第3单元 圆周运动 必备知识要打牢 抓双基 固本源 F握程度 IBEL ZHISHI YAO DALAO 知识点一 描述圆周运动的物理量及相互关系 「想一想] 甲、乙两物体都做匀速圆周运动,且r甲>r乙,试比较以下几种情况下甲、乙两物体的 向心加速度大小。 ①线速度相等②角速度相等③周期相等 提示:由a==6,,可知,线速度相等时,a甲(2,角速度和周期相等,均有 a甲>a乙。 [记一记] 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等, 现比较如下表 定义、意义 公式、单位 ①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理 ①o=A=2 线速度量() △tT ②是矢量,方向和半径垂直,和圆周相切②单位:m△ ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(o)|①o 角速度 ②中学不研究其方向 ②单位:rads ①T==;单位:s ①周期是物体沿圆周运动一圈的时间( 周期和转 ②n的单位r/s、r/min ②转速是物体在单位时间内转过的圈数(n), ③∫的单位:B 也叫频率(0 向心加速①描述速度方向变化快慢的物理量(an) 度②方向指向圆心 ②单位:m/s2
1 第 3 单元 圆_周_运_动 描述圆周运动的物理量及相互关系 [想一想] 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，且 r 甲>r 乙，试比较以下几种情况下甲、乙两物体的 向心加速度大小。 ①线速度相等 ②角速度相等 ③周期相等 提示：由 a＝ v 2 r ＝ω 2 r＝ 4π 2 T 2 ·r 可知，线速度相等时，a 甲a 乙。 [记一记] 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等， 现比较如下表： 定义、意义 公式、单位 线速度 ①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理 量(v) ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v＝ Δs Δt ＝ 2πr T ②单位：m/s 角速度 ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) ②中学不研究其方向 ①ω＝ Δθ Δt ＝ 2π T ②单位：rad/s 周期和转 速 ①周期是物体沿圆周运动一圈的时间(T) ②转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)， 也叫频率(f) ①T＝ 2πr v ；单位：s ②n 的单位 r/s、r/min ③f 的单位：Hz f＝ 1 T 向心加速 度 ①描述速度方向变化快慢的物理量(an) ②方向指向圆心 ①an＝ v 2 r ＝ω 2 r ②单位：m/s2
①作用效果是产生向心加速度,只改变线速 ①Fn=m己少 向心力度的方向,不改变线速度的大小 ②方向指向圆心 ②单位:N ①=r=T tRf 相互关系②a=2=m=002 4r ③Fn=m moU=m4π [试一试] 1.关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是() A.由a=一知,a与r成反比 B.由a=m2r知,a与r成正比 由ω=-知,o与r成反比 D.由c=2mn知,与转速n成正比 解析:选D由a=一知,只有在U一定时,a才与r成反比,如果不一定,则a与r 不成反比,同理,只有当一定时,a才与r成正比:一定时,o与r成反比:因2是定 值,故ω与n成正比,D正确。 知识点三 匀速圆周运动和非匀速圆周运动 想一想 在圆周运动中,向心力一定指向圆心吗?合外力一定指向圆心吗? 提示:无论匀速圆周运动,还是非匀速圆周运动,向心力一定指向圆心,匀速圆周运动 的合外力提供向心力,一定指向圆心,非匀速圆周运动的合外力不一定指向圆心 记一记 1.匀速圆周运动 (1)定义:物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,这种运动叫做匀速圆周运 (2)性质:向心加速度大小不变,方向总是指向圆心的变加速曲线运动。 (3)质点做匀速圆周运动的条件 合力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心
2 向心力 ①作用效果是产生向心加速度，只改变线速 度的方向，不改变线速度的大小 ②方向指向圆心 ①Fn＝mω 2 r＝m v 2 r ＝m 4π 2 T 2 r ②单位：N 相互关系 ①v＝rω＝ 2πr T ＝2πrf ②an＝ v 2 r ＝rω2＝ωv＝ 4π2 r T 2 ＝4π2 f 2 r ③Fn＝m v 2 r ＝mrω2＝m 4π2 r T 2 ＝mωv＝m4π2 f 2 r [试一试] 1．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是( ) A．由 a＝ v 2 r 知，a 与 r 成反比 B．由 a＝ω 2 r 知，a 与 r 成正比 C．由 ω＝ v r 知，ω 与 r 成反比 D．由 ω＝2πn 知， ω 与转速 n 成正比 解析：选 D 由 a＝ v 2 r 知，只有在 v 一定时，a 才与 r 成反比，如果 v 不一定，则 a 与 r 不成反比，同理，只有当 ω 一定时，a 才与 r 成正比；v 一定时，ω 与 r 成反比；因 2π 是定 值，故 ω 与 n 成正比，D 正确。 匀速圆周运动和非匀速圆周运动 [想一想] 在圆周运动中，向心力一定指向圆心吗？合外力一定指向圆心吗？ 提示：无论匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力一定指向圆心，匀速圆周运动 的合外力提供向心力，一定指向圆心，非匀速圆周运动的合外力不一定指向圆心。 [记一记] 1．匀速圆周运动 (1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运 动。 (2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。 (3)质点做匀速圆周运动的条件： 合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心
2.非匀速圆周运动 (1)定义:线速度大小、方向均发生变化的圆周运动 (2)合力的作用 ①合力沿速度方向的分量F1产生切向加速度,Ft=ma,它只改变速度的大小 ②合力沿半径方向的分量F产生向心加速度,Fn=mn,它只改变速度的方向。 [试一试] 2.如图4一3-1所示,一小球用细绳悬挂于O点,将其拉离竖直位置一个角度后释放, 则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中小球所需向心力是( B 图4-3-1 绳的拉力 B.重力和绳拉力的合力 C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 解析:选CD分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可,注意作出 正确的受力分析图。如图所示,对小球进行受力分析,它受到重力和绳子的 拉力作用,向心力是指向圆心方向的合力。因此,它可以是小球所受合力沿 绳方向的分力,也可以是各力沿绳方向的分力的合力。 知识点 离心现象 「想一想] 如图4-3-2所示,游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣,当转速逐渐增大时,飞椅会飘得 越来越高,请思考其中的道理 图4-3-2 提示:如图所示为飞椅受力图,由FCos=mg
3 2．非匀速圆周运动 (1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动。 (2)合力的作用： ①合力沿速度方向的分量 Ft 产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。 ②合力沿半径方向的分量 Fn 产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。 [试一试] 2.如图 4－3－1 所示，一小球用细绳悬挂于 O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放， 则小球以 O 点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是( ) 图 4－3－1 A．绳的拉力 B．重力和绳拉力的合力 C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 解析：选 CD 分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出 正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的 拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿 绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。 离心现象 [想一想] 如图 4－3－2 所示，游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣，当转速逐渐增大时，飞椅会飘得 越来越高，请思考其中的道理。 图 4－3－2 提示：如图所示为飞椅受力图，由 Fcos θ＝mg
Fsin 0= mo-Lsin 6 可得:cs0=8 可见,飞椅转速增大时,ω增大,θ增大,飞椅飘得越来越高。 [记一记] 1.离心运动 (1)定义:做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心 力的情况下,所做的逐渐远离圆心的运动 (2)本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向 (3)受力特点 Fmro2 图4-3-3 ①当F=mo2r时,物体做匀速圆周运动 ②当F=0时,物体沿切线方向飞出 ③当Fmo2r,物体将逐渐靠近圆 做近心运动。 [试一试] 3.下列关于离心现象的说法正确的是() A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都消失时,它将做背离圆心的圆周运动 C.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失时,它将沿切线做直线运动 D.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失时,它将做曲线运动 解析:选C物体做匀速圆周运动时,合外力必须满足物体所需要的向心力F=mo2r 若F=0,物体由于惯性而沿切线飞出,若F<mo3r,物体由于惯性而远离囻心,并不是受
4 Fsin θ＝mω2L ·sin θ 可得：cos θ＝ g ω 2L 可见，飞椅转速增大时，ω 增大，θ 增大，飞椅飘得越来越高。 [记一记] 1．离心运动 (1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心 力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 (2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 (3)受力特点： 图 4－3－3 ①当 F＝mω2 r 时，物体做匀速圆周运动； ②当 F＝0 时，物体沿切线方向飞出； ③当 Fmω2 r，物体将逐渐靠近圆 心，做近心运动。 [试一试] 3．下列关于离心现象的说法正确的是( ) A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动 C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动 D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动 解析：选 C 物体做匀速圆周运动时，合外力必须满足物体所需要的向心力 F＝mω2 r。 若 F＝0，物体由于惯性而沿切线飞出，若 F＜mω2 r，物体由于惯性而远离圆心，并不是受
到离心力作用。所以A、B、D均错,C正确 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 传动装置问题 同轴转动 各点共轴转动时,角速度相同,因此周期也相同。由于各点半径不一定相同,线速度、 向心加速度大小一般不同 2.皮带传动 当皮带不打滑时,两轮边缘各点线速度大小相等。由于各点半径不同,角速度、周期 向心加速度等都不相同 3.在传动装置中各物理量的关系 在分析传动装置的物理量时,要抓住不等量和相等量的关系,表现为 (1)同一转轴的各点角速度ω相同,而线速度U=or与半径r成正比,向心加速度大小 a=ro2与半径r成正比。 (2)当皮带不打滑时,传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等,两 皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据0=、a=二确定。 「例1]如图4-3-4所示,一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径m=1.0 cm的摩擦小轮,小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时,因摩擦而带动小轮转动, 从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm,小齿轮的半径R2=40cm,大齿轮 的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n和摩擦小轮的转速n之比。(假定摩擦小轮与自行 车车轮之间无相对滑动) 摩擦小轮 小发电机 大齿轮 图4-3-4 尝试解题] 大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同,两轮边沿各点的线速度大小 相等,由U=2πm可知转速n和半径r成反比;小齿轮和车轮同轴转动,两轮上各点的转速
5 到离心力作用。所以 A、B、D 均错，C 正确。 传动装置问题 1.同轴转动 各点共轴转动时，角速度相同，因此周期也相同。由于各点半径不一定相同，线速度、 向心加速度大小一般不同。 2．皮带传动 当皮带不打滑时，两轮边缘各点线速度大小相等。由于各点半径不同，角速度、周期、 向心加速度等都不相同。 3．在传动装置中各物理量的关系 在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为： (1)同一转轴的各点角速度 ω 相同，而线速度 v＝ωr 与半径 r 成正比，向心加速度大小 a＝rω2 与半径 r 成正比。 (2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两 皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据 ω＝ v r 、a＝ v 2 r 确定。 [例 1] 如图 4－3－4 所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径 r0＝1.0 cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动， 从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径 R1＝35 cm，小齿轮的半径 R2＝4.0 cm，大齿轮 的半径 R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速 n1 和摩擦小轮的转速 n2 之比。(假定摩擦小轮与自行 车车轮之间无相对滑动) 图 4－3－4 [尝试解题] 大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边沿各点的线速度大小 相等，由 v＝2πnr 可知转速 n 和半径 r 成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速
相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为:m:n小=R2:R。车轮与小齿轮之间的转速关系 为:n车=n小。车轮与摩擦小轮之间的关系为:n车:m=:R1。由以上各式可解出大齿轮 和摩擦小轮之间的转速之比为:m:n=2:175 答案]2:175 规律总结l: 解答传动装置问题时,关键是分析传动过程的不变量。 竖直平面内的圆周运动问题 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,该类运动常见两种模型 ——轻绳模型和轻杆模型,分析比较如下: 轻绳模型 轻杆模型 光滑管道 常见类型 圆轨道 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条 由m=m得s=√g 由小球能运动即可得U临=0 件 (1)当乙=0时,FN=mg,FN为支持力, (1)过最高点时,≥r,F沿半径背离圆心 +n8=mr,绳、轨道对球产(2)当0g时,FN+mg=m,FN指 了圆轨道 向圆心并随υ的增大而增大 在最高点的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 例2]长L=0.5m质量可忽略的细杆,其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动, 另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2kg,如图4-3-5所示,求在下列两种情况下, 6
6 相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为：n1∶n 小＝R2∶R3。车轮与小齿轮之间的转速关系 为：n 车＝n 小。车轮与摩擦小轮之间的关系为：n 车∶n2＝r0∶R1。由以上各式可解出大齿轮 和摩擦小轮之间的转速之比为：n1∶n2＝2∶175。 [答案] 2∶175 解答传动装置问题时，关键是分析传动过程的不变量。 竖直平面内的圆周运动问题 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见两种模型 ——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下： 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条 件 由 mg＝m v 2 r 得 v 临＝ gr 由小球能运动即可得 v 临＝0 讨论分析 (1)过最高点时，v≥ gr，FN ＋mg＝m v 2 r ，绳、轨道对球产 生弹力 FN (2)不能过最高点 v＜ gr，在 到达最高点前小球已经脱离 了圆轨道 (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力， 沿半径背离圆心 (2)当 0＜v＜ gr时，－FN＋mg＝m v 2 r ， FN 背向圆心，随 v 的增大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝m v 2 r ，FN 指 向圆心并随 v 的增大而增大 在最高点的 FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 [例 2] 长 L＝0.5 m 质量可忽略的细杆，其一端可绕 O 点在竖直平面内无摩擦地转动， 另一端固定着一个小球 A。A 的质量为 m＝2 kg，如图 4－3－5 所示，求在下列两种情况下
球在最高点时杆对小球的作用力: L (1)4在最低点的速率为2lm/s (2)A在最低点的速率为6m/ 审题指导] (1)小球由最低点到最高点的过程中,机械能守恒。 (2)细杆对小球作用力的方向可竖直向上,也可竖直向下。 [尝试解题] 设小球在最高点速度为U,对小球A由最低点到最高点过程,取圆周的最低点为参考平 面,由机械能守恒定律得,2+mn2L=2m0 在最高点,假设细杆对A的弹力F向下,则A的受力图如图所示 以A为研究对象,由牛顿第二定律得 mg+F 所以F=2 Z·8) (1)当=21ms时,由①式得v=1m/s,④ F=2×(-10) 16N,⑤ 负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反,即杆给A向上16N的支持力 (2)当=6m/s时,由①式得v=4m/s;⑥ F=2×(a-10)N=44N 正值说明杆对A施加的是向下44N的拉力。 「答案](1)16N方向向上(2)44N方向向下 规律总结]: ::
7 球在最高点时杆对小球的作用力： 图 4－3－5 (1)A 在最低点的速率为 21 m/s； (2)A 在最低点的速率为 6 m/s。 [审题指导] (1)小球由最低点到最高点的过程中，机械能守恒。 (2)细杆对小球作用力的方向可竖直向上，也可竖直向下。 [尝试解题] 设小球在最高点速度为 v，对小球 A 由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平 面，由机械能守恒定律得，1 2 mv 2＋mg·2L＝ 1 2 mv 2 0 ① 在最高点，假设细杆对 A 的弹力 F 向下，则 A 的受力图如图所示。 以 A 为研究对象，由牛顿第二定律得 mg＋F＝m v 2 L ② 所以 F＝m( v 2 L －g)③ (1)当 v0＝ 21 m/s 时，由①式得 v＝1 m/s，④ F＝2×( 1 2 0.5－10) N＝－16 N，⑤ 负值说明 F 的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给 A 向上 16 N 的支持力。 (2)当 v0＝6 m/s 时，由①式得 v＝4 m/s；⑥ F＝2×( 4 2 0.5－10) N＝44 N。 正值说明杆对 A 施加的是向下 44 N 的拉力。 [答案] (1)16 N 方向向上 (2)44 N 方向向下
求解竖直平面内圆周运动问题的思路 (1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。 (2)确定临界点:σ=√g,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型 来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点 (3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况 (4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程, (5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 圆周运动中的临界问题 「例3如图4-3-6所示,细绳一端系着质量M=06kg的物体A,静止于水平面 另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体B,A的中点与圆孔距离为0.2m,且A和 水平面间的最大静摩擦力为2N,现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω满足什么条件时, 物体B会处于静止状态?(g=10ms2) [审题指导] 第一步:抓关键点 关键点 获取信息 光滑小孔 细绳各处张力大小相等 最大静摩擦力为2N「物体A刚要滑动时的摩擦力大小为2N 「物体B处于静止状态 细绳中拉力大小为mg=3N 第二步:找突破口 物体A刚好不向里滑和刚好不向外滑,分别对应平面转动的角速度的最小值和最大值 尝试解题] 要使B静止,A应与水平面相对静止,考虑A能与水平面相对静止的两个极限状态: 当ω为所求范围的最小值时,A有向圆心运动的趋势,水平面对A的静摩擦力方向背 离圆心,大小等于最大静摩擦力2N,此时对A有:Fr-Fm=Mor,B静止时受力平衡
8 求解竖直平面内圆周运动问题的思路 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。 (2)确定临界点：v 临＝ gr，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型 来说是 FN 表现为支持力还是拉力的临界点。 (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程， F 合＝F 向。 (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 圆周运动中的临界问题 [例 3] 如图 4－3－6 所示，细绳一端系着质量 M＝0.6 kg 的物体 A，静止于水平面， 另一端通过光滑小孔吊着质量 m＝0.3 kg 的物体 B，A 的中点与圆孔距离为 0.2 m，且 A 和 水平面间的最大静摩擦力为 2 N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 ω 满足什么条件时， 物体 B 会处于静止状态？(g＝10 m/s2 ) 图 4－3－6 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 光滑小孔 细绳各处张力大小相等 最大静摩擦力为 2 N 物体 A 刚要滑动时的摩擦力大小为 2 N 物体 B 处于静止状态 细绳中拉力大小为 mg＝3 N 第二步：找突破口 物体 A 刚好不向里滑和刚好不向外滑，分别对应平面转动的角速度的最小值和最大值。 [尝试解题] 要使 B 静止，A 应与水平面相对静止，考虑 A 能与水平面相对静止的两个极限状态： 当 ω 为所求范围的最小值时，A 有向圆心运动的趋势，水平面对 A 的静摩擦力方向背 离圆心，大小等于最大静摩擦力 2 N，此时对 A 有：FT－Ffm＝Mω2 1r，B 静止时受力平衡
FT=mg=3N,解得o1≈2.9rads 当ω为所求范围的最大值时,A有远离圆心运动的趋势,水平面对A的摩擦力方向指 向圆心,且大小也为2N,此时对A有:FT+Fm=Mor 解得o2≈6.5rads 故o的范围为:29rads≤o≤6.5rad/s 答案]2.9rad/s≤o≤6.5rad/s 规律总结」 处理临界问题的解题步骤 (1)判断临界状态:有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的 过程存在着临界点:若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述 的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态:若题目中有“最大”“最 小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状 (2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现 的条件,并以数学形式表达出来。 (3)选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别对于不同的运 动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后再列方程求解。 学科特色要控掘 补短板 弥不足 得满分 掌握程度 方法技巧专题化”系列之(五) 巧用圆锥摆运动特征比较各运动量间的关系 分析计算圆周运动问题时,常会遇到由重力和弹力(可以是支持力,也可以是绳子的拉 力)的合力提供向心力,而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动。因此, 掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。 下面为两个常用的圆锥摆运动规律: 1.圆锥摆的向心加速度a= gtan a
9 FT＝mg＝3 N，解得 ω1≈2.9 rad/s 当 ω 为所求范围的最大值时，A 有远离圆心运动的趋势，水平面对 A 的摩擦力方向指 向圆心，且大小也为 2 N，此时对 A 有：FT＋Ffm＝Mω2 2r 解得 ω2≈6.5 rad/s 故 ω 的范围为：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s [答案] 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 处理临界问题的解题步骤 (1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的 过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述 的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最 小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过 程存在着极值，这个极值点也往往是临界状 态。 (2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现 的条件，并以数学形式表达出来。 (3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运 动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。 分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉 力)的合力提供向心力，而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动。因此， 掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。 下面为两个常用的圆锥摆运动规律： 1．圆锥摆的向心加速度 α＝gtan α
图 4-3-7 设摆球质量为m,摆线长为L,摆线与竖直方向夹角为a,由图可知,F合= mgtan a 又F合=ma向, 故a 可见摆球的向心加速度完全由a决定,与摆线长无关,即与运动的半径无关。 2.圆锥摆的周期T=2 Lsnaα和F合= mgtan a可推理得圆锥摆的周期T=2r Lcos a 由F 设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h,则h= Lcos 故T= g 由此可见,圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定,与小球的质量、摆线长度 无关 典例如图4-3-8所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定 不动,有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运 动,则下列说法正确的是() A.球A的线速度必定大于球B的线速度 B.球A的角速度必定小于球B的角速度 C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期 D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力 「解析]根据上述规律可知,此题中的A、B两小球实际上是具有相同的向心加速度, 根据a==RG=4可知,加速度相同时,半径越大,线速度越大,角速度越小,周期 越大,即由RA>RB,可知υ>vB,ωκTB,则选项A、B正确,C错误。由于A、B 质量相同,在相同的倾斜面上,则向心力相等,进一步可知两球所受的弹力相等,故可知选 项D错误 答案]AB 题后悟道]比较两个圆周运动的各物理量之间关系时,实际上就是找出两个圆周运动 之间存在的隐含的相同因素,然后用控制变量法即可判断各物理量的关系。而上述两类特殊
10 图 4－3－7 设摆球质量为 m，摆线长为 L，摆线与竖直方向夹角为 α，由图可知，F 合＝mgtan α 又 F 合＝ma 向， 故 a 向＝gtan α 可见摆球的向心加速度完全由 α 决定，与摆线长无关，即与运动的半径无关。 2．圆锥摆的周期 T＝2π h g 由 F 合＝m 4π2 T 2 ·Lsin α 和 F 合＝mgtan α 可推理得圆锥摆的周期 T＝2π Lcos α g 设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为 h，则 h＝Lcos α， 故 T＝2π h g 由此可见，圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定，与小球的质量、摆线长度 无关。 [典例] 如图 4－3－8 所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定 不动，有两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运 动，则下列说法正确的是( ) 图 4－3－8 A．球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B．球 A 的角速度必定小于球 B 的角速度 C．球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D．球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力 [解析] 根据上述规律可知，此题中的 A、B 两小球实际上是具有相同的向心加速度， 根据 a＝ v 2 R ＝Rω2＝ 4π2R T 2 可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期 越大，即由 RA>RB，可知 vA>vB，ωATB，则选项 A、B 正确，C 错误。由于 A、B 质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选 项 D 错误。 [答案] AB [题后悟道] 比较两个圆周运动的各物理量之间关系时，实际上就是找出两个圆周运动 之间存在的隐含的相同因素，然后用控制变量法即可判断各物理量的关系。而上述两类特殊