中国科学技术大学：《电磁学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 静电能

第三章静电能 §3.1真空中点电荷间的相互作用能 §3.2连续电荷分布的静电能 §3.3电荷体系在外电场中的静电能 §3.4电场的能量和能量密度 *§3.5非线性介质及电滞损耗 *§3.6利用静电能求静电力

第三章 静电能 §3.1 真空中点电荷间的相互作用能 §3.2 连续电荷分布的静电能 §3.3 电荷体系在外电场中的静电能 §3.4 电场的能量和能量密度 *§3.5 非线性介质及电滞损耗 *§3.6 利用静电能求静电力

静电能的定义 建立一个带电系统的过程中，总伴随着 电荷相对运动，需要外力克服电荷间的相互 作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换 为带电系统的能量，该能量定义为带电系统 的静电能。显然，静电能应由系统的电荷分 布决定。 例如，第一章中已讲到的点电荷在外电 场中的电势能就是静电能。这是静电场为保 守力场的必然结果

建立一个带电系统的过程中，总伴随着 电荷相对运动，需要外力克服电荷间的相互 作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换 为带电系统的能量，该能量定义为带电系统 的静电能。显然，静电能应由系统的电荷分 布决定。 例如，第一章中已讲到的点电荷在外电 场中的电势能就是静电能。这是静电场为保 守力场的必然结果。 静电能的定义

能量的基本概念 引入的目的： 1. 能量是物质的共同属性，是物质运动的普遍量度； 2. 能量守恒定律是最有意义、最有用的发现之一； 3. 便于研究不同形式能量的转换。 二、 特点： 1. 是状态的单值函数， 属于整个系统； 2. 能量差才有意义； 3. 用做功来量度能量。 三、 描述的方法 按照其特点，要引入状态参量，规定零点能，然 后用做功来计算能量

能量的基本概念 一、引入的目的： 1. 能量是物质的共同属性，是物质运动的普遍量度； 2. 能量守恒定律是最有意义、最有用的发现之一； 3. 便于研究不同形式能量的转换。 二、特点： 1. 是状态的单值函数, 属于整个系统； 2. 能量差才有意义； 3. 用做功来量度能量。 三、描述的方法： 按照其特点，要引入状态参量，规定零点能，然 后用做功来计算能量

§3.1真空中点电荷间 的相互作用能 设想空间中有多个点电荷，其带电量用q 表示，初始时刻相互间距离为o, 相互作用 的库仑力为0。随后，外力克服库仑力做功， 使它们到达相应的位置”，任意两个点电 荷间的距离可以由rr=r给出。 ■ 这外力做功便转换成该点电荷系的能量，即 静电能 。 所谓点电荷之间的相互作用能，指的就是与 点电荷间的相对位置有关的静电能

§3.1 真空中点电荷间 的相互作用能 n 设想空间中有多个点电荷, 其带电量用 qi 表示, 初始时刻相互间距离为 ，相互作用 的库仑力为 0。随后，外力克服库仑力做功， 使它们到达相应的位置 ri , 任意两个点电 荷间的距离可以由 rij=|rij|=|rj-ri|给出。 n 这外力做功便转换成该点电荷系的能量，即 静电能。 n 所谓点电荷之间的相互作用能，指的就是与 点电荷间的相对位置有关的静电能

因此，状态参量取为r;(i,j=1,2,,N)， 初始时刻1，→0，相互作用的库仑力为 零，它们之间的静电相互作用消失，很自 然地取这种状态的相互作用能为零。 下面，我们用一种类似于数学归纳法的办 法来计算由个点电荷组成的静电体系的 静电能

n 因此，状态参量取为rij（i, j = 1,2,…,N）， 初始时刻 ，相互作用的库仑力为 零，它们之间的静电相互作用消失，很自 然地取这种状态的相互作用能为零。 n 下面，我们用一种类似于数学归纳法的办 法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的 静电能

两个点电荷时 一个点电荷q在外电场U中的电势能W=qU 设电势U是由另一个点电荷Q产生的，于是点电 荷q具有的电势能可以写作 9Q W=qU= 4π￡。 同样地，上式也表示了Q在q的电场中的电势能； 这电势能W即静电能，属于点电荷q与Q组成的 系统

两个点电荷时 n 一个点电荷q在外电场U中的电势能W=qU n 设电势U是由另一个点电荷Q产生的, 于是点电 荷q具有的电势能可以写作 ■ 同样地, 上式也表示了Q在q的电场中的电势能； 这电势能W即静电能，属于点电荷q与Q组成的 系统。 0 1 4 qQ W qU  r  

当两个点电荷分别为q1和q2时，静电能为： W12=92012= q291 4π8o1i2 同样地， W21=41U21= qq2=W2’ 4π8o12 可将两个点电荷的静电能记为W,,为方便写成： w,=a+形)=2（g,U+4 ■三个点电苻的静电能记为W3,便为： 形=2所++现，+形+形+2）

n 当两个点电荷分别为q1和q2时, 静电能为： 同样地, 可将两个点电荷的静电能记为W2 ,为方便写成： n 三个点电荷的静电能记为W3 ，便为： 2 1 12 2 12 0 12 1 , 4 q q W q U  r   1 2 21 1 21 12 0 12 , 4 q q W q U W  r    2 12 21 2 12 1 21 1 1 ( ) ( ), 2 2 W  W  W  q U  q U 3 12 21 13 31 23 32 1 ( ) 2 W  W W W W W W

于是可写成： 历-。+形+形。+华1十以+形》 g+4些+q*9些+9坠+些 二 英中G, 2 i=1 4元80j1 j≠i j≠i aU代入W: W,=8π60 q91 i=l i=1

■ 于是可写成： ■ U 代入W ： 3 3 3 0 1 1 1 , 8 j i i j j i ji q q W  r       3 12 21 13 31 23 32 2 12 1 21 3 13 1 31 3 23 2 32 3 3 1 1 3 0 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 , , 2 1 4                    其中     j i j i i i ji i j j i j ji W W W W W W W q U q U q U q U q U q U q r qU U U

对N个点电苻象统： =Σ，其U-立，= i=1 j=1 4π80 j≠i j≠i U,是除了q,其它点电荷在q,处产生的电势的和。 同理，将U代入W得： WN- 991 2=1i j=1i=1 1≠i j≠i 对N+1个点电苻系统，可证（见书p68) W+1W+ Wx+= ∑∑ 记为 99j 8π0j=1 l i=1 8πeo j,i=1 j≠i j≠i

对N个点电荷系统： 1 1 0 1 1 1 , 2 4        其中     ， 是除了 其它点电荷在 处产生的电势的和。 j i j i N N N j N i i i ji i j j ji i i i q W qU U U r U q q  同理，将U 代入W 得： 1 1 0 1 1 1 1 2 8             . j i j i N N N N i j N i ji j i j i ji q q W q U   r 对N+1个点电荷系统，可证（见书p68）： 1 1 1 0 1 1 , 1 1 8 j i j i N N N i j i j N j i j i ji ji q q q q W  r  r             +1 0 1 . 8 = 记为

§3.2连续电荷分布的静电能 首先讨论空间只有自由电荷的情形，这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等于o的物体（包括真空)存在。 1.先考虑体电荷分布的情况，电荷密 度设为P(r)。将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理，则由前节结论可得： R.∬.(U,()dr, (3.2.1) U(r)表示除p(r)dV外其余所有电荷在r处 产生的电势

§3.2 连续电荷分布的静电能 首先讨论空间只有自由电荷的情形，这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等于 的物体（包括真空）存在。 1. 先考虑体电荷分布的情况，电荷密 度设为 。将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理，则由前节结论可得： 0  ( ) e r 1 1 ( ) ( ) , 2 e e V W   U dV  r r U1(r)表示除 外其余所有电荷在r处 产生的电势。 ( ) e  r dV (3.2.1)