第2单元 平抛运动 必备知识要打牢 抓双基 固本源 F握程度 BEL ZHISHI YAO DALAO 平抛运动及其规律 「想一想] 如图4-2-1所示,甲、乙、丙三小球分别位于如图所示的竖直平面内,甲、乙在同 一条竖直线上,甲、丙在同一条水平线上,P点在丙球正下方。某时刻,甲、乙、丙同时开 始运动,甲以水平速度v0平抛,乙以水平速度沿水平面向右做匀速直线运动,丙做自由 落体运动,若甲、乙、丙三球同时到达P点,试说明甲球所做的平抛运动在水平方向和竖 直方向的分运动各是什么运动? 丙 图4-2 提示:若甲、乙、丙三球同时到达P点,则说明甲在水平方向的运动与乙的运动相同, 为匀速直线运动,甲在竖直方向的运动与丙的运动相同,为自由落体运动 1.特点 (1)运动特点:初速度方向水平。 (2)受力特点:只受重力作用 2.性质 平抛运动是加速度恒为重力加速度的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线 3.研究方法 用运动的合成与分解方法研究平抛运动 水平方向:匀速直线运动 竖直方向:自由落体运动 4.运动规律(如下表所示) 水平方向 Ux-00 x- 竖直方向
1 第 2 单元 平_抛_运_动 平抛运动及其规律 [想一想] 如图 4－2－1 所示，甲、乙、丙三小球分别位于如图所 示的竖直平面内，甲、乙在同 一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P 点在丙球正下方。某时刻，甲、乙、丙同时开 始运动，甲以水平速度 v0 平抛，乙以水平速度 v0 沿水平面向右做匀速直线运动，丙做自由 落体运动，若甲、乙、丙三球同时到达 P 点，试说明甲球所做的平抛运动在水平方向和竖 直方向的分运动各是什么运动？ 图 4－2－1 提示：若甲、乙、丙三球同时到达 P 点，则说明甲在水平方向的运动与乙的运动相同， 为匀速直线运动，甲在竖直方向的运动与丙的运动相同，为自由落体运动。 [记一记] 1．特点 (1)运动特点：初速度方向水平。 (2)受力特点：只受重力作用。 2．性质 平抛运动是加速度恒为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。 3．研究方法 用运动的合成与分解方法研究平抛运动。 水平方向：匀速直线运动 竖直方向：自由落体运动。 4．运动规律(如下表所示) 水平方向 vx＝v0 x＝v0t 竖直方向 vy＝gt，y＝ 1 2 gt2
大小 u=Nu,+u2=uo+g1 合速度 方向 与水平方向的夹角tana=2=8 大小 合位移 方向 与水平方向的夹角tan=y=8 x270 轨迹方程 y- [试一试] 1.从高度为h处以水平速度v抛出一个物体,要使该物体的落地速度与水平地面的夹 角较大,则h与o的取值应为下列四组中的哪一组() A. h=30 m B.h=30m,0=30m/ C.h=50m,=30m D.h=50m,o=10m/s 解析:选D要使落地速度与水平方向夹角较大,应使mn02=、y2中0较大,应 使自由下落的高度h较大,同时使水平速度ω较小,故选项D正确。 知识点 斜抛运动 [记一记] 概念 以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度斜向抛出,物体仅在重力作用下所做的 曲线运动 2.性质 斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。 3.基本规律 以斜向上抛为例说明,如图4-2-2所示 (1)水平方向:ox= ocos e,F合x=0 (2)竖直方向:0=sin,F合y=mg 因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运
2 合速度 大小 v＝ v 2 x ＋v 2 y ＝ v 2 0 ＋g 2 t 2 方向 与水平方向的夹角 tan α＝ vy vx ＝ gt v0 合位移 大小 s＝ x 2＋y 2 方向 与水平方向的夹角 tan θ＝ y x ＝ gt 2v0 轨迹方程 y＝ g 2v 2 0 x 2 [试一试] 1．从高度为 h 处以水平速度 v0 抛出一个物体，要使该物体的落地速度与水平地面的夹 角较大，则 h 与 v0 的取值应为下列四组中的哪一组( ) A．h＝30 m，v0＝10 m/s B．h＝30 m，v0＝30 m/s C．h＝50 m，v0＝30 m/s D．h＝50 m，v0＝10 m/s 解析：选 D 要使落地速度与水平方向夹角较大，应使 tan θ＝ vy v0 ＝ 2gh v0 中 θ 较大，应 使自由下落的高度 h 较大，同时使水平速度 v0 较小，故选项 D 正确。 斜抛运动 [记一记] 1．概念 以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度斜向抛出，物体仅在重力作用下所做的 曲线运动。 2．性质 斜抛运动是加速度恒为重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 3．基本规律 以斜向上抛为例说明，如图 4－2－2 所示。 图 4－2－2 (1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F 合 x＝0。 (2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F 合 y＝mg。 因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运
[试一试] 2.物体以速度v抛出做斜抛运动,则() A.在任何相等的时间内速度的变化量是相同的 B.可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 C.射高和射程都取决于c的大小 D.很大,射高和射程可能很小 解析:选AD斜抛运动整个过程中加速度恒为g,为匀变速运动,故相等时间内速度 变化量一定相同,A正确;由斜抛运动的两分运动特点知B选项错误;射高与射程不仅取 决于ω的大小,还取决于抛出速度w与水平方向的夹角大小,故C选项错误,D选项正确。 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 YAO TONGGUAN 平抛运动规律的应用 1.飞行时间 r=,飞行时间取决于下落高度h,与初速度a无关 2.水平射程 x=70t=70 即水平射程由初速度v和下落高度h共同决定,与其他因素无关 3.落地速度 图4-2-3 U=2+2=Vox2+2gh,以O表示落地时速度与x轴正方向间的夹角,有 ,所以落地速度也只与初速度U和下落高度h有关。 4.速度改变量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间 间隔M内的速度改变量△=gM相同,方向恒为竖直向下,如图4-2-3所示
3 动。 [试一试] 2．物体以速度 v0 抛出做斜抛运动，则( ) A．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的 B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 C．射高和射程都取决于 v0 的大小 D．v0 很大，射高和射程可能很小 解析：选 AD 斜抛运动整个过程中加速度恒为 g，为匀变速运动，故相等时间内速度 变化量一定相同，A 正确；由斜抛运动的两分运动特点知 B 选项错误；射高与射程不仅取 决于 v0 的大小，还取决于抛出速度 v0 与水平方向的夹角大小，故 C 选项错误，D 选项正确。 平抛运动规律的应用 1.飞行时间 t＝ 2h g ，飞行时间取决于下落高度 h，与初速度 v0 无关。 2．水平射程 x＝v0t＝v0 2h g ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关。 3．落地速度 图 4－2－3 v＝ v 2 x ＋v 2 y ＝ v 2 0 ＋2gh，以 θ 表示落地时速度与 x 轴正方向间的夹角，有 tan θ＝ vy vx ＝ 2gh v0 ，所以落地速度也只与初速度 v0 和下落高度 h 有关。 4．速度改变量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间 间隔 Δt 内的速度改变量 Δv＝gΔt 相同，方向恒为竖直向下，如图 4－2－3 所示
5.两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平 位移的中点,如图4-2-4甲中A点和B点所示 图4-2-4 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处,设其速度方向与水平方向的夹 角为O,位移与水平方向的夹角为a,则tanb=2tana。如图乙所示 「例1](2012新课标全国卷)如图4-2-5,x轴在水平地面内,y轴沿竖直方向。图中 画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹,其中b和c是从同一点 抛出的。不计空气阻力,则() A.a的飞行时间比b的长 B.b和c的飞行时间相同 C.a的水平速度比b的小 D.b的初速度比c的大 审题指导] (1)明确平抛运动的物体运动时间的决定因素 (2)水平位移与初速度和下落时间的决定关系。 尝试解题] 抛体运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动,由h=g2可知,飞行时间由高度决 定,hb=h>ha,故b与c的飞行时间相同,均大于a的飞行时间,A错,B对;由图可知a、 b的水平位移满足x>xb,由于飞行时间b>L,根据x=得>cbC错;同理可得ob> D对 答案]BD 规律总结
4 5．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平 位移的中点，如图 4－2－4 甲中 A 点和 B 点所示。 图 4－2－4 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹 角为 θ，位移与水平方向的夹角为 α，则 tan θ＝2tan α。如图乙所示。 [例 1] (2012·新课标全国卷)如图 4－2－5，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。图中 画出了从 y 轴上沿 x 轴正向抛出的三个小球 a、b 和 c 的运动轨迹，其中 b 和 c 是从同一点 抛出的。不计空气阻力，则( ) 图 4－2－5 A．a 的飞行时间比 b 的长 B．b 和 c 的飞行时间相同 C．a 的水平速度比 b 的小 D．b 的初速度比 c 的大 [审题指导] (1)明确平抛运动的物体运动时间的决定因素。 (2)水平位移与初速度和下落时间的决定关系。 [尝试解题] 抛体运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由 h＝ 1 2 gt2 可知，飞行时间由高度决 定，hb＝hc>ha，故 b 与 c 的飞行时间相同，均大于 a 的飞行时间，A 错，B 对；由图可知 a、 b 的水平位移满足 xa>xb，由于飞行时间 tb>ta，根据 x＝v0t 得 v0a>v0b，C 错；同理可得 v0b>v0c， D 对。 [答案] BD
(1)解答平抛运动问题时,一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解,这样 分解的优点是不用分解初速度,也不用分解加速度 (2)分析平抛运动时,要充分利用平抛运动中的两个矢量三角形找各量的关系。 类平抛运动问题分析 1类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直 2.类平抛运动的运动特点 在初速度方向做匀速直线运动,在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动,加 速度a=分 3.类平抛运动问题的求解思路 求出物体运 根据物体受力特点和运动特点判断该间题属于类平抛运动问恩一动的加速度 根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求 「例2]在光滑的水平面内,一质量m=1kg的质点以速度v=10m/s沿x轴正方向运 动,经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F=15N作用,直线OA与x轴成a= 37°,如图4-2-6所示曲线为质点的轨迹图(g取10m/s,sin37°=06,cos37°=0.8),求: (1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点,质点从O点到P点所经历的时间以及 P点的坐标 (2)质点经过P点时的速度大小。 审题指导] 第一步:抓关键点 关键点 获取信息 以速度ω=10m/s沿x轴正方向运动质点经过O点后所做运动的初速度 沿y轴正方向恒力F=15N 沿y轴做初速度为零的匀加速直线运动 第二步:找突破口 要求质点从O点到P点的时间可分析沿+x方向和+y方向的分运动位移,利用tana
5 (1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样 分解的优点是不用分解初速度，也不用分解加速度。 (2)分析平抛运动时，要充分利用平抛运动中的两个矢量三角形找各量的关系。 类平抛运动问题分析 1.类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．类平抛运动的运动特点 在初速度 v0 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加 速度 a＝ F合 m 。 3．类平抛运动问题的求解思路 根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题 → 求出物体运 动的加速度 → 根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解 [例 2] 在光滑的水平面内，一质量 m＝1 kg 的质点以速度 v0＝10 m/s 沿 x 轴正方向运 动，经过原点后受一沿 y 轴正方向(竖直方向)的恒力 F＝15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成 α＝ 37°，如图 4－2－6 所示曲线为质点的轨迹图(g 取 10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： 图 4－2－6 (1)如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点，质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及 P 点的坐标； (2) 质点经过 P 点时的速度大小。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 以速度 v0＝10 m/s 沿 x 轴正方向运动 质点经过 O 点后所做运动的初速度 沿 y 轴正方向恒力 F＝15 N 沿 y 轴做初速度为零的匀加速直线运动 第二步：找突破口 要求质点从 O 点到 P 点的时间可分析沿＋x 方向和＋y 方向的分运动位移，利用 tan α
y 列方程即可 [尝试解题 (1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动竖直方向受恒力F和重力mg作用做 匀加速直线运动。 由牛顿第二定律得 F-mg15-10 m/s2=5m/s2。 设质点从O点到P点经历的时间为t,P点坐标为(xP,y), 则x=ot,yp=ar2 又 联立解得:【=3s,x=30m,y=2.5m。 (2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度 U,=at= 15 m/s 故P点的速度大小 Dp=V002+D,=5\13 m/so 「答案](1)3sxP=30m,y=225m(2)5√l3m/s 规律总结 类平抛运动的两种求解技巧 (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方 向即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时 性 (2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度分解 为ax、a,初速度υ分解为n、Uy,然后分别在x、y方向列方程求解 学科特色要控掘 补短板 得满分 掌握程度 6
6 ＝ y x 列方程即可。 [尝试解题] (1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力 F 和重力 mg 作用做 匀加速直线运动。 由牛顿第二定律得： a＝ F－mg m ＝ 15－10 1 m/s2＝5 m/s 2。 设质点从 O 点到 P 点经历的时间为 t，P 点坐标为(xP，yP)， 则 xP＝v0t，yP＝ 1 2 at2 又 tan α＝ yP xP 联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m。 (2)质点经过 P 点时沿 y 轴正方向的速度 vy＝at＝15 m/s 故 P 点的速度大小 vP＝ v 2 0 ＋v 2 y ＝5 13 m/s。 [答案] (1)3 s xP＝30 m，yP＝22.5 m (2)5 13 m/s 类平抛运动的两种求解技巧 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方 向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时 性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解 为 ax、ay，初速度 v0 分解为 vx、vy，然后分别在 x、y 方向列方程求解
同类问题模型化系列之(四) 平抛与斜面模型 模型概述] 平抛运动与斜面相结合的模型,其特点是做平抛运动 的物体落在斜面上,包括两种情况: (1)物体从空中抛出落在斜面上: (2)从斜面上抛出落在斜面上。 在解答该类问题时,除要运用平抛运动的位移和速度规律 外,还要充分利用斜面倾角,找出斜面倾角同位移和速度 关系,从而使问题得到顺利解决。 实例 方法 内容 总结 斜面 求小球平抛时间 水平a 分解速 分解竖直,=g 图, yg'|度,构建 度|合速度U 故1=gan0 速度三角 形 水平x=0ot 分解位 分解竖直y=g2 岁|如图,x=m,y=,而移,构建 位移合位移x合 m0=.联立得=2m位移三角 形 [典例滑雪比赛惊险刺激,如图4-2-7所示,一名跳台滑雪运动员经过一段加速 滑行后从O点水平飞出,经过30s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与 水平面的夹角0=37°,运动员的质量m=50kg。不计空气阻力。(取sin37°=0.60,cos37° =0.80;:g取10m/s2)求 图4-2-7
7 方法 内容 实例 总结 斜面 求小球平抛时间 分解 速度 水平 vx＝v0 竖直 vy＝gt 合速度 v＝ v 2 x ＋v 2 y 如图，vy＝gt，tan θ＝ v0 vy ＝ v0 gt ， 故 t＝ v0 gtan θ 分解速 度，构建 速度三角 形 分解 位移 水平 x＝v0t 竖直 y＝ 1 2 gt2 合位移 x 合＝ x 2＋y 2 如图，x＝v0t，y＝ 1 2 gt2，而 tan θ＝ y x ，联立得 t＝ 2v0tan θ g 分解位 移，构建 位移三角 形 [典例] 滑雪比赛惊险刺激，如图 4－2－7 所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速 滑行后从 O 点水平飞出，经过 3.0 s 落到斜坡上的 A 点。已知 O 点是斜坡的起点，斜坡与 水平面的夹角 θ＝37 °，运动员的质量 m＝50 kg。不计空气阻力。(取 sin 37°＝0.60，cos 37° ＝0.80；g 取 10 m/s2 )求： 图 4－2－7 [模型概述] 平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动 的物体落在斜面上，包括两种情况： (1)物体从空中抛出落在斜面上； (2)从斜面上抛出落在斜面上。 在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律 外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度 的关系，从而使问题得到顺利解决
(1)A点与O点的距离L。 (2)运动员离开O点时的速度大小。 (3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。 [解析](1)运动员在竖直方向做自由落体运动 有n37=22,L=2 (2)设运动员离开O点时的速度为,运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动 有Lcos37°=ot Lcos37° =20m/s (3)法一:运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动初速度为cos37、加 速度为gsin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动初速度为osin37°、加速度为gcos37) 当垂直斜面方向的速度减为零时,运动员离斜坡距离最远,有osin37°=gcos37°1,解 得t=1.5s 法二:当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°时,运动员与斜坡距离最远, 有=tan37°,t=1.5s 答案](1)75m(2)20m/s(3)1.5s 题后悟道 (1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题,一般要从位移角度找关系,该类问题可有 两种分解方法:一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动:二是沿斜面方向的 匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动 (2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题,一般要从速度方向角度找关系 ∥针时训练∥ 水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图 4-2-8中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( 图4-2-8 A. tan 0 B. tan 6
8 (1)A 点与 O 点的距离 L。 (2)运动员离开 O 点时的速度大小。 (3)运动员从 O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。 [解析] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动， 有 Lsin 37°＝ 1 2 gt2，L＝ gt2 2sin 37°＝75 m。 (2)设运动员离开 O 点时的速度为 v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动， 有 Lcos 37°＝v0t， 即 v0＝ Lcos 37° t ＝20 m/s。 (3)法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为 v0cos 37°、加 速度为 gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为 v0sin 37°、加速度为 gcos 37°)。 当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡距离最远，有 v0sin 37°＝gcos 37°·t，解 得 t＝1.5 s。 法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成 37°时，运动员与斜坡距离最远， 有 gt v0 ＝tan 37°，t＝1.5 s。 [答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s [题后悟道] (1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有 两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的 匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动。 (2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系。 一水平抛出的小球落到一倾角为 θ 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 4－2－8 中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( ) 图 4－2－8 A．tan θ B．2tan θ C. 1 tan θ D. 1 2tan θ
解析:选D小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位 移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上速度方向与斜面垂直,故速度方向与水平方向 夹角为-θ,由平抛运动结论:平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平 方向夹角正切值的2倍,可知:小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为 tan 6 D项正确
9 解析：选 D 小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位 移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向 夹角为π 2 －θ，由平抛运动结论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平 方向夹角正切值的 2 倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为1 2 tan( π 2 －θ)＝ 1 2tan θ ，D 项正确