第4单元 万有引力与航天 必备知识要打率 抓双基 固本 得基础分 掌握程度 知说点一 万有引力定律 想一想 (1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动,也适用于卫星绕地球运动,若 颗卫星绕地球做椭圆轨道运动,则它在近地点和远地点的速度大小关系如何? (2)请根据万有引力定律和牛顿第二定律分析地球表面上不同质量的物体的重力加速度 大小关系。 提示:(1)由于卫星与地球的连线在单位时间内扫过的面积相等,故卫星在近地点的速 度大于在远地点的速度 R2=mg可知 GM (2)由 可见,物体的重力加速度大小与物体的质量大小无关 [记一记] 1.开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点 上 (2)开普勒第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等 的面积 (3)开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等,表达式:=k 2.万有引力定律 (1)公式:F=Om,其中G=667×101Nm3g3,叫引力常量。 (2)公式适用条件:此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体 本身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。一个均匀 球体与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为球心到质点间的距离。 1.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半,它的直径也是
1 第 4 单元 万有引力与航天 万有引力定律 [想一想] (1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动，若一 颗卫星绕地球做椭圆轨道运动，则它在近地点和远地点的速度大小关系如何？ (2)请根据万有引力定律和牛顿第二定律分析地球表面上不同质量的物体的重力加速度 大小关系。 提示：(1)由于卫星与地球的连线在单位时间内扫过的面积相等，故卫星在近地点的速 度大于在远地点的速度。 (2)由 GMm R 2 ＝mg 可知，g＝ GM R 2 可见，物体的重力加速度大小与物体的质量大小无关。 [记一记] 1．开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点 上。 (2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等 的面积。 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等，表达式： a 3 T 2＝k。 2．万有引力定律 (1)公式：F＝G m1m2 r 2 ，其中 G＝6.67×10－11N·m2 /kg2，叫引力常量。 (2)公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体 本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀 球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。 [试一试] 1．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是
地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引 力的() A.0.25倍 B.0.5倍 C.2.0倍 D.40倍 2GMom 2GM 解析:选CF=了5n)2m =2F地,故C项正确 即说点三 卫星运行规律及宇宙速度 [想一想] 在地球周围飞行着许多人造地球卫星,由于用途不同,它们的运行轨道也不相同,请思 考以下问题: (1)若各卫星的轨道均为圆形轨道,这些轨道有什么共同点 (2)各圆形轨道卫星的飞行速度是不同的,卫星离地面越近,其飞行速度越大还是越小, 它们的最大速度是多少? 提示:(1)各圆形轨道的圆心均为地球的球心 (2)离地面越近的卫星,飞行速度越大,卫星沿圆形轨道运行的最大速度为79kms,也 就是第一宇宙速度。 记一记] 地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合 (2)周期一定:与地球自转周期相同,即T=24h=86400s (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同 (4)高度一定:据CMm=m红得 GMT2 =424×10km,卫星离地面高度h 4 R≈6R(为恒量) (5)速率一定:运动速度U=2mT=3.07km/s(为恒量) (6)绕行方向一定:与地球自转的方向一致 2.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径,其运行线速度约为79km/s (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心 3.三种宇宙速度比较
2 地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引 力的( ) A．0.25 倍 B．0.5 倍 C．2.0 倍 D．4.0 倍 解析：选 C F 引＝ GMm r 2 ＝ 1 2 GM0m ( 1 2 r0) 2 ＝ 2GM0m r 2 0 ＝2F 地，故 C 项正确。 卫星运行规律及宇宙速度 [想一想] 在地球周围飞行着许多人造地球卫星，由于用途不同，它们的运行轨道也不相同，请思 考以下问题： (1)若各卫星的轨道均为圆形轨道，这些轨道有什么共同点。 (2)各圆形轨道卫星的飞行速度是不同的，卫星离地面越近，其飞行速度越大还是越小， 它们的最大速度是多少？ 提示：(1)各圆形轨道的圆心均为地球的球心。 (2)离地面越近的卫星，飞行速度越大，卫星沿圆形轨道运行的最大速度为 7.9 km/s，也 就是第一宇宙速度。 [记一记] 1．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝24h＝86 400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 (4)高度一定：据 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r 得 r＝ 3 GMT2 4π2 ＝4.24×104 km，卫星离地面高度 h＝r －R≈6R(为恒量)。 (5)速率一定：运动速度 v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 2．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 3．三种宇宙速度比较
宇宙速度数值(km/s) 意义 第一宇宙 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度,若79km/s≤U 速度 <112km,物体绕地球运行(环绕速度) 第二宇宙 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,若11.2km/s≤U 速度 <167km/s,物体绕太阻运行(脱离速度) 第三宇宙 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,若≥16.7 16.7 速度 km/s,物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度) 2.由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的 A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同 解析:选A同步卫星轨道只能在赤道平面内,高度一定,轨道半径一定,速率一定 但质量可以不同,A项正确 知识点目 经典时空观和相对论时空观 [记一记] 1.经典时空观 (1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的 (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中 是相同的。 2.相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关,在不同的参考系中不同。 3.经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。 3.下列说法正确的是() A.牛顿运动定律就是经典力学 B.经典力学的基础是牛顿运动定律 C.牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题 D.经典力学可以解决自然界中所有的问题
3 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙 速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v ＜11.2 km/s，物体绕地球运行(环绕速度) 第二宇宙 速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s，物体绕太阳运行(脱离速度) 第三宇宙 速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度) [试一试] 2．由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的 ( ) A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同 解析：选 A 同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定， 但质量可以不同，A 项正确。 经典时空观和相对论时空观 [记一记] 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中 是相同的。 2．相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。 3．经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。 [试一试] 3．下列说法正确的是( ) A．牛顿运动定律就是经典力学 B．经典力学的基础是牛顿运动定律 C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题 D．经典力学可以解决自然界中所有的问题
解析:选B经典力学并不等于牛顿运动定律,牛顿运动定律只是经典力学的基础,经 典力学并非万能,也有其适用范围,并不能解决自然界中所有的问题,没有哪个理论可以解 决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系,明确经典力学 的适用范围,才能正确解决此类问题。 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 人造卫星的运行问题 1一种模型 无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点, 围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动 2.两条思路 (1)万有引力提供向心力即CMmn=m (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力, R=mg或gR2=GMR、g分别 是天体的半径、表面重力加速度),公式gR2=GM,应用广泛,称“黄金代换” 3.三个物体 求解卫星运行问题时,一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间 的关系。 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系重力略小于万有引力 重力等于万有引力 3=3(R+h) 线速度 R GM R+h U1<U3<U2(2为第一宇宙速度) O3=a自 01=0自 角速度 R (R+h) 1=03<02
4 解析：选 B 经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经 典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解 决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学 的适用范围，才能正确解决此类问题。 人造卫星的运行问题 1.一种模型 无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点， 围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 2．两条思路 (1)万有引力提供向心力即 G Mm r 2 ＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即 GMm R 2 ＝mg 或 gR2＝GM(R、g 分别 是天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR2＝GM，应用广泛，称“黄金代换”。 3．三个物体 求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间 的关系。 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1＝ω1R v2＝ GM R v3＝ω3(R＋h)＝ GM R＋h v1<v3<v2(v2 为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω 自 ω2＝ GM R 3 ω3＝ω 自＝ GM (R＋h) 3 ω1＝ω3<ω2
3(R+h) aI=OiR GM 1-2 ER 向心加速度 (R+h)2 a1<a3<a2 4四个关系 “四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。 m一a= GMm 越高越慢 n0· 42r3 「例1](2012·浙江高考)如图4-4-1所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假 设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是() 阳·地球 图 A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 尝试解题] 因各小行星到太阳中心的距离不同,皆大于地球到太阳中心的距离,根据万有引力公式 如m=m=m(2}=m,知太阳对各小行星的引力不相同,各小行星绕太阳运动的周期 均大于年,则选项A、B错误,由a=和n2GM,r越小,a越大,r越大,越小, 则选项C正确,D错误。 答案]C 规律总结]::: (1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、周期可以比较大小,但不同轨 道上卫星的质量及所受的万有引力大小无法比较。 2)要熟记经常用到的常数,如地球自转一周为一天,绕太阳公转一周为一年,月球绕
5 向心加速度 a1＝ω 2 1 R a2＝ω 2 2 R＝ GM R 2 a3＝ω 2 3 (R＋h)＝ GM (R＋h) 2 a1<a3<a2 4.四个关系 “四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。 GMm r 2 ＝ ma―→a＝ GM r 2 ―→a∝ 1 r 2 m v 2 r ―→v＝ GM r ―→v∝ 1 r mω2 r―→ω＝ GM r 3 ―→ω∝ 1 r 3 m 4π2 T 2 r―→T＝ 4π2 r 3 GM ―→T∝ r 3 越高越慢 [例 1] (2012·浙江高考)如图 4－4－1 所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假 设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) 图 4－4－1 A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 [尝试解题] 因各小行星到太阳中心的距离不同，皆大于地球到太阳中心的距离，根据万有引力公式 G Mm r 2 ＝m v 2 r ＝m( 2π T ) 2 r＝ma，知太阳对各小行星的引力不相同，各小行星绕太阳运动的周期 均大于一年，则选项 A、B 错误，由 a＝ GM r 2 和 v 2＝ GM r ，r 越小，a 越大，r 越大，v 越小， 则选项 C 正确，D 错误。 [答案] C (1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、周期可以比较大小，但不同轨 道上卫星的质量及所受的万有引力大小无法比较。 (2)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球绕
地球公转一周为一月(273天)等。 天体质量和密度的估算 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R 由于GR=,故天体质量M,天体密度p==M=3g 4 4GR (2通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r ①由万有引力等于向心力,即Mm=m4,得出中心天体质量M=47 ②若已知天体的半径R,则天体的平均密度p=MM_3m SIR3 GTR3 ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R 则天体密度p=G7,可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期r,就可估测出中心天 体的密度。 例2](2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为 U。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹 簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为() B nut [审题指导] (1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系 (2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系 尝试解题] GM 由题意知行星表面的重力加速度为g=,又在行星表面有g=m2,卫星在行星表面运 行时有m8=立解得MaM战远项B正确 答案]B 规律总结 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的 质量而非环绕天体的质量
6 地球公转一周为一月(27.3 天)等。 天体质量和密度的估算 (1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 由于 G Mm R 2 ＝mg，故天体质量 M＝ gR2 G ，天体密度 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR。 (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r。 ①由万有引力等于向心力，即 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r，得出中心天体质量 M＝ 4π2 r 3 GT2 ； ②若已知天体的半径 R，则天体的平均密度 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3πr 3 GT2R 3； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R， 则天体密度 ρ＝ 3π GT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估测出中心天 体的密度。 [例 2] (2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹 簧测力计的示数为 N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( ) A. mv 2 GN B. mv 4 GN C. Nv 2 Gm D. Nv 4 Gm [审题指导] (1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系。 (2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系。 [尝试解题] 由题意知行星表面的重力加速度为 g＝ N m ，又在行星表面有 g＝ GM R 2 ，卫星在行星表面运 行时有 m′g＝m′ v 2 R ，联立解得 M＝ mv 4 GN，故选项 B 正确。 [答案] B 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的 质量而非环绕天体的质量
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星,才有r≈R;计算 天体密度时,V=πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 卫星的变轨问题 1圆轨道上的稳定运行 G2=m-=m2=m( 变轨运行分析 (1)当增大时,所需向心力m增大,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运 动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,但卫星一旦进入新的轨道运行,由U 其运行速度要减小,但重力势能、机械能均增加。 (2)当卫星的速度突然减小时,向心力一减小,即万有引力大于卫星所需的向心力,因 此卫星将做向心运动,同样会脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,进入新轨道运行时由v FG沙还行速度将增大,但重力势能、机械能均减少。 例32012年6月16日18时37分,执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号” 载人飞船发射升空,在距地面343公里的近圆轨道上,与等待已久的“天宫一号”实现多次 交会对接、分离,于6月29日10时许成功返回地面,下列关于“神舟九号”与“天宫一号” 的说法正确的是() A.若知道“天宫一号”的绕行周期,再利用引力常量,就可算出地球的质量 B.在对接前,“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道,然后让“神舟九号” 加速追上“天宫一号”并与之对接 C.在对接前,应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动,然 后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接 D.“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速 审题指导] (1)航天器在圆形轨道上运行时,地球对航天器的万有引力恰好提供向心力 (2)航天器要实现变轨,应增大或减小其运行速率。 [尝试解题] GMm (R+h)可知,要计算出地球的质量,除G、h、T已知外,还必须知道 (R+h)
7 (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星，才有 r≈R；计算 天体密度时，V＝ 4 3 πR 3 中的“R”只能是中心天体的半径。 卫星的变轨问题 1.圆轨道上的稳定运行 G Mm r 2 ＝m v 2 r ＝mrω2＝mr( 2π T ) 2 2．变轨运行分析 (1)当 v 增大时，所需向心力 m v 2 r 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运 动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 v＝ GM r 知 其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。 (2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv 2 r 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因 此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由 v＝ GM r 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。 [例 3] 2012 年 6 月 16 日 18 时 37 分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号” 载人飞船发射升空，在距地面 343 公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次 交会对接、分离，于 6 月 29 日 10 时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号” 的说法正确的是( ) A．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量 B．在对接前，“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号” 加速追上“天宫一号”并与之对接 C．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然 后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接 D．“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速 [审题指导] (1)航天器在圆形轨道上运行时，地球对航天器的万有引力恰好提供向心力。 (2)航天器要实现变轨，应增大或减小其运行速率。 [尝试解题] 由 GMm (R＋h) 2 ＝m 4π2 T 2 (R＋h)可知，要计算出地球的质量，除 G、h、T 已知外，还必须知道
地球的半径R,故A错误;在对接前,“神舟九号”的轨道应稍低于“天宫一号”的轨道, 神舟九号”加速后做离心运动,才能到达较高轨道与“天宫—号”实现对接,故B正确 C错误;“神舟九号”返回地面时,应在圆形轨道上先减速,才能做近心运动,D正确。 答案]BD 规律总结:::諶 (1)卫星变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大小关系判断:稳定在新轨 道上的运行速度变化由0=M列断 (2卫星绕过不同轨道上的同一点切点时,其加速度大小关系可用F=CAm=m比较 得出。 万有引力定律与其他知识的综合应用 「例4]我国探月的“嫦娥”工程已启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球。假 设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点,并沿水平方向以初速度抛出一个小球,测 得小球经时间t落到斜坡上另一点N,斜面的倾角为θ,如图4-4-2所示。将月球视为密 度均匀、半径为r的球体,引力恒量为G,则月球的密度为() botan 6 3votan 6 botan 6 votan 8 agRt 审题指导] 第一步:抓关键点 关键点 获取信 从M点平抛落到N点小球平抛的竖直位移y与水平位移x间满足tmn=2 宇航员在月球表面平抛小球 小球运动的加速度为月球表面的重力加速度 第二步:找突破口 要求月球的密度一应用关系式tan0=,求出月球表面的重力加速度一应用物体
8 地球的半径 R，故 A 错误；在对接前，“神舟九号”的轨道应稍低于“天宫一号”的轨道， “神舟九号”加速后做离心运动，才能到达较高轨道与“天宫一号”实现对接，故 B 正确， C 错误；“神舟九号”返回地面时，应在圆形轨道上先减速，才能做近心运动，D 正确。 [答案] BD (1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨 道上的运行速度变化由 v＝ GM r 判断。 (2)卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用 F＝ GMm r 2 ＝ma 比较 得出。 万有引力定律与其他知识的综合应用 [例 4] 我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假 设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的 M 点，并沿水平方向以初速度 v0 抛出一个小球，测 得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 N，斜面的倾角为 θ，如图 4－4－2 所示。将月球视为密 度均匀、半径为 r 的球体，引力恒量为 G，则月球的密度为( ) 图 4－4－2 A. 3v0tan θ 4πGrt B. 3v0tan θ πGrt C. 3v0tan θ 2πGrt D. v0tan θ πGrt [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 从 M 点平抛落到 N 点 小球平抛的竖直位移 y 与水平位移 x 间满足 tan θ＝ y x 宇航员在月球表面平抛小球 小球运动的加速度为月球表面的重力加速度 第二步：找突破口 要求月球的密度―→应用关系式 tan θ＝ y x ，求出月球表面的重力加速度―→应用物体的
重力等于月球对物体的万有引力一月球质量一由p=得出月球密度。 [尝试解题 根据平抛运动规律有MNsn0=2, MN cos 6=m,两式相比得月球表面的重力加速 度g 2votan 6 月球对表面物体的万有引力等于物体的重力,有p=mg,月球的密度 4x3,解以上三式得n30an 2ITGrt 故C正确。 答案] 规律总结1 天体表面的重力加速度一方面与天体有关(g=GM),另一方面又可以从相关运动(平抛 运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出,重力加速度是运动学和万有引力、天体运 动联系的纽带。 自由落体 h=0 GMm 竖直上抛 平抛 学科特色要控掘 补短板 弥不足 得满分 握程度 同类问题模型化"系列之(五) 宇宙双星模型 [模型概述] 在天体运动中,将两颗彼此相距较近且在相互之间 万有引力作用下,绕两者连线上的某点做周期相同的匀 速圆周运动的行星称为双星
9 重力等于月球对物体的万有引力―→月球质量―→由 ρ＝ M V 得出月球密度。 [尝试解题] 根据平抛运动规律有 MN sin θ＝ gt2 2 ， MN cos θ＝v0t，两式相比得月球表面的重力加速 度 g＝ 2v0tan θ t ，月球对表面物体的万有引力等于物体的重力，有GMm r 2 ＝mg，月球的密度 ρ ＝ M 4πr 3 3 ，解以上三式得 ρ＝ 3v0tan θ 2πGrt ，故 C 正确。 [答案] C 天体表面的重力加速度一方面与天体有关(g＝G M R 2 )，另一方面又可以从相关运动(平抛 运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运 动联系的纽带。 自由落体 h＝ 1 2 gt2 v＝gt 竖直上抛 h＝v0t－ 1 2 gt2 v＝v0－gt 平抛 x＝v0t，vx＝v0 y＝ 1 2 gt2，vy＝gt GMm R 2 ＝mg g [模型概述] 在天体运动中，将两颗彼此相距较近且在相互之间 万有引力作用下，绕两者连线上的某点做周期相同的匀 速圆周运动的行星称为双星
(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的,故两行星 做匀速圆周运动的向心力大小相等 (2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,因此它们的运行周期和角速度是 相等的。 (3)两颗行星做匀速圆周运动的半径n和n与两行星间距L的大小关系:n+P=L。 典例(2012·重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统,质量比约为 7:1,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知,冥王星绕O点运动的( A.轨道半径约为卡戎的 B.角速度大小约为卡戎的三 C.线速度大小约为卡戎的7倍 D.向心力大小约为卡戎的7倍 解析]两星绕连线上某点稳定转动,则转动周期和角速度相同,根据两星做囻周运动 所需的向心力由万有引力提供,两星受到的万有引为相互作用力,有 72,解之得=四=,A选项正确,B选项错误;线速度o=oR,、R、 tMr C选项错误;因两星向心力均由大小相等的相互作用的万有引力提供,D选项错误。 答案]A 题后悟道] 我们通常研究卫星绕地球或行星绕太阳运行问题时,卫星到地球中心或行星到太阳中 心间距与它们的轨道半径大小是相等的,但在宇宙双星问题中,行星间距与轨道半径是不同 的,这点要引起重视。 ∥针时训练∥ 银河系的恒星中大约四分之一是双星,某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在 相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其 运动周期为T,S1到C点的距离为n,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G。由此可求出 S2的质量为( 42r2(r-n) G72 42r2n D.GT
10 (1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星 做匀速圆周运动的向心力大小相等。 (2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是 相等的。 (3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间距 L 的大小关系：r1＋r2＝L。 [典例] (2012·重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕 O 点运动的( ) A．轨道半径约为卡戎的1 7 B．角速度大小约为卡戎的1 7 C．线速度大小约为卡戎的 7 倍 D．向心力大小约为卡戎的 7 倍 [解析] 两星绕连线上某点稳定转动，则转动周期和角速度相同，根据两星做圆周运动 所需的向心力由万有引力提供，两星受到的万有引力为相互作用力，有Gm1m2 L 2 ＝ 4π2m1R1 T 2 ， Gm1m2 L 2 ＝ 4π2m2R2 T 2 ，解之得R1 R2 ＝ m2 m1 ＝ 1 7 ，A 选项正确，B 选项错误；线速度 v＝ωR， v1 v2 ＝ R1 R2 ＝ 1 7 ， C 选项错误；因两星向心力均由大小相等的相互作用的万有引力提供，D 选项错误。 [答案] A [题后悟道] 我们通常研究卫星绕地球 或行星绕太阳运行问题时，卫星到地球中心或行星到太阳中 心间距与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙双星问题中，行星间距与轨道半径是不同 的，这点要引起重视。 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体 S1 和 S2 构成，两星在 相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其 运动周期为 T，S1 到 C 点的距离为 r1，S1 和 S2 的距离为 r，已知引力常量为 G。由此可求出 S2 的质量为( ) A. 4π2 r 2 (r－r1) GT2 B.4πr 2 1 GT2 C.4π2 r 2 GT2 D.4π2 r 2 r1 GT2