第一部分习题第一章静电场基本规律1．2.1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距5×10-米时，相互排斥力为1.6牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少？两点电荷的电量各为多少？解：设两点电荷中一个所带电量为q，则另一个为4q：F2根据库仑定律：F=K9192得：(1)Fr?rF,=_160×(5×10~)2=0.4（牛顿）(10-)2r2F,=K4q(2)q=±()=±（(1.60×5×10)4K4×9×109=±3.3×10-7（库仑）4q=±1.33×10-8（库仑）1.2.2两个同号点电荷所带电量之和为Q，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大？解：讠设其中一个所带电量为q，则一个所带电量为Q-q。根据库仑定律知，相互作用力的大小：F=K9(O-Q)12求F对q的极值使F=0K(α-2g)=0即：r1q=jo.21.2.3两个点电荷所带电量分别为2g和9，相距L，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零？q解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力+XJ2go图1.2.3
第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1．2．1 在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它 们个距 2 5 10 米时，相互排斥力为 1.6 牛顿。问它们相距 0.1 米时，排斥力是多 少？两点电荷的电量各为多少？ 解：设两点电荷中一个所带电量为 q，则另一个为 4q： （1） 根据库仑定律： r r q q F K ˆ 2 1 2 得： 2 1 2 2 2 1 r r F F （牛顿） （ ） （ ） 0.4 10 1.60 5 10 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 r F r F (2) 2 1 2 2 4 r q F K ∴ 2 1 9 2 4 2 2 1 1 1 4 9 10 1.60 5 10 4 （ ） （ ） K F r q =±3.3× 7 10 （库仑） 4q=±1.33× 8 10 （库仑） 1．2．2 两个同号点电荷所带电量之和为 Q，问它们带电量各为多少时， 相互作用力最大？ 解： 设其中一个所带电量为 q，则一个所带电量为 Q-q。 根据库仑定律知，相互作用力的大小： 2 ( ) r q Q q F K 求 F 对 q 的极值 使 F 0 即： (Q 2q) 0 r K ∴ q Q 2 1 。 1．2．3 两个点电荷所带电量分别为 2q 和 q，相距 L，将第三个点电荷放在 何处时，它所受合力为零？ 解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。 图 1．2．3
112qoqqoq即:4元。4元80(L- x)21即：x2+2xL-=0= (-x)解此方程得：x=(-1±/2)L(X是到g。的q距离)（1）当x=（V2-1)L时，x>0为所求答案当x=(-V2-1)L时，x<0不合题意，舍去。（2）1.2.4在直角坐标系中，在（0，0.1)，（0，-0.1）的两个位置上分别放有电量为g=10-10（库）的点电荷，在（0.2，0）的位置上放有一电量为Q=10-8（库）的点电荷，求Q所受力的大小和方向？（坐标的单位是米）解：根据库仑定律知：F=K90r2=个90(cosαi -sinα,j)r?0.2i_9×10°×10-10×10-8-0.1j0.12 +0.22(0.12 +0.22)(0.12 +0.22)2=1.61x10-7i-8.0x10-8xi如图所示，其中cosαtq(x+)yisinα, =(x2+y)同理：F=K902×(cosαi+sinα,)20.2i-0.1)9×10°×10-10×10-80.12 +0.22(0.12 +0.23)2(0.1 +0.22)2
即： 0 4 1 2 0 x q q = 4 0 1 ( ) 2 2 0 L x q q 2 1 x 2 ( ) 2 L x 即： 2 0 2 2 x xL L 解此方程得： ( 1 2) ( ) x L X是到q0的q距离 （1） 当 x ( 2 1)L时，x 0为所求答案。 （2） 当 x ( 2 1)L时，x 0不合题意，舍去。 1．2．4 在直角坐标系中，在（0，0.1），（0，-0.1）的两个位置上分别放有电 量为 10 q 10 （库）的点电荷，在（0.2，0）的位置上放有一电量为 8 Q 10 （库） 的点电荷，求 Q 所受力的大小和方向？（坐标的单位是米） 解：根据库仑定律知： 2 1 1 1 rˆ r q Q F K ) ˆ 2 (cos 1 ˆ sin 1 1 1 i j r q Q K 2 2 9 10 8 0.1 0.2 9 10 10 10 2 1 2 2 2 1 2 2 (0.1 0.2 ) 1ˆ 0. (0.1 0.2 ) 2ˆ 0. i j = i j 0 10 ˆ 8. 61 10 ˆ 1. 7 8 如图所示，其中 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) cos x y x 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) sin x y y 同理： ) ˆ 2 (cos 2 ˆ sin 2 2 1 2 i j r q Q F K 2 2 9 10 8 0.1 0.2 9 10 10 10 × 2 1 2 2 2 1 2 2 (0.1 0.2 ) 1ˆ 0. (0.1 0.2 ) 2ˆ 0. i j
=1.61×10-7i-8.0×10-8 3F=F+F,=3.22×10-7i(牛顿)1.2.5在正方形的顶点上各放一电量相等的同性点电荷q。（1）证明放在正方形中心的任意电量的点电荷所受的力为零：（2）若在中心放一点电荷Q，使顶点上每个电荷受到的合力恰为零，求Q与q的关系。证：(1)如图（a），设正方形每边长为a，中心所放的点电荷的电量Q。由库仑定律及选加原理得：F=FBo+FDo+FAo+Fco[+0++=kQqLrorororco]2kQ(Cno +Ppo +PAo +fco)=0qcDqaV2其中：rBo=rAo=rco=rDoa2PBo =-PDo,rAo =-rco在证明过程中可看出：放在正方形中心的点电荷不论其电量为何值，它所受的力均为零。(2)讨论B点的电荷所受的力：设A，O，C，D点的点电荷对B点的电荷q的作用力分别为：FFo,Fc,FKq2如图所示：F,=KgFe=Araa?a?Kq?Kq?Fp=Pp=(cos45°r+sin45°r)BrE2a?2a?AFJ2Kg2(rA+rc)4a?RCFo= 2KQq2J2KQq(A+Fc)Droa?a?使F=F+F+F+F
= i j 0 10 ˆ 8. 61 10 ˆ 1. 7 8 ( ) 22 10 ˆ 3. 7 F F1 F2 i 牛顿 1．2．5 在正方形的顶点上各放一电量相等的同性点电荷 q。 （1）证明放在正方形中心的任意电量的点电荷所受的力为零； （2）若在中心放一点电荷 Q，使顶点上每个电荷受到的合力恰为零，求 Q 与 q 的关系。 证： （1） 如图（a）,设正方形每边长为 a,中心所放的点电荷的电量 Q。由库 仑定律及迭加原理得： F FBO FDO FAO FCO 合 =kQq 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ CO CO AO AO DO DO BO BO r r r r r r r r (ˆ ˆ ˆ ˆ ) 0 2 2 rBO rDO rAO rCO a kQq 其中： rBO rAO rCO rDO a 2 2 BO DO AO CO r ˆ r ˆ ,r ˆ r ˆ 在证明过程中可看出：放在正方形中心的点电荷不论其电量为何值， 它所受的力均为零。 （2） 讨论 B 点的电荷所受的力： 设 A，O，C，D 点的点电荷对 B 点的电荷 q 的作用力分别为： FA FO FC FD , , , 如图所示： A A r a Kq F ˆ 2 2 C C r a Kq F ˆ 2 2 (cos 45 ˆ sin 45 ˆ ) 2 ˆ 2 0 0 2 2 2 2 D D A C r r a Kq r a Kq F = (ˆ ˆ ) 4 2 2 2 A C r r a Kq O O r a KQq F ˆ 2 2 2 (ˆ ˆ ) 2 2 A C r r a KQq 使 F FA FO FC FD
V2Kg?2KQqKax(PA +P)= 04a?α?a2KQqV2Kq?Kq?即使：Caa4a?V20.:.421.2.6两电量相等的同性点电荷，在其联线的中垂面上放一点电荷，根据对称性可知，该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆，求该圆的半径。解：如图（a），设x轴上有两个点电荷，其电量均为q，坐标分别为(-a, 0,o)、(a,o.o)：中垂面yoz平面上有一点点电荷Q，坐标为（o.y.z）设=y+zkr?=y?+=2即在中垂面内Q到坐标原点的距离。如图（b），根据对称性点电荷Q所受的合力方向与方向一致，(o y z)qqaxd-axZ设（q与Q同号）2kQqrkQq..F=2sinar):r?+a(r* +a?)%求F对r的极值：3r22kQqr2kO1(r+a)%22+02即：-3r2+(r2+α2)=0: r2=α?2a?J2+=2_ 9即：是一个圆的方程。圆心（o,0,o），半径为2
(ˆ ˆ ) 2 4 2 2 2 2 2 2 A C r r a KQq a Kq a Kq = 0 即使： 0 2 4 2 2 2 2 2 2 a KQq a Kq a Kq ∴ Q=- q 2 2 4 1 1．2．6 两电量相等的同性点电荷，在其联线的中垂面上放一点电荷，根据 对称性可知，该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆，求该圆的半径。 解： 如图（a），设 x 轴上有两个点电荷，其电量均为 q, 坐标分别 为（-a,o,o）、 (a,o,o); 中垂面 yoz 平面上有一点点电荷 Q，坐标为（o,y,z） 设 r yj zk ˆ ˆ 2 2 2 r y z 即在中垂面内 Q 到坐标原点的距离。 如图（b），根据对称性点电荷 Q 所受的合力方向与 r 方向一致， 设（q 与 Q 同号） ∴ r r a kQqr r r a kQq F ˆ ( ) 2 2 sin ˆ) 2 3 2 2 2 2 求 F 对 r 的极值： 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 2 ( ) 1 ( ) 3 2 ( ) 2 r a r a r kQq r a kQqr = 0 即： 3 ( ) 0 2 2 2 r r a ∴ 2 2 2 a r 即： 2 2 2 2 a y z 是一个圆的方程。 圆心 (o,o,o) ,半径为
V-221：3.1在长为50厘米、相距1厘米的两个带电平行板间的电场是匀强电场（场强方向垂直向上）。将一速度为v=107（米/秒）的电子从M点（距上下板等距离）水平射入电场（见图），若电子恰在平行板的边缘处离开电场，求该匀强电场的大注。（忽略边缘效应，认为板外场强为零，且略去重力对电子的影响。)解：根据场强的定义得，电子所受的力：F=-eE电子产生一个向下的加速度：α=E_Eemm设板长为L，电子在平板间运动的时间：[2 hLt=VaVo2hmL即：eEVo2hmv.: E=3L'e2×5×10-×9.11×10-31×10/425×10-2×1.6×10-19=22.8（牛/库）1.3.2用细线悬一质量为0.2克的小球，将其置于两个竖直放置的平行板间（见图）。设小球带电量为6×10-库仑，欲使悬挂小球的细线与场强夹然成60°角，求两板间场强？解：带电小球所受的电场力：F=QE，重力为mg，细绳的张力为T，根据力的平衡条件知：P[Tsin60°=mgTcos60°=QE
a 2 2 。 1．3．1 在长为 50 厘米、相距 1 厘米的两个带电平行板间的电场是匀强电 场（场强方向垂直向上）。将一速度为 7 0 v 10 （米/秒）的电子从 M 点（距上下 板等距离）水平射入电场（见图），若电子恰在平行板的边缘处离开电场，求该 匀强电场的大注。（忽略边缘效应，认为板外场强为零，且略去重力对电子的影 响。） 解：根据场强的定义得，电子所受的力： F eE 电子产生一个向下的加速度： m Ee m F a 设板长为 L，电子在平板间运动的时间： a h v L t 2 0 即： e E h m v L 2 0 ∴ L e h m v E 2 2 2 0 2 1 9 3 3 1 1 4 25 10 1.6 10 2 5 10 9.11 10 10 =22.8 （牛/库） 1．3．2 用细线悬一质量为 0.2 克的小球，将其置于两个竖直放置的平行板 间（见图）。设小球带电量为 9 6 10 库仑，欲使悬挂小球的细线与场强夹然成 60° 角，求两板间场强？ 解：带电小球所受的电场力： F QE ，重力为 mg,细 绳的 张力为 T ，根据力的平衡条件知： T Q E T m g 0 0 cos 60 sin 60
即：E=mgcig600图1.322×10×9.8×0.5776×10-9=1.89×105（牛/库）1.3.3有一电子射入一电场强度是5×103牛顿/库仑的均匀电场，电场的方向是竖直向上，电子的初速度是10米/秒，与水平线所夹的入射角为30°（见图），不考虑重力对电子的影响。（1）求该电子上升的最大高度（2）此电子回到其原来高度时的水平射程是多少？解：EF=-eEFeE其加速度a=mm当电子上升到最大高度时：V=0.. vof =(vo sin30°)? =2ah.. h= (osin30°)_ (sin30)m2a2eE= (107×0.5)2×9.1x10-812×1.6×10-19×5×103=1.4×10-(米）（2）电子从上升到返回到原来高度时共用时间：2h2hmt=2.aeE2×1.4×10-2×9.1×10-311.6×10-19 ×5×103=1.13×10-8(秒)水平射程：S = V.-t = V, cos30°t
图 1.3 2 即： 0 ctg60 Q mg E 9 4 6 10 2 10 9.8 0.577 =1.89 10 ( / ) 5 牛 库 1．3．3 有一电子射入一电场强度是 3 5 10 牛顿/库仑的均匀电场，电场的方 向是竖直向上，电子的初速度是 107米/秒，与水平线所夹的入射角为 30°（见 图），不考虑重力对电子的影响。 （1）求该电子上升的最大高度； （2）此电子回到其原来高度时的水平射程是多少？ 解： F eE 其加速度 m e E m F a 当电子上升到最大高度时： v 0 ∴ v (v sin30 ) 2ah 0 2 0 2 0 ∴ a v h 2 ( sin 30 ) 0 2 0 eE v m 2 ( sin 30 ) 0 2 0 = 19 3 7 2 81 2 1.6 10 5 10 (10 0.5) 9.1 10 1.4 10 ( ) 2 米 （2）电子从上升到返回到原来高度时共用时间： a h t 2 2 eE 2 h m 2 19 3 2 31 1.6 10 5 10 2 1.4 10 9.1 10 2 1.13 10 ( ) 8 秒 水平射程： S v t v t o o`` o cos30
=107×0.866×1.13×10-8=9.79×10-（米）1.3.4电子所带的电量（基本电荷一e）最先是由密立根通过油滴实验测出的。密立根设计的实验装置如附图所示，一个很小的带电油滴在电场E内，调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。如果油滴的半径为1.64×10-厘米。若平衡时，E=1.92×105牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851克/厘米3）。解：设油滴的电量为Q，体密度为P，半径为R（设油滴所带电量为体分布)，它受的电场力和重力分别为F和P，由F=P得：4元RpgEQ=mg=34元Rpg大3E4元×(1.64×10-)×0.851×103×9.83×1.92×10=8.02×10-19（库仑)1.3.5两个电荷，9=4.0（微库），92=8.0（微库），其相距为10厘米，求离它们都是10厘米处的电场强度E。9×10°×4×10-qi解：E=10-24元801=3.6×10（牛/库）9×10*×4×10-62-992E, =10-24元80斤2=7.8×10*（牛/库）如图所示，在直角坐标系oxy中，将E，E，分解：
7 8 10 0.866 1.13 10 9.79 10 ( ) 2 米 1．3．4 电子所带的电量（基本电荷—e）最先是由密立根通过油滴实验测 出的。密立根设计的实验装置如附图所示，一个很小的带电油滴在电场 E 内，调 节 E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。如果油滴的半径为 4 1.64 10 厘米。若平衡时， 5 E 1.92 10 牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为 0.851 克/厘米 3）。 解：设油滴的电量为 Q，体密度为 ，半径为 R（设油滴所带电量为体 分布）， 它受的电场力和重力分别为 F 和 P， 由 F=P 得： EQ=mg= 3 4 3 R g Q= E R g 3 4 3 = 5 6 3 3 3 1.92 10 4 (1.64 10 ) 0.851 10 9.8 8.02 10 ( ) 19 库仑 1．3．5 两个电荷， 1 q 4.0 （微库）， 2 q 8.0 （微库），其相距为 10 厘米， 求离它们都是 10 厘米处的电场强度 E。 解： 2 0 1 1 4 r q E 2 9 6 10 9 10 4 10 3.6 10 ( / ) 8 牛 库 2 0 2 2 2 4 r q E 2 4 6 10 9 10 4 10 7.8 10 ( / ) 8 牛 库 如图所示，在直角坐标系 o x y 中， 将 E1 ， E2 分解：
E, =E +E2x= E, cos 60° + E, cos1200=9.36×10（牛/库）E,=E,+E2,=E,sin60°+E, sin120=9.52×10（牛/库）1.3.6如图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。（1）求轴线上离环中心0为x处的场强E；（2）画出E-x曲线；d（3）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？解：（1）如图所示，圆环上任一电荷元dg在p点产生的场强为：dEdqdE=46or2根据对称性分析，整个圆环在距圆心x处P点产生的场强：1rdg.xE=dEcosa4元。r2xqdg:4元04元0rxq480(x +R)%（2）E一x曲线如图所示。（3）求E的极值：qxdxdx4元。(x2 + R2)3/3=R2得：2VV2R，在距圆心左右两侧既：x=R处的场强最大。其值为：22
Ex E1x E2x 0 E1 cos 60 0 E2 cos120 9.36 10 ( / ) 8 牛 库 Ey E1y E2 y 0 E1 sin 60 0 E2 sin120 9.52 10 ( / ) 8 牛 库 1．3．6 如图，一半径为 R 的均匀带电圆环，电荷总量为 q。 （1）求轴线上离环中心 O 为 x 处的场强 E； （2）画出 E-x 曲线； （3）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？ 解：（1）如图所示，圆环上任一电荷元 dq 在 p 点产 生的场强为： 2 4 0 r dq dE 根据对称性分析，整个圆环在距圆心 x 处 P 点产生的场强： E dEcos r x r dq 2 4 0 1 dq r x 3 4 0 3 4 0 r xq 2 3 2 2 0 4 (x R ) x q （2）E—x 曲线如图所示。 （3）求 E 的极值： 由 2 2 3 2 0 4 (x R ) qx dx d dx dE = 0 得： 2 2 2 R x 既： x R 2 2 ，在距圆心左右两侧 R 2 2 处的场强最大。其值为：
qEmax6/3元R1，3.7电荷以线密度n均匀分布在长为L的直线段上。（1）求带电线的中垂线上与带电线相距为R的点的场强；n（2）证明当L→80时，该点的场强E=2元8R（3）试证当R>>L时，所得结果与点电荷场强公式一致。解：（1）如图建立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为：ndxdE=4元(R?+x)根据对称性分析，E的方向是y轴方向。Lndx2E=sina4元（R2+x）Rn阁E=-dx2 40(R2 + x2)2nLL?4元8R/R?4nL..E=1L?4元8RR?4（2）当L一→8时：nLnE=L?RL?4元8R/R?4元8RL244R当L→8时，→0L2nn..E=4元8R2元8.RR277(3）当R>>L时：4L
2 0 max 6 3 R q E 1．3．7 电荷以线密度 均匀分布在长为 L 的直线段上。 （1）求带电线的中垂线上与带电线相距为 R 的点的场强； （2）证明当 L 时，该点的场强 0 2 E R ； （3）试证当 R>>L 时，所得结果与点电荷场强公式一致。 解：（1）如图建立坐标，带电线上任一电荷元在 P 点产生的场强为： r R x dx dE ˆ 4 ( ) 2 2 0 根据对称性分析， E 的方向是 y 轴方向。 sin 4 ( ) 2 2 2 2 0 L L R x dx E d x R x R E L L 2 2 2 3 2 2 0 4 ( ) 4 4 2 2 0 L R R L ∴ j L R R L E ˆ 4 4 2 2 0 （2）当 L 时： 4 4 2 2 0 L R R L E 4 4 2 2 2 0 L L R R 当 L 时， ( ) 0 2 L R ∴ R E 4 0 2 2 0R （3）当 R>>L 时： 4 1 ( ) 2 L R
nLq:.E=4元6R24元R?其中nL=q，与点电荷公式一致。1.3.8线电荷密度为n的无限长均匀带电线，分别弯成附图中（a），（b）两种形状，若圆弧半径为R，试求：（a)，（b）图中O点的场强。解：（a）在0点建立坐标系，如图所示：A半无限长直导线在0点产生的场强E,：-Rnnyi+ildyE, = ["-[4(R? + y2)24(R+x2)nn4元R4元R同理：Bo半无限长直导线在0点产生的场强E，：ni-n_iE, =-4元R4元8.RAB弧在0点产生的场强为：nnE.AB-4元R4元R..E-E, +E,+EAn-(i+))4元8R（b）建立如图所示的坐标系，与图（a）讨论相同得：nE =(-i-j)4元RnE,(-i+)4元.RnE.1AB2元RE=E,+E,+E,=0
∴ 2 4 0R L E 2 4 0R q 其中 L q ，与点电荷公式一致。 1．3．8 线电荷密度为 的无限长均匀带电线，分别弯成附图中（a），（b） 两种形状，若圆弧半径为 R，试求：（a），（b）图中 O 点的场强。 解：（a）在 O 点建立坐标系，如图所示： A 半无限长直导线在 O 点产生的场强 E1 ： E1 j R y R ˆ 4 ( ) 0 2 3 2 2 0 id y R x y ˆ 4 ( ) 2 3 2 2 0 j R ˆ 4 0 i R ˆ 4 0 同理： B 半无限长直导线在 O 点产生的场强 E2 ： E2 j R ˆ 4 0 i R ˆ 4 0 ⌒AB 弧在 O 点产生的场强为： i R E AB ˆ 4 0 j R ˆ 4 0 ∴ AB E E E E 1 2 ) ˆ ˆ ( 4 0 i j R （b）建立如图所示的坐标系，与图（a）讨论相同得： ) ˆ ˆ ( 4 0 1 i j R E ) ˆ ˆ ( 4 0 2 i j R E i R E AB ˆ 2 0 E E1 E2 E3 0