解法 (1)定义:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法 (2)建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点,在静力学中,以少分解力和容 易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上):在动力学中,以加速度方向和垂直加速度方向 为坐标轴建立坐标系。 (3)方法:物体受到多个力作用F1、F2、F3…求合力F时,可把各力沿相互垂直的x 轴、y轴分解 图2-2-7 x轴上的合力:Fx=Fx1+Fx2+Fx3+ y轴上的合力:Fy=Fn+F2+F3+… 合力大小:F=VFx2+F2 合力方向:与x轴夹角为O,则tan0= 例2]如图2-2-8所示,用轻绳OA、OB和OC将重为G的重物悬挂在水平天花板 和竖直墙壁之间处于静止状态,AO绳水平,OB绳与竖直方向的夹角为θ。则AO绳的拉力 FA、OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为() 图2-2-8 A. F=Gtan 0 B.F4= D. FB=Gcos 6 [审題指导] 第一步:抓关键点 关键点 获取信息 静止状态 结点O、重物均处于平衡状态 AO绳水平,OB绳与竖直方向的夹角为θAO绳的拉力FA、OB绳的拉力FB的方向 第二步:找突破口
5 2．正交分解法 (1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。 (2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容 易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向 为坐标轴建立坐标系。 (3)方法：物体受到多个力作用 F1、F2、F3…求合力 F 时，可把各力沿相互垂直的 x 轴、y 轴分解。 图 2－2－7 x 轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y 轴上的合力：Fy＝Fy1 ＋F y2＋Fy3＋… 合力大小：F＝ F 2 x ＋F 2 y 合力方向：与 x 轴夹角为 θ，则 tan θ＝ Fy Fx 。 [例 2] 如图 2－2－8 所示，用轻绳 OA、OB 和 OC 将重为 G 的重物悬挂在水平天花板 和竖直墙壁之间处于静止状态，AO 绳水平，OB 绳与竖直方向的夹角为 θ。则 AO 绳的拉力 FA、OB 绳的拉力 FB 的大小与 G 之间的关系为( ) 图 2－2－8 A．FA＝Gtan θ B．FA＝ G tan θ C．FB＝ G cos θ D．FB＝Gcos θ [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 静止状态 结点 O、重物均处于平衡状态 AO 绳水平，OB 绳与竖直方向的夹角为 θ AO 绳的拉力 FA、OB 绳的拉力 FB 的方向 第二步：找突破口
要求AO绳的拉力FA和OB绳的拉力FB的大小,只要根据力的作用效果画出合力与分 力间的关系图形,再结合数学知识求解即可。 [尝试解题] 法一力的作用效果分解法 绳子OC的拉力Fc等于重物重力G。将F沿AO和BO方向分解, 两个分力分别为F4、FB′,如图甲所示,可得 Fc tan 6 0s0,又FA′=FA,FB=F 所以FA= Gtan 0,Fa=G 故A、C正确 法二:正交分解法 结点O受到三个力作用FA、FB、FC,如图乙所示。 FA O 由水平方向和竖直方向,列方程得 FBCoS 8=Fc=G, FBsin 6=F4,可解得FA= Gtan e,FB= 故A、C正确。 答案]AC 规律总结l 解答力的分解问题时应注意的问题 (1)选取原则 ①选用哪一种方法进行力的分解要视情况而定,一般来说,当物体受到三个或三个以下 的力时,常利用三角形法或按实际效果进行分解,若这三个力中,有两个力互相垂直,可选 用正交分解法。 ②当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法 (2)按实际效果分解力的一般思路 定分力 根据平行四 边形定则 数学计算 学科特色要控掘 补短板 弥不足 得满分 掌握程度 SE YAO WAJUE 6
6 要求 AO 绳的拉力 FA 和 OB 绳的拉力 FB 的大小，只要根据力的作用效果画出合力与分 力间的关系图形，再结合数学知识求解即可。 [尝试解题] 法一 力的作用效果分解法 绳子 OC 的拉力 FC等于重物重力 G。将 FC沿 AO 和 BO 方向分解， 两个分力分别为 FA′、FB′，如图甲所示，可得： FA′ FC ＝tan θ， FC FB′ ＝cos θ，又 FA′＝FA，FB′＝FB， 所以 FA＝Gtan θ，FB＝ G cos θ ， 故 A、C 正确。 法二：正交分解法 结点 O 受到三个力作用 FA、FB、FC，如图乙所示。 由水平方向和竖直方向，列方程得： FBcos θ＝FC＝G，FBsin θ＝FA，可解得 FA＝Gtan θ，FB＝ G cos θ 故 A、C 正确。 [答案] AC 解答力的分解问题时应注意的问题 (1)选取原则： ①选用哪一种方法进行力的分解要视情况而定，一般来说，当物体受到三个或三个以下 的力时，常利用三角形法或按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，可选 用正交分解法。 ②当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。 (2)按实际效果分解力的一般思路：
同类问题模型化”系列之(二) 绳上的“死结”和“活结”模型 [模型概述] )“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以 绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两 独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力 一定相等 (2)“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿 子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳H 挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲, 但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳 上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿 两段绳子夹角的平分线。 典例]如图2-2-9甲所示,轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住 个质量为M的物体,∠ACB=30°:图乙中轻杆G一端用铰链固定在竖直墙上,另一端G 通过细绳EG拉住,EG与水平方向也成30°,轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的 物体,求 (1)轻绳AC段的张力FTc与细绳EG的张力FTEc之比 (2)轻杆BC对C端的支持力 (3)轻杆HG对G端的支持力。 解析]题图2-2-9甲和乙中的两个物体M、M2都处于平衡状态,根据平衡的条件 首先判断与物体相连的细绳,其拉力大小等于物体的重力;分别取C点和G点为研究对象 进行受力分析如图2-2-10甲和乙所示,根据平衡规律可求解
7 [典例] 如图 2－2－9 甲所示，轻绳 AD 跨过固定的水平横梁 BC 右端的定滑轮挂住一 个质量为 M1 的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆 HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端 G 通过细绳 EG 拉住，EG 与水平方向也成 30°，轻杆的 G 点用细绳 GF 拉住一个质量为 M2 的 物体，求： 图 2－2－9 (1)轻绳 AC 段的张力 FTAC与细绳 EG 的张力 FTEG 之比； (2)轻杆 BC 对 C 端的支持力； (3)轻杆 HG 对 G 端的支持力。 [解析] 题图 2－2－9 甲和乙中的两个物体 M1、M2 都处于平衡状态，根据平衡的条件， 首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取 C 点和 G 点为研究对象， 进行受力分析如图 2－2－10 甲和乙所示，根据平衡规律可求解。 [模型概述] (1)“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿 绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根 独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不 一定相等。 (2)“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳 子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上 挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲， 但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子 上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这 两段绳子夹角的平分线
图2-2-10 (1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M的物体,物体处于平衡状态,轻绳AC段 的拉力FC=FrD=M1g 图乙中由于 FTEGSin30°=Mg,得FTEG=2Mg 所以CM1 2M- (2)图甲中,三个力之间的夹角都为120°,根据平衡规律有FNc=FTAc=M1g,方向和水 平方向成30°,指向右上方。 (3)图乙中,根据平衡方程有 FTEGSin30°=Mg, FTEGcOS30°=FNG,所以FNG=M2gcot30° 3M2g,方向水平向右。 「答案](1)m(2Mg方向和水平方向成30指向右上方(3y3Mg方向水平向 「题后悟道] (1)对轻质杆,若与墙壁通过转轴相连,则杆产生的弹力方向一定沿杆 (2)对轻质杆,若一端固定,则杆产生的弹力有可能沿杆,也有可能不沿杆,杆的弹力 方向,可根据共点力的平衡求得 ∥针对训练∥ 如图2一2-11所示,光滑斜面的倾角为30°,轻绳通过两个滑轮与A相连,轻绳的另 端固定于天花板上,不计轻绳与滑轮的摩擦。物块A的质量为m,不计滑轮的质量,挂 上物块B后,当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时,A、B恰能保持静止,则物块B的质量为() 图2-2-11 B. 2m 解析:选A先以A为研究对象由A物块受力及平衡条件可得绳中张力Fr= mosin30° 再以动滑轮为研究对象分析其受力并由平衡条件有m=2Fcos45°=VFr解得m=n
8 图 2－2－10 (1)图甲中轻绳 AD 跨过定滑轮拉住质量为 M1 的物体，物体处于平衡状态，轻绳 AC 段 的拉力 FTAC＝FTCD＝M1g 图乙中由于 FTEGsin 30°＝M2g，得 FTEG＝2M2g。 所以FTAC FTEG ＝ M1 2M2 。 (2)图甲中，三个力之间的夹角都为 120°，根据平衡规律有 FNC＝FTAC＝M1g，方向和水 平方向成 30°，指向右上方。 (3)图乙中，根据平衡方程有 FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG，所以 FNG＝M2gcot 30° ＝ 3M2g，方向水平向右。 [答案] (1) M1 2M2 (2)M1g 方向和水平方向成 30°指向右上方 (3) 3M2g 方向水平向 右 [题后悟道] (1)对轻质杆，若与墙壁通过转轴相连，则杆产生的弹力方向一定沿杆。 (2)对轻质杆，若一端固定，则杆产生的弹力有可能沿杆，也有可能不沿杆，杆的弹力 方向，可根据共点力的平衡求得。 如图 2－2－11 所示，光滑斜面的倾角为 30°，轻绳通过两个滑轮与 A 相连，轻绳的另 一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦。物块 A 的质量为 m，不计滑轮的质量，挂 上物块B 后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B 恰能保持静止，则物块B 的质量为( ) 图 2－2－11 A. 2 2 m B. 2m C．m D．2m 解析：选A 先以A 为研究对象，由A 物块受力及平衡条件可得绳中张力FT＝mgsin 30 °。 再以动滑轮为研究对象，分析其受力并由平衡条件有 mBg＝2 FTcos45°＝ 2FT，解得 mB＝ 2 2 m，A 正确