第3单元 机械能守恒定律 必备知识要打牢 抓双基 固本源 得基础分 掌握程度 HIBET ZHISHI YAO DALAO 知识点一 重力势能与弹性势能 如图5-3-1所示,小球质量为m,从A点由静止下落,到达C点的速度为零。请思 考以下问题: ○ B 图5-3-1 (1)此过程中小球重力做的功是多少?小球重力势能如何变化?变化量为多大? (2)弹簧对小球做正功还是负功?弹簧的弹性势能是增大还是减小? 提示:(1)重力做功为mg(h+x),小球重力势能减小了mg(h+x)。 (2)殚弹簧对小球做负功,弹簧的弹性势能增大。 [记一记 1.重力势能 1)定义:物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。 (2)表达式:Ep=mghe (3)矢标性:重力势能是标量,但有正负,其意义表示物体的重力势能比它在参考平面 大还是小 (4)重力势能的特点 ①系统性:重力势能是物体和地球所共有的 ②相对性:重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化与参考平面的选 (5)重力做功与重力势能变化的关系:
1 第 3 单元 机械能守恒定律 重力势能与弹性势能 [想一想] 如图 5－3－1 所示，小球质量为 m，从 A 点由静止下落，到达 C 点的速度为零。请思 考以下问题： 图 5－3－1 (1)此过程中小球重力做的功是多少？小球重力势能如何变化？变化量为多大？ (2)弹簧对小球做正功还是负功？弹簧的弹性势能是增大还是减小？ 提示：(1)重力做功为 mg(h＋x)，小球重力势能减小了 mg(h＋x)。 (2)弹簧对小球做负功，弹簧的弹性势能增大。 [记一记] 1．重力势能 (1)定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。 (2)表达式：Ep＝mgh。 (3)矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面 大还是小。 (4)重力势能的特点： ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选 取无关。 (5)重力做功与重力势能变化的关系：
G=-△E Wo 2.弹性势能 (1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用,而具有的势能 (2)大小:与形变量及劲度系数有关 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功,弹性势能减小:弹力做负功,弹性 势能增加 关于重力势能,下列说法中正确的是( A.重力势能是地球与物体所组成的系统共有的 B.重力势能为负值,表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少 C.卫星绕地球做椭圆运动,当由近地点向远地点运动时,其重力势能减小 D.只要物体在水平面以下,其重力势能为负值 解析:选AB由重力势能的系统性可知,A正确;物体在参考平面时重力势能为零, 高于参考平面时重力势能为正,低于参考平面时,重力势能为负,其“正、负”表示大小, B正确;卫星由近地点到远地点的过程中,克服重力做功,重力势能增大,C错误:参考平 面的选取是任意的,水平面不一定是参考平面,D错。 知识点三 机械能守恒定律 [想一想] 如图5-3-2所示,质量为m的小球从光滑曲面上滑下,当它到达高度为h1的位置A 时,速度大小为:当它继续滑下到高度为h2的位置B时,速度大小为2 图5-3-2 (1)试根据动能定理推导小球在A、B两点运动时动能大小的变化与重力做功的关系。 代(2)将上述表达式等号两侧带“-”号的一项移到等号另一侧,得到的表达式的物理意 是什么 提示:(1)由动能定理可得 mg(h1-h2)=m2-ammr (2)上式化简可得mgh+mn2=mgh+m2
2 WG＝－ΔEp。 2．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，而具有的势能。 (2)大小：与形变量及劲度系数有关。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性 势能增加。 [试一试] 1．关于重力势能，下列说法中正确的是( ) A．重力势能是地球与物体所组成的系统共有的 B．重力势能为负值，表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少 C．卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能减小 D．只要物体在水平面以下，其重力势能为负值 解析：选 AB 由重力势能的系统性可知，A 正确；物体在参考平面时重力势能为零， 高于参考平面时重力势能为正，低于参考平面时，重力势能为负，其“正、负”表示大小， B 正确；卫星由近地点到远地点的过程中，克服重力做功，重力势能增大，C 错误；参考平 面的选取是任意的，水平面不一定是参考平面，D 错。 机械能守恒定律 [想一想] 如图 5－3－2 所示，质量为 m 的小球从光滑曲面上滑下，当它到达高度为 h1 的位置 A 时，速度大小为 v1；当它继续滑下到高度为 h2 的位置 B 时，速度大小为 v2。 图 5－3－2 (1)试根据动能定理推导小球在 A、B 两点运动时动能大小的变化与重力做功的关系。 (2)将上述表达式等号两侧带“－”号的一项移到等号另一侧，得到的表达式的物理意 义是什么？ 提示：(1)由动能定理可得 mg(h1－h2)＝ 1 2 mv 2 2 － 1 2 mv 2 1 (2)上式化简可得 mgh1＋ 1 2 mv 2 1 ＝mgh2＋ 1 2 mv 2 2
此式说明小球在光滑曲面上下滑过程中,只有重力做功,机械能守恒。 记一记] 1.内容 在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持 不变。 2.机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功 3.对守恒条件的理解 (1)只受重力作用,例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动,物体的机械能守 (2)受其他力,但其他力不做功,只有重力或系统内的弹力做功 (3)弹力做功伴随着弹性势能的变化,并且弹力做的功等于弹性势能的减少量 4.机械能守恒的三种表达式 (1)E1=E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)。 (2)△AEk=一ΔE或ΔEk=△Ep砥(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。 (3)△EA=一ΔEB或ΔEA增=△EB减(表示系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B 减少的机械能)。 2.关于机械能是否守恒,下列说法正确的是( A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B.做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒 C.做变速运动的物体机械能可能守恒 D.合力对物体做功不为零,机械能一定不守恒 解析:选C做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体,如果是在竖直平面内则 机械能不守恒,A、B错误;合力做功不为零,机械能可能守恒,D错误,C正确。 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 机械能守恒的判断 例1]如图5-3-3所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
3 此式说明小球在光滑曲面上下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。 [记一记] 1．内容 在只有重力或弹力做 功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持 不变。 2．机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功。 3．对守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守 恒。 (2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功。 (3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量。 4．机械能守恒的三种表达式 (1)E1＝E2(E1、E2 分别表示系统初、末状态时的总机械能)。 (2)ΔEk＝－ΔEp 或 ΔEk 增＝ΔEp 减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。 (3)ΔEA＝－ΔEB 或 ΔEA 增＝ΔEB 减(表示系统只有 A、B 两物体时，A 增加的机械能等于 B 减少的机械能)。 [试一试] 2．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( ) A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒 C．做变速运动的物体机械能可能守恒 D．合力对物体做功不为零，机械能一定不守恒 解析：选 C 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则 机械能不守恒，A、B 错误；合力做功不为零，机械能可能守恒，D 错误，C 正确。 机械能守恒的判断 [例 1] 如图 5－3－3 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图 5-3-3 A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,A机械能守恒 B.乙图中,A置于光滑水平面,物体B沿光滑斜面下滑,物体B机械能守恒 C.丙图中,不计任何阻力时A加速下落,B加速上升过程中,A、B系统机械能守恒 D.丁图中,小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时,小球的机械能守恒 审题指导 (1)只有重力和弹簧弹力做功时,物体与弹簧组成的系统机械能守恒。 (2)物体B沿斜面下滑时,放在光滑水平面上的斜面体沿水平面是运动的 尝试解题] 甲图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A机械能不守 恒,A错;乙图中物体B除受重力外,还受弹力,弹力对B做负功,机械能不守恒,但从 能量特点看A、B组成的系统机械能守恒,B错;丙图中绳子张力对A做负功,对B做正功, 代数和为零,A、B机械能守恒,C对;丁图中动能不变,势能不变,机械能守恒,D对。 [答案]CD 规律总结 机械能是否守恒的几种判断方法 (1)利用机械能的定义判断(直接判断):若物体动能、势能均不变,机械能不变。若一个 物体动能不变、重力势能变化,或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减 小),其机械能一定变化。 (2)用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,虽受其他力,但其他力不 做功,机械能守恒。 3)用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形 式的能的转化,则物体系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统,除考虑外力是否只有重力做功外,还要考虑系统内力做功, 如有滑动摩擦力做功时,因有摩擦热产生,系统机械能将有损失。 单个物体机械能守恒定律的应用 机械能守恒定律的表达式比较
4 图 5－3－3 A．甲图中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒 B．乙图中，A 置于光滑水平面，物体 B 沿光滑斜面下滑，物体 B 机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力时 A 加速下落，B 加速上升过程中，A、B 系统机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 [审题指导] (1)只有重力和弹簧弹力做功时，物体与弹簧组成的系统机械能守恒。 (2)物体 B 沿斜面下滑时，放在光滑水平面上的斜面体沿水平面是运动的。 [尝试解题] 甲图中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守 恒，A 错；乙图中物体 B 除受重力外，还受弹力，弹力对 B 做负功，机械能不守恒，但从 能量特点看 A、B 组成的系统机械能守恒，B 错；丙图中绳子张力对 A 做负功，对 B 做正功， 代数和为零，A、B 机械能守恒，C 对；丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对。 [答案] CD 机械能是否守恒的几种判断方法 (1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变。若一个 物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减 小)，其机械能一定变化。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不 做功，机械能守恒。 (3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形 式的能的转化，则物体系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功， 如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失。 单个物体机械能守恒定律的应用 1.机械能守恒定律的表达式比较
表达角度 表达公式 表达意义 注意事项 应用时应选好重力势能 系统的初状态机械能的总 的零势能面,且初末状 守恒观点E+Ep=Ek’+Ep和与末状态机械能的总和 态必须用同一零势能面 相等 计算势能 应用时关键在于分清重 表示系统(或物体)机械能守 力势能的增加量和减少 恒时,系统减少(或增加)的 转化观点 量,可不选零势能面而 重力势能等于系统增加(或 直接计算初末状态的势 减少)的动能 能差 若系统由A、B两部分组成, 常用于解决两个或多个 则A部分物体机械能的增 转移观点 △E增=△E减 物体组成的系统的机械 加量与B部分物体机械能 能守恒问题 的减少量相等 2应用机械能守恒定律解题的一般步骤 单个物体 (1)选取研究对象多个物体组成的系统 系统内有弹簧 (2)分析研究对象在运动过程中的受力情况,明确各力的做功情况,判断机械能是否守 恒 (3)选取零势能面,确定研究对象在初、末状态的机械能 (4)根据机械能守恒定律列出方程 (5)解方程求出结果,并对结果进行必要的讨论和说明 例2]如图5-3-4所示,斜面轨道AB与水平面之间的夹角0=53°,BD为半径R= 4m的圆弧形轨道,且B点与D点在同一水平面上,在B点,斜面轨道AB与圆弧形轨道 BD相切,整个轨道处于竖直平面内且处处光滑,在A点处有一质量m=1kg的小球由静止 滑下,经过B、C两点后从D点斜抛出去,最后落在地面上的S点时的速度大小a=8m/s 已知A点距地面的高度H=10m,B点距地面的高度h=5m,设以MDN为分界线,其左边 为一阻力场区域,右边为真空区域,g取10ms2,coss3°=0.6,求: D
5 表达角度 表达公式 表达意义 注意事项 守恒观点 Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ 系统的初状态机械能的总 和与末状态机械能的总和 相等 应用时应选好重力势能 的零势能面，且初末状 态必须用同一零势能面 计算势能 转化观点 ΔEk＝－ΔEp 表示系统(或物体)机械能守 恒时，系统减少(或增加)的 重力势能等于系统增加(或 减少)的动能 应用时关键在于分清重 力势能的增加量和减少 量，可不选零势能面而 直接计算初末状态的势 能差 转移观点 ΔE 增＝ΔE 减 若系统由 A、B 两部分组成， 则 A 部分物体机械能的增 加量与 B 部分物体机械能 的减少量相等 常用于解决两个或多个 物体组成的系统的机械 能守恒问题 2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象 单个物体 多个物体组成的系统 系统内有弹簧 (2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守 恒。 (3)选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能。 (4)根据机械能守恒定律列出方程。 (5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明。 [例 2] 如图 5－3－4 所示，斜面轨道 AB 与水平面之间的夹角 θ＝53°，BD 为半径 R＝ 4 m 的圆弧形轨道，且 B 点与 D 点在同一水平面上，在 B 点，斜面轨道 AB 与圆弧形轨道 BD 相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在 A 点处有一质量 m＝1 kg 的小球由静止 滑下，经过 B、C 两点后从 D 点斜抛出去，最后落在地面上的 S 点时的速度大小 vS＝8 m/s， 已知 A 点距地面的高度 H＝10 m，B 点距地面的高度 h＝5 m，设以 MDN 为分界线，其左边 为一阻力场区域，右边为真空区域，g 取 10 m/s 2，cos 53°＝0.6，求：
(1)小球经过B点时的速度为多大? (2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多大? (3)小球从D点抛出后,受到的阻力F与其瞬时速度方向始终相反,求小球从D点至S 点的过程中阻力F所做的功。 审题指导] 第一步:抓关键点 关键点 获取信息 B点与D点在同一水平面上 小球在B、D两点速度大小相等 整个轨道处处光滑 在ABCD轨道上,只有重力对小球做功,其机械能守恒 MDN左边为一阻力场区域因有阻力做功,小球在MDN左侧区域运动时,机械能减少 第二步:找突破口 要求小球在C点时对轨道的压力→对小球由A到C过程应用机械能守恒定律求得小球 在C点的速度→应用牛顿第二定律列式求得轨道对小球的支持力→应用牛顿第三定律求得 小球对轨道C点的压力。 [尝试解题] (1)小球经过B点时的速度大小为ca,由机械能守恒得:mg(H-h)=2m 解得Ug=10ms。 (2)设小球经过C点时的速度为c,对轨道的压力为FN,则轨道对小球的支持力FN FN,根据牛顿第二定律可得 由机械能守恒得:mgR(1-cos53°)+m 由以上两式及FN′=FN解得FN=43N (3)设小球受到的阻力为Fr,到达S点的速度为,在此过程中阻力所做的功为W,易 知UD=UB,由动能定理可得 mgh+W=imus-amoB 解得W=-68J。 答案](1)10m/s(2)43N(3)-68J 规律总结:::諶 6
6 图 5－3－4 (1)小球经过 B 点时的速度为多大？ (2)小球经过圆弧轨道最低处 C 点时对轨道的压力多大？ (3)小球从 D 点抛出后，受到的阻力 Ff与其瞬时速度方向始终相反，求小球从 D 点至 S 点的过程中阻力 Ff所做的功。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 B 点与 D 点在同一水平面上 小球在 B、D 两点速度大小相等 整个轨道处处光滑 在 ABCD 轨道上，只有重力对小球做功，其机械能守恒 MDN 左边为一阻力场区域 因有阻力做功，小球在 MDN 左侧区域运动时，机械能减少 第二步：找突破口 要求小球在 C 点时对轨道的压力→对小球由 A 到 C 过程应用机械能守恒定律求得小球 在 C 点的速度→应用牛顿第二定律列式求得轨道对小球的支持力→应用牛顿第三定律求得 小球对轨道 C 点的压力。 [尝试解题] (1)设小球经过 B 点时的速度大小为 vB，由机械能守恒得：mg(H－h)＝ 1 2 mv 2 B 解得 vB＝10 m/s。 (2)设小球经过 C 点时的速度为 vC，对轨道的压力为 FN，则轨道对小球的支持力 FN′ ＝FN，根据牛顿第二定律可得 FN′－mg＝m v 2 C R 由机械能守恒得：mgR(1－cos 53°)＋ 1 2 mv 2 B ＝ 1 2 mv 2 C 由以上两式及 FN′＝FN 解得 FN＝43 N。 (3)设小球受到的阻力为 Ff，到达 S 点的速度为 vS，在此过程中阻力所做的功为 W，易 知 vD＝vB，由动能定理可得 mgh＋W＝ 1 2 mv 2 S － 1 2 mv 2 D 解得 W＝－68 J。 [答案] (1)10 m/s (2)43 N (3)－68 J
(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系,其守恒是有条件的,因此,应用时 首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。 (2)如果系统(除地球外)只有一个物体,用守恒观点列方程较方便:对于由两个或两个以 上物体组成的系统,用转化或转移的观点列方程较简便。 多个物体组成的系统机械能守恒定律的应用 例3](2012.长春调研)如图5-3-5所示,左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在 水平桌面上,碗口水平,O点为球心,碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定光滑斜面 斜面足够长,倾角θ=30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光 滑定滑轮两端上,绳的两端分别系有可视为质点的小球m和m2,且m>m2。开始时m恰 在右端碗口水平直径A处,m在斜面上且距离斜面顶端足够远,此时连接两球的细绳与斜 面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开,不计细 绳断开瞬间的能量损失。 图5-3-5 (1)求小球m2沿斜面上升的最大距离x (2)若已知细绳断开后小球m沿碗的内侧上升的最大高度为,求皿 [审題指导] 解答本题时应注意以下两点 (1)两球的速度大小之间的关系 (2)两球一起运动时,高度变化的关系 [尝试解题] (1)设重力加速度为g,小球m到达最低点B时m、m的速度大小分别为、劭,由运 动的合成与分解得 对m、m系统由机械能守恒定律得 migR-m2gh=im012+m2u 由几何关系得h=V2Rin30°
7 (1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时 首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。 (2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以 上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便。 多个物体组成的系统机械能守恒定律的应用 [例 3] (2012·长春调研)如图 5－3－5 所示，左侧为一个半径为 R 的半球形的碗固定在 水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定光滑斜面， 斜面足够长，倾角 θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光 滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球 m1 和 m2，且 m1>m2。开始时 m1 恰 在右端碗口水平直径 A 处，m2 在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜 面平行且恰好伸直。当 m1 由静止释放运动到圆心 O 的正下方 B 点时细绳突然断开，不计细 绳断开瞬间的能量损失。 图 5－3－5 (1)求小球 m2 沿斜面上升的最大距离 x； (2)若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为R 2 ，求 m1 m2 。 [审题指导] 解答本题时应注意以下两点： (1)两球的速度大小之间的关系。 (2)两球一起运动时，高度变化的关系。 [尝试解题] (1)设重力加速度为 g，小球 m1 到达最低点 B 时 m1、m2 的速度大小分别为 v1、v2，由运 动的合成与分解得 v1＝ 2v2① 对 m1、m2 系统由机械能守恒定律得 m1gR－m2gh＝ 1 2 m1v 2 1 ＋ 1 2 m2v 2 2 ② 由几何关系得 h＝ 2Rsin 30°③
设细绳断后m沿斜面上升的距离为x′,对m由机械能守恒定律得mgr'sn30°-1 m2-0④ 小球m沿斜面上升的最大距离x=V2R+x⑤ 联立得x=(√2+ 2m1+m (2)对小球m由机械能守恒定律得mvr2=mg⑦ 联立①28O式得2V+1 答案](1)x=(V2+2m-m 2m1+m 规律总结]:: 多物体机械能守恒问题的分析方法 (1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时,一般选用△E=-△Ep的形式 学科特色要控掘 补短板 尔不足 得满分 掌握程度
8 设细绳断后 m2 沿斜面上升的距离为 x′，对 m2 由机械能守恒定律得 m2gx′ sin 30°＝ 1 2 m2v 2 2－0④ 小球 m2 沿斜面上升的最大距离 x＝ 2R＋x′⑤ 联立得 x＝( 2＋ 2m1－ 2m2 2m1＋m2 )R⑥ (2)对小球 m1 由机械能守恒定律得1 2 m1v 2 1 ＝m1g· R 2 ⑦ 联立①②③⑦式得m1 m2 ＝ 2 2＋1 2 [答案] (1)x＝( 2＋ 2m1－ 2m2 2m1＋m2 )R (2) m1 m2 ＝ 2 2＋1 2 多物体机械能守恒问题的分析方法 (1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用 ΔEk＝－ΔEp 的形式
同类问题模型化”系列之(六) 用机械能守恒定律解决非质点模型 「模型概述] 在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常裡到像 链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变, 其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再看 做质点来处理。 物体虽然不能看成质点来处理,但因只有重力散功 物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理 确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初 末状态物体重力势能的变化列式求解。 典例两个底面积都是S的圆桶,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h和加,如图5-3-6所示。已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开,不计摩擦阻力, 当两桶水面第一次高度相等时,液面的速度为多大?(连接两桶的阀门之间水的质量不计) hz 图 解析]对于容器中的液体,运动过程中只有重力做功,系统机械能守恒,第一次液面 高度相等时,重力势能的減少量等于动能的增加量。 hI-h 容器中水的总质量为:m=pS(h+h);水面相平时,相当于质量为m’=S2的液 体下降了力 所以由机械能守恒定律可得:△Ep=△Ek, 2 h1-h2h1-h2 即pgS2 =/S(h+h2)2 解得:=(h1-h) 2(h+h2) 答案](h-h) (h1+h2) 题后悟道]利用等效法计算势能变化时一定要注意等效部分的质量关系,即根据物体
9 [典例] 两个底面积都是 S 的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为 h1 和 h2，如图 5－3－6 所示。已知水的密度为 ρ。现把连接两桶的阀门打开，不计摩擦阻力， 当两桶水面第一次高度相等时，液面的速度为多大？(连接两桶的阀门之间水的质量不计) 图 5－3－6 [解析] 对于容器中的液体，运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，第一次液面 高度相等时，重力势能的减少量等于动能的增加量。 容器中水的总质量为：m＝ρS(h1＋h2)；水面相平时，相当于质量为 m′＝ρS h1－h2 2 的液 体下降了 h1－h2 2 ，所以由机械能守恒定律可得：ΔEp＝ΔEk， 即 ρgS h1－h2 2 · h1－h2 2 ＝ 1 2 ρS(h1＋h2)v 2， 解得：v＝(h1－h2) g 2(h1＋h2) 。 [答案] (h1－h2) g 2(h1＋h2) [题后悟道] 利用等效法计算势能变化时一定要注意等效部分的质量关系，即根据物体 [模型概述] 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像 “链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变， 其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看 做质点来处理。 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功， 物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理， 确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初 末状态物体重力势能的变化列式求解
的相对位置关系将物体分成若干段,在应用相关规律求解时要注意对应各部分的质量关系。 即在解决涉及重力势能变化的问题时,物体的位置变化要以重心位置变化为准 ∥针时训练∥ 如图5-3-7所示,一条长为L的柔软匀质链条,开始时静止在光滑梯形平台上,斜 面上的链条长为x0,已知重力加速度为g,Lx0)。 图5-3-7 解析:链条各部分和地球组成的系统机械能守恒,设链条的总质量为m,以平台所在位 置为零势能面,则 解得U )sin a(xxo) 所以当斜面上链条长为x时,链条的速度为1{(x2-x)sno(x>x) 答案:^{(x2-x)sina(x>xo)
10 的相对位置关系将物体分成若干段，在应用相关规律求解时要注意对应各部分的质量关系。 即在解决涉及重力势能变化的问题时，物体的位置变化要以重心位置变化为准。 如图 5－3－7 所示，一条长为 L 的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜 面上的链条长为 x0，已知重力加速度为 g，Lx0)。 图 5－3－7 解析：链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为 m，以平台所在位 置为零势能面，则 － m L x0g· 1 2 x0sin α＝ 1 2 mv 2－ m L xg· 1 2 xsin α 解得 v＝ g L (x 2－x 2 0 )sin α(x>x0) 所以当斜面上链条长为 x 时，链条的速度为 g L (x 2－x 2 0 )sin α(x>x0)。 答案： g L (x 2－x 2 0 )sin α(x>x0)