第32卷第4期 金陵科技学院学报 Vol.32.No.4 2016年12月 JOURNAL OF JINLING INSTITUTE OF TECHNOLOGY Dec.,2016 电磁学中的对称性分析 杨小云 (荆楚理工学院数理学院，湖北荆门448000) 摘要：对称性是现代物理的一个重要概念，在物理学问题的研究中占有重要地位。结合对称性分析在电磁学 中的若干应用举例，判断场源的对称性，从而得到场分布的对称性。阐述了对称性分析的思路和方法，体现了对 称性分析在电磁学中的核心作用。 关键词：场源：对称性：电磁学；电场 中图分类号：0441 文献标志码：A 文章编号：1672-755X(2016)04-0061-05 Symmetry Analysis in Electromagnatics YANG Xiao-yun (Jingchu University of Technology,Jingmen 448000,China) Abstract:Symmetry ia one of the important concept in modern physics and plays an important role in its research.Combined with the symmetry analysis for several applications in eletroma- ganatics,symmetry can be obtained by judging the symmetry of field source.This paper gives a detailed explanation of the ideas and methods of symmetry analysis and reflect the key role of the symmetry analysis in electromagnatics. Key words:field source;symmetry;electromagnetics;electric field 自然界中的对称性现象随处可见。爱因斯坦提出相对论以后，对称性已成为现代物理的一个重要概 念，根据对称性分析可以探讨物理定律的形式)。“场”是电磁学中的一个核心概念，场矢量的分布可由 场源的分布来确定，而场的性质可根据场的通量、环流来描述]。由对称性原理可知，场的分布与场源的 分布具有相同的对称性，在电场中可以直接根据高斯定理求得电场的分布，在磁场中可以直接根据安培环 路定理求得磁场的分布[3-)。 1对称性电场 1.1球对称场 电场源包含点电荷、均匀带电球面、均匀带电球体等，它们均具有球对称性。根据对称性分析，它们产 生的电场也具有球对称性，所以场中任一点的电场强度沿着径向，即E=E,,与球心等距离的所有点电 场强度大小相等。选取与场源同心的球面S为高斯面，如图1a所示。根据高斯定理，则有 中E·d=E,4xr2=9内，E=,9内 4πeor2 1)点电荷q 4πeor(g内-g) E= 收稿日期：2016-06-21 作者简介：杨小云(1978一)，女，湖北荆门人，讲师，硕士，主要从事物理学、光学方面的研究
第32卷 第4期 2016年12月 金 陵 科 技 学 院 学 报 JOURNALOFJINLINGINSTITUTEOFTECHNOLOGY Vol.32,No.4 Dec.,2016 电磁学中的对称性分析 杨小云 (荆楚理工学院数理学院,湖北 荆门 448000) 摘 要:对称性是现代物理的一个重要概念,在物理学问题的研究中占有重要地位。结合对称性分析在电磁学 中的若干应用举例,判断场源的对称性,从而得到场分布的对称性。阐述了对称性分析的思路和方法,体现了对 称性分析在电磁学中的核心作用。 关键词:场源;对称性;电磁学;电场 中图分类号:O441 文献标志码:A 文章编号:1672 755X(2016)04 0061 05 收稿日期:2016 06 21 作者简介:杨小云(1978—),女,湖北荆门人,讲师,硕士,主要从事物理学、光学方面的研究。 SymmetryAnalysisinElectromagnatics YANGXiao-yun (JingchuUniversityofTechnology,Jingmen448000,China) Abstract:Symmetryiaoneoftheimportantconceptinmodernphysicsandplaysanimportant roleinitsresearch.Combinedwiththesymmetryanalysisforseveralapplicationsineletromaganatics,symmetrycanbeobtainedbyjudgingthesymmetryoffieldsource.Thispapergives adetailedexplanationoftheideasandmethodsofsymmetryanalysisandreflectthekeyroleof thesymmetryanalysisinelectromagnatics. Keywords:fieldsource;symmetry;electromagnetics;electricfield 自然界中的对称性现象随处可见。爱因斯坦提出相对论以后,对称性已成为现代物理的一个重要概 念,根据对称性分析可以探讨物理定律的形式[1]。“场”是电磁学中的一个核心概念,场矢量的分布可由 场源的分布来确定,而场的性质可根据场的通量、环流来描述[2]。由对称性原理可知,场的分布与场源的 分布具有相同的对称性,在电场中可以直接根据高斯定理求得电场的分布,在磁场中可以直接根据安培环 路定理求得磁场的分布[3 6]。 1 对称性电场 1.1 球对称场 电场源包含点电荷、均匀带电球面、均匀带电球体等,它们均具有球对称性。根据对称性分析,它们产 生的电场也具有球对称性,所以场中任一点的电场强度沿着径向,即E → =Ee → r ,与球心等距离的所有点电 场强度大小相等。选取与场源同心的球面S 为高斯面,如图1a所示。根据高斯定理,则有 ∮s E·ds → =E·4πr2 = q内 ε0 ,E = q内 4πε0r2 1)点电荷q E = q 4πε0r2(q内 =q)
62 金陵科技学院学报 第32卷 2)半径为R,带电量为q的均匀带电球面 0 rR(g内=g) 3)内外半径分别为R,和Rz,电量为q的均匀带电球壳(R,R2 (q内=q） 4)两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷q:和q:（R1R2 4πeor2 (9内=91十92） 5)半径为R,电量为q的均匀带电球体 gr 4πEoR rR (q冉=q） 1.2轴对称场 电场源主要包括无限长均匀带电直线、无限长均匀带电圆柱面、无限长均匀带电圆柱体等，它们均具 有轴对称性。根据对称性分析，它们产生的电场也具有轴对称性，所以其E沿垂直于轴线的位矢方向，而 且在离轴线距离相等的各点电场强度相等。选取半径为r,高为的同轴闭合圆柱面S为高斯面，如图 1b所示。根据高斯定理，则有 E.ds =E.2xrh =9u,E= 9内 2πeorh 1)电荷线密度为入的无限长均匀带电直线 入 E二2xEot (q内=入h) 2)电荷面密度为。，半径为R的无限长均匀带电圆柱面 0 rR (q内=o·2πRh) Eor 3)半径为R,电荷体密度为ρ的无限长均匀带电圆柱体 or rR (9内=p·xR2h) 4)两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R,和R2(R,R2 (q内=0)
金 陵 科 技 学 院 学 报 第32卷 2)半径为R ,带电量为q 的均匀带电球面 E = 0 r R (q内 =q) ì î í ïï ïï 3)内外半径分别为R1 和R2,电量为q 的均匀带电球壳(R1 R2 (q内 =q) ì î í ï ï ï ï ï ï 4)两个同心球面的半径分别为R1 和R2,各自带有电荷q1 和q2(R1 R2 (q内 =q1 +q2) ì î í ï ï ï ï ï ï 5)半径为R,电量为q 的均匀带电球体 E = qr 4πε0R3 r R (q内 =q) ì î í ï ï ï ï 1.2 轴对称场 电场源主要包括无限长均匀带电直线、无限长均匀带电圆柱面、无限长均匀带电圆柱体等,它们均具 有轴对称性。根据对称性分析,它们产生的电场也具有轴对称性,所以其E 沿垂直于轴线的位矢方向,而 且在离轴线距离相等的各点电场强度相等。选取半径为r ,高为h 的同轴闭合圆柱面S 为高斯面,如图 1b所示。根据高斯定理,则有 ∮s E →·ds → =E·2πrh= q内 ε0 ,E = q内 2πε0rh 1)电荷线密度为λ 的无限长均匀带电直线 E = λ 2πε0r (q内 =λh ) 2)电荷面密度为σ,半径为R 的无限长均匀带电圆柱面 E = 0 r R (q内 =σ·2πRh) ì î í ïï ïï 3)半径为R,电荷体密度为ρ 的无限长均匀带电圆柱体 E = ρr 2ε0 r R (q内 =ρ·πR2h) ì î í ï ï ï ï 4)两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1 和R2(R1 R2 (q内 =0) ì î í ï ïï ï ï 62
第4期 杨小云：电磁学中的对称性分析 63 1.3面对称场 电场源包含无限大均匀带电平面、无限大均匀带电平板等，它们均具有面对称性。根据对称性分析， 它们产生的电场也具有面对称性，故各处的E均与带电平面或平板垂直。选取高斯面S,如图1c所示。 根据高斯定理，则有 2EA-E-20 9内 E0 1)电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面 E=是 2)电荷体密度为p,厚度为d的无限大均匀带电平板，如图1d所示。 Pz Eo () 3)两个带等量异号电荷的无限大均匀带电平面，电荷面密度均为σ E=10 (两带电平面之外) G/EO (两带电平面之间) o平面 0. (a)球对称场 b)轴对称场 (⊙面对称场 (d仙无限大均匀带电平板 图1用高斯定理求对称电场的分布 Fig.1 The distribution of symmetric electric field is obtained by Gauss theorem 2对称性磁场 2.1轴对称场 磁场源包含无限长均匀载流直导线、无限长均匀载流圆柱面、无限长均匀载流圆柱体等，它们均具有 轴对称性。根据对称性分析，它们产生的磁场也具有轴对称性。以轴线上的一点为圆心，半径相等的圆周 上各点的磁感强度B大小相等，方向沿圆周的切线方向（与电流方向构成右手螺旋关系）。选取积分回路 L,如图2a所示。根据安培环路定理，则有 中B·i=B·2r=4o1两，B=1m 2πr 1)电流为I的无限长均匀载流直导线 B=tol 2πr 2)半径为R,电流为I的无限长均匀载流圆柱面 6 (rR) 2πr 3)半径为R,电流为I的无限长均匀载流圆柱体
第4期 杨小云:电磁学中的对称性分析 1.3 面对称场 电场源包含无限大均匀带电平面、无限大均匀带电平板等,它们均具有面对称性。根据对称性分析, 它们产生的电场也具有面对称性,故各处的E 均与带电平面或平板垂直。选取高斯面S ,如图1c所示。 根据高斯定理,则有 ∮s E →·ds → =2EA = q内 ε0 ,E = q内 2ε0A 1)电荷面密度为σ 的无限大均匀带电平面 E = σ 2ε0 2)电荷体密度为ρ ,厚度为d 的无限大均匀带电平板,如图1d所示。 E = ρz ε0 z d 2 æ è ç ö ø ÷ ì î í ï ï ï ï 3)两个带等量异号电荷的无限大均匀带电平面,电荷面密度均为σ E = 0 (两带电平面之外) {σ/ε0 (两带电平面之间) 图1 用高斯定理求对称电场的分布 Fig.1 ThedistributionofsymmetricelectricfieldisobtainedbyGausstheorem 2 对称性磁场 2.1 轴对称场 磁场源包含无限长均匀载流直导线、无限长均匀载流圆柱面、无限长均匀载流圆柱体等,它们均具有 轴对称性。根据对称性分析,它们产生的磁场也具有轴对称性。以轴线上的一点为圆心,半径相等的圆周 上各点的磁感强度B 大小相等,方向沿圆周的切线方向(与电流方向构成右手螺旋关系)。选取积分回路 L ,如图2a所示。根据安培环路定理,则有 ∮L B →·dl → =B·2πr=μ0I内 ,B = μ0I内 2πr 1)电流为I 的无限长均匀载流直导线 B = μ0I 2πr 2)半径为R,电流为I 的无限长均匀载流圆柱面 B = 0 (r R) ì î í ïï ïï 3)半径为R,电流为I 的无限长均匀载流圆柱体 63
64 金陵科技学院学报 第32卷 [poIr |2πR (rR) 2πr 4)一半径为R,的无限长圆柱体，外面罩有半径为Rz的无限长同轴圆柱面，它们均匀地通有相等且 流向相反的电流I uoIr 2πR rR2 5)内外圆简中的电流均为I,但流向相反的无限长同轴电缆，如图2c所示。 (poIr 2nR rR3 2.2面对称场 磁场源包含无限大均匀载流平面、无限大均匀载流平板以及它们的组合等，它们均具有面对称性。根 据对称性分析，它们产生的磁场也具有面对称性，其磁场方向与载流平面或平板平行，与载流平面或平板 上的电流方向成右手螺旋关系。选取积分回路，如图2b所示。根据安培环路定理，则有 ∮官.i=B·2b=o1附B=1m 26 1)电流面密度为i的无限大均匀载流平面 B-1 Moi 2)厚度为d,电流密度为j的无限大均匀载流平板，如图2d所示。 Hojx 1号 3)电流面密度均为i,但流向相反的两无限大均匀平行载流平面 B=foi (两载流平面之间) 10 (两载流平面之外) 载流平面 a)轴对称场 )面对称场 c)无限长同轴电缆 (④无限大均匀载流平板 图2用安培环路定理求对称磁场的分布 Fig.2 The distribution of symmetric magnetic field is obtained by Ampere loop theorem
金 陵 科 技 学 院 学 报 第32卷 B = μ0Ir 2πR2 (r R) ì î í ï ï ï ï 4)一半径为R1 的无限长圆柱体,外面罩有半径为R2 的无限长同轴圆柱面,它们均匀地通有相等且 流向相反的电流I B = μ0Ir 2πR2 1 r R2 ì î í ï ï ï ï ï ï 5)内外圆筒中的电流均为I,但流向相反的无限长同轴电缆,如图2c所示。 B = μ0Ir 2πR2 1 r R3 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 2.2 面对称场 磁场源包含无限大均匀载流平面、无限大均匀载流平板以及它们的组合等,它们均具有面对称性。根 据对称性分析,它们产生的磁场也具有面对称性,其磁场方向与载流平面或平板平行,与载流平面或平板 上的电流方向成右手螺旋关系。选取积分回路,如图2b所示。根据安培环路定理,则有 ∮L B →·dl → =B·2b=μ0I内 ,B = μ0I内 2b 1)电流面密度为i的无限大均匀载流平面 B = 1 2 μ0i 2)厚度为d ,电流密度为j的无限大均匀载流平板,如图2d所示。 B = μ0jx x d 2 ì î í ï ï ï ï 3)电流面密度均为i,但流向相反的两无限大均匀平行载流平面 B = μ0i (两载流平面之间) {0 (两载流平面之外) 图2 用安培环路定理求对称磁场的分布 Fig.2 ThedistributionofsymmetricmagneticfieldisobtainedbyAmperelooptheorem 64
第4期 杨小云：电磁学中的对称性分析 8 3结语 纵观电磁学的整个理论体系，在分析具有对称分布的电荷和电流的问题中，应合理地进行对称性分 析。理论的运用可使分析过程变得更清晰明了，有助于对电磁学基本原理的理解和应用。因此，在电磁学 分析中，应有意识地把握这种对称性，从对称性的角度思考问题。 参考文献： [1]陈熙谋，赵凯华.电磁学教学中对称性分析的积极意义[J门大学物理，2005,24(4)：3-5 [2]梁灿彬，秦光戎，粱竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，2001 [3]肖志俊.对称性原理在电磁学中的应用[J].软件，2012,33(4)：120-122 [4]丁朝华，李永藤.浅析对称性分析法在电磁学中的应用[J门.内蒙古民族大学学报，2012,27(5)：508-510 [5]李凤敏.电场及磁场的对称性分析[J门.天津职业技术师范大学学报，2011,21(3)：47-49 [6]梁雄，赖国忠.对称性在电磁场方向判断中的应用[J门.物理通报，2016(4)：25-26 (责任编辑：谭彩霞) (上接第60页) 充分性。由(M1,M2)M是(P1,Pz)的一个有限生成子模，易知M1,P,是有限生成R-模。根据 参考文献[1]中的定理3.1可知P,是投射的。由a.知M1是P,的纯子模。注意到M1和P1都是有限生 成的。所以M1是P1的直和项。由此可得M1是投射R一模。根据定理2.2可知(M1,M,)M是投射左 T一模。证毕。 本文主要在特定的F环上讨论了有限生成投射模的有限生成子模何时是投射的。所得结论丰富了 同调代数中相关部分的内容。 参考文献： [1]Haghany A.Varadarajan K.Study of modules over formal matrix rings[J].J.Pure Appl.A.,2000.147(1):41-58 [2]Lan Y.Lectures on modules and rings[M].New York:Springer-Verlag,1999 [3]Rotman J.An introduction to homological algebra[M].New York:Academic Press.1979 [4]Jain S.Flat and FP-injeetivity[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1973,41:437-442 [5]Colby R.Rings which have flat injective modules[J].J.Algebra,1975,35(2):239-252 [6]Ding N Q.Coherent rings with finite self-FP-injective dimension[J].Comm.Algebra.1996,24(9):2963-2980 [7]Mahdou N.Tamekkante M.Yassemi S.On (strongly)gorenstein von neumann regular rings[J].Comm.Algebra, 2014,39:3242-3252 [8]Gao Z H.On strongly gorenstein FP-injecitve modules[J].Comm.Algebra,2013,41:3035-3044 [9]汪建.关于R-Mittag-Leff1er模的注记[J].金陵科技学院学报，2013,29(2)：4-7 [10]汪建.IF环和F-Mittag-Leffler模[J].金陵科技学院学报，2015,31(4)：49-52 [11]Enochs E,Jenda G.Relative homological algebra[M].Berlin-New York:Walter de G-ruyter,2000:81-82 (责任编辑：湛江)
第4期 杨小云:电磁学中的对称性分析 3 结 语 纵观电磁学的整个理论体系,在分析具有对称分布的电荷和电流的问题中,应合理地进行对称性分 析。理论的运用可使分析过程变得更清晰明了,有助于对电磁学基本原理的理解和应用。因此,在电磁学 分析中,应有意识地把握这种对称性,从对称性的角度思考问题。 参考文献: [1]陈煕谋,赵凯华.电磁学教学中对称性分析的积极意义[J].大学物理,2005,24(4):3 5 [2]梁灿彬,秦光戎,粱竹健.电磁学[M].北京:高等教育出版社,2001 [3]肖志俊.对称性原理在电磁学中的应用[J].软件,2012,33(4):120 122 [4]丁朝华,李永藤.浅析对称性分析法在电磁学中的应用[J].内蒙古民族大学学报,2012,27(5):508 510 [5]李凤敏.电场及磁场的对称性分析[J].天津职业技术师范大学学报,2011,21(3):47 49 [6]梁雄,赖国忠.对称性在电磁场方向判断中的应用[J].物理通报,2016(4):25 26 (责任编辑:谭彩霞) (上接第60页) 充分性。由 (M1,M2 ) φM 是 (P1,P2 ) φP 的一个有限生成子模,易知M1,P1 是有限生成R 模。根据 参考文献[1]中的定理3.1可知P1 是投射的。由a.知 M1 是P1 的纯子模。注意到 M1 和P1 都是有限生 成的。所以 M1 是P1 的直和项。由此可得 M1 是投射R 模。根据定理2.2可知 (M1,M2 ) φM 是投射左 T 模。证毕。 本文主要在特定的IF环上讨论了有限生成投射模的有限生成子模何时是投射的。所得结论丰富了 同调代数中相关部分的内容。 参考文献: [1]HaghanyA,VaradarajanK.Studyofmodulesoverformalmatrixrings[J].J.PureAppl.A.,2000,147(1):41 58 [2]LanY.Lecturesonmodulesandrings[M].NewYork:Springer-Verlag,1999 [3]RotmanJ.Anintroductiontohomologicalalgebra[M].NewYork:AcademicPress,1979 [4]JainS.FlatandFP-injectivity[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1973,41:437 442 [5]ColbyR.Ringswhichhaveflatinjectivemodules[J].J.Algebra,1975,35(2):239 252 [6]DingN Q.Coherentringswithfiniteself-FP-injectivedimension[J].Comm.Algebra,1996,24(9):2963 2980 [7]MahdouN,Tamekkante M,YassemiS.On (strongly)gorensteinvonneumannregularrings[J].Comm.Algebra, 2014,39:3242 3252 [8]GaoZH.OnstronglygorensteinFP-injecitvemodules[J].Comm.Algebra,2013,41:3035 3044 [9]汪建.关于R-Mittag-Leffler模的注记[J].金陵科技学院学报,2013,29(2):4 7 [10]汪建.IF环和F-Mittag-Leffler模[J].金陵科技学院学报,2015,31(4):49 52 [11]EnochsE,JendaG.Relativehomologicalalgebra[M].Berlin-NewYork:WalterdeG-ruyter,2000:81 82 (责任编辑:湛 江) 65