第三章静电场的电介质3.2.1偶极矩为p=a1的电偶极子，处于场强为E的外电场中，p与E的夹角为θ。（1）若是均匀的，为什么值时，电偶极子达到平衡？（2）如果E是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？解：（1）偶极子受的力：F, =F =qE因而F,=F偶极子受合力为零。偶极子受的力矩.T-PxE即T=qEsin当T=0时，偶极子达到平衡，E+0..pEsinQ=0p*0.0=0，元9=0这种平衡是稳定平衡。9=元是不稳定平衡。（2）当E不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。3.2.2两电偶极子p，和p，在同一直线上，所以它们之间距r比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为F=PP，力的方向是：P，与P，同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。2元0元证：已知当r>>1时，偶极子在其延长线上→p=E一点的场强：2元60r3当Pi与p2同方向时，如图P2所受的力的大小：PiqF-Eq-2m80(r+么))
第三章 静电场的电介质 3.2.1 偶极矩为 p =q l 的电偶极子，处于场强为 E 的外电场中， p 与 E 的夹角为 。 （1） 若是均匀的， 为什么值时，电偶极子达到平衡？ （2）如果 E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？ 解： （1）偶极子受的力： F =F _ =qE 因而 F =-F _ 偶极子 受合力为零。偶极子受的力矩 T = p E 即 T=qEsin 当 T=0 时，偶极子达到平衡， pEsin =0 p 0 E 0 =0 , =0 这种平衡是稳定平衡。 = 是不稳定平衡。 （2） 当 E 不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个 力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。 3.2.2 两电偶极子 1 p 和 2 p 在同一直线上，所以它们之间距 r 比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为 F= 4 0 1 2 2 3 r p p ，力的方向是： 1 p 与 2 p 同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。 证： 已知当 r >>l 时，偶极子在其延长线上 一点的场强： E = 3 0 2 r p 当 1 p 与 2 p 同方向时，如图 2 p 所受的力的大小： F =E q= r l r p q 2 3 0 1 ) 2 2 (
-prqF=2)2元80(r-2piqL2元801,1(r+2O126r2Piq22元0n等高级小量。及略去486piqlzF=4ncorr3piP22m6or4rM反方向时（如图），同理：与P2p,1prqF=2元8012(r233r21,piqX2元8012r4略去高级小量得：F=3PP210r4r3.2.3一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为，其所在处的电场强度为。（1）求电偶极子在该处的电位能，（2）在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是多少？
F = -E q= r l r p q 2 3 0 1 ) 2 2 ( F = F + F = r l r l r p q 2 3 2 3 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 = r l r l l r p q 3 2 2 2 2 2 2 3 0 1 ) 2 ( ) 2 2( 2 6 2 略去 4 2 2 l 及 8 3 2 l 等高级小量。 F = - r r p ql 4 0 1 2 4 6 = - r r p p 4 0 1 2 2 3 当 1 p 与 2 p 反方向时（如图），同理： F = r l r l r p q 2 3 2 3 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 = 0 1 2 p q r l r l r l 3 2 2 2 2 3 2 2 ) 4 ( ) 2 3 2( 略去高级小量得： F = r r P P 4 0 1 2 2 3 3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ，其所在处的电场强度为 。 （1） 求电偶极子在该处的电位能， （2） 在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是 多少？
(3)在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是多少？解：（1）电位能：WqU-q=q由于=-器，An=lcoso (o是与巨间夹角).AU=-ENn=-Elcos0W-qElcoso.=-p·E（2）当p与E一致时，-pE.即θ=0时电位能最小。（3）当p与E方向相反时，严pE.即θ=元时电位能最大。3.2.4一电偶极子，由q=1.0x10-8（库）的两个异号电荷所组成，这两个电荷相距为1=2.0（厘米），把这电偶极子放在1.0x105牛顿/库伦的均匀外场中,（1）外电场作用于电偶极子上最大转矩的多大？（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力所作的功是多大？解：（1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为：T=pEsing当时9=时，力矩最大，2T=pE=q1E=10-8×2×10-2×10=2x10-3（牛顿·米）（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力所做的功：A=[2TdO=pEsinede=pE=2×10-3（牛顿·米）3·4·1一平行板电容器面积为S，面板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板上自己电荷为Q时，整块介质的总偶极矩为总，求电容器中的电场强度。整块介质的总偶极矩为总
（3） 在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是 多少？ 解： （1）电位能： W=q U -q U_ =q U 又由于 E = - n n U ，n lcos ( 是 l 与 E 间夹角) U En El cos W= -qElcos = - p E （2）当 p 与 E 一致时，W= -pE.即 =0 时电位能最小。 （3）当 p 与 E 方向相反时， W= pE. 即 = 时电位能最大。 3.2.4 一电偶极子，由 q=1.0 10 8 （库）的两个异号电荷所组成，这两 个电荷相距为 l=2.0（厘米），把这电偶极子放在 1.0 10 5 牛顿/库伦的均匀外场 中， （1） 外电场作用于电偶极子上最大转矩的多大？ （2） 把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所作的功是多大？ 解： （1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为： T=pEsin 当时 = 2 时，力矩最大， T=pE=qlE=10 8 2 10 2 10 5 =2 10 3 (牛顿 米) （2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所做的功： A= 2 0 Td = 2 0 sin pE d =pE=2 10 3 (牛顿 米) 3·4·1 一平行板电容器面积为 S，面板间距离为 d，中间充满均匀电介质，已 知当一板上自己电荷为 Q 时，整块介质的总偶极矩为 总, 求电容器中的电场强 度。 整块介质的总偶极矩为 总
极化强度=设上、下是介质上下两面的外法线，上=·上=Pn=P下=·下=—Pn=P自由电荷激发的场强：AB= AB极化电荷激发的场强：BA= — AB= AB= — AB电容器中电场强度：AB = AB3:4·22一半径为R，厚度为d的均匀介质圆板（Rd）被均匀极化，其极化强度为P，且平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电场强度。解：如图所示，在柱坐标系中：是面元法线与极化强度为夹角其中根据对称性分析，极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有y方向分量(y轴与反方向），当R>>d时，略去高级小量得：3·4·3在图中A为一块金属，其外部充满均匀介质，其极化率为x，已知交界面上某点的极化电荷面密度为，求该点的自由电荷面密度
极化强度 = 设 上、 下是介质上下两面的外法线， 上= · 上= —Pn= —P 下= · 下= —Pn= —P 自由电荷激发的场强： AB= AB 极化电荷激发的场强： BA= — AB= — AB= — AB 电容器中电场强度： AB = AB 3·4·2 一半径为 R，厚度为 d 的均匀介质圆板（R d）被均匀极化，其 极化强度为 P，且 平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电 场强度。 解：如图所示，在柱坐标系中： 是面元法线与极化强度 为夹角 其中 根据对称性分析,极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有 y 方向分量 (y 轴与 反方向), 当 R>>d 时,略去高级小量 得: 3·4·3 在图中 A 为一块金属,其外部充满均匀介质,其极化率为 x,已知 交界面上某点的极化电荷面密度为 ,求该点的自由电荷面密度
解：在静点平衡时，利用高斯定理可得，导体外（即介质内）紧靠导体表面一点的场强为：= =-与反方向，如图所示，是介质表面外法线又由于在介质内：=；==-=求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为，如图所示.解：取球心Q为原点，极轴与平行的球坐标，由于轴对称性，表面上任一点A的极化电荷密度只与角有关.着也是A点外法线与的夹角，故这表明：在右半球为正，左半球为负；在两半球分界线面上，在3·4·5图中沿x轴放置的介质圆柱，地面积为S，周围是真空，已知介质内个点极化失量（为常数）（1）求圆柱两底面上的极化电荷密度及；（2）求出圆柱内体电荷密度。解: (1) °。 =P,h,=P,cos元=-kao,=P,-n,=P,coso=kb（2）由定义得：P.ds(Pr+dr - P.)SP'SdxT_ Skdx _ -kSdx3.4.6平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上的自由电荷面密度为土。，求电容器的电容C与没有电介质时的电容C之比。解：o'=P.n=P
解: 在静点平衡时,利用高斯定理可得,导体外(即介质内)紧靠导体表面一 点的场强为: = =- 与 反方向,如图所示, 是介质表面外法线. 又由于在介质内: = ; · = =- = 求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,已知极化强度为 ,如图 所示. 解: 取球心 Q 为原点,极轴与 平行的球坐标,由于轴对称性,表面上任一点 A 的极化电荷密度 只与 角有关.着也是 A 点外法线 与 的夹角,故 这表明：在右半球 为正，左半球 为负；在两半球分界线面上， 在 3·4·5 图中沿 x 轴放置的介质圆柱，地面积为 S，周围是真空，已知介 质内个点极化矢量 （为常数） （1）求圆柱两底面上的极化电荷密度 及 ； （2）求出圆柱内体电荷密度 。 解：（1） P n P kb P n P ka b b b b a a a a ˆ cos 0 ˆ cos （2）由定义得： k Sdx Skdx Sdx P P S P dS p s x d x x 3.4.6 平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上 的自由电荷面密度为 0 ，求电容器的电容 C 与没有电介质时的电容 C0 之比。 解： P n ˆ P
极化电荷的场强：E"=_P6080自由电荷的场强：E。=60E与E'反方向，D-E -xoE.E=E-E=E.-6060=E-xE.. E。=(1+x)EE。=E=-1+x8(1+x)CodU=Ed=-60(1+x)Q=0.S2_ (+x)5S =(1+x)C。..C=SUd3.4.7一空气平行板电容器，面积S=0.2（米2），d=1.0（厘米），充电后断开电源，其电位差U。=3×10°（伏)，当电介质充满两版间以后，则电压降至1000伏，试计算：(1)原电容C;(2)每一个导体板上的电量Q；(3)放入电介质后的电容C；(4)两板间的原电场强度Eo；(5)放入电介质后的电场强度E；(6)电介质每一面上的极化电荷Q；(7)电介质的相对介电常数8,［提示8解：
极化电荷的场强： 0 0 P E 自由电荷的场强： 0 0 0 E E0 与 E 反方向， x x E E E x E E xE x E E P E E E E 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x d U Ed 0 1 0 Q 0 S 0 0 1 1 x C d x S U Q C 3.4.7 一空气平行板电容器，面积 S=0.2( 米2 )，d=1.0(厘米)，充电后断开电 源，其电位差 伏 3 U0 310 ，当电介质充满两版间以后，则电压降至 1000 伏， 试计算： (1)原电容 C0 ； (2)每一个导体板上的电量 Q； (3)放入电介质后的电容 C； (4)两板间的原电场强度 E0 ； (5)放入电介质后的电场强度 E ； (6)电介质每一面上的极化电荷 Q ； (7)电介质的相对介电常数 r [提示 0 0 C C ]。 解：
()C。 = ES_ 8.85×10-2×0.210-12d=1.77×10-10(法拉)(2)Q=C.U。=1.77×10-10 ×3000=5.31×10-7（库伦）(3)C=2_ 5.31x10-7=5.31x10-10(法拉）103C(4)E = = 300=3×10(伏/米)10-2d(5)E=_ 103--1-=10(状/米)(6): E= E-E..E'-Eo-E-g'60Q'=oS=(E-E)oS=8.58x10-12(3×105-105)x0.2=3.45×10-7（库伦）(7)s, =%_ 5.31×10-0C"1.7×10-0 =33.4.8两相距为5.0毫米的平行导体板间均匀充满相对介电常数6。=3.0(c，=x+1)的电介质，其介质内的电场强度是10°伏/米。试求：（1）在导体板上的面电荷密度。；（2）在电介质面上的极化面电荷密度解：（1）利用3.4.6题结论：C=Eo(I+x)sd又由于C_SU-Ed.E0(+x)S_ c0SdEd
法拉 1 0 1 2 1 2 0 0 1.77 10 10 8.85 10 0.2 1 d S C 库伦 7 1 0 0 0 5.31 10 2 1.77 10 3000 Q C U 法拉 1 0 3 7 5.31 10 10 5.31 10 3 U Q C 3 10 伏/米 10 3000 4 5 2 0 0 d U E 10 伏./米 10 10 5 5 2 3 d U E E E E 6 0 0 0 E E E 库伦 7 1 2 5 5 0 0 3.45 10 8.58 10 3 10 10 0.2 Q S E E S 3 1.7 10 5.31 10 7 10 10 0 C C r 3.4.8 两相距为 5.0 毫 米 的 平 行 导 体 板 间 均 匀 充 满 相 对 介 电 常 数 3.0 1 0 r x 的电介质，其介质内的电场强度是 6 10 伏/米。试求： （1）在导体板上的面电荷密度 0 ； （2）在电介质面上的极化面电荷密度 解：（1）利用 3.4.6 题结论： d x S C 0 1 又由于 Ed S U Q C 0 Ed S d 0 1 x S 0
0。=E8(1+x)= E806,=10×8.58×10-12×3=2.65×10-5(库/米)O'=P=XSE=(s, -1)e,E= (3-1)×8.58×10-12×106=1.77×10-5(库/米2)3.4.9在相对介电常数为6,(c,=x+1)的电介质中有一强度为E的均匀电场。在介质内有一球形空腔。求球面上的极化电荷在球心产生的电场强度E。解：如图所示，在均匀电介质中:P= x6(6, -1)Eg'=P.n=-Pcoson是介质表面的外法线即指向球心。dE"=_o'dsR4元8R?根据对称性分析可得，E只有z方向分量[dE'cos?E'='R’ sin d pde4元R?2 P cos 0 sin OR?d64元8.R2P-_lE38。3E'-ElE.33.5.1两平行导体板相距5.0毫米，带有等量异号电荷，面密度为20微库/米2，其间有两片电介质，一片厚2.0毫米，6，=3.0毫米，8,=4.0。略去边缘效应，求各介质内的D、E和介质表面的α'。解：如图所示，作一个底在导体内，另一底平行于极板的封闭圆柱形高斯面。根据高斯定理得：D，=。=2×10-5（库/米2）
5 2 6 12 0 0 0 2.65 10 10 8.58 10 3 1 库 米 E r E x 5 2 1 2 6 0 0 1.77 10 3 1 8.58 10 10 1 库 米 E P x E r 3.4.9 在相对介电常数为 x 1 r r 的电介质中有一强度为 E 的均匀电场。 在介质内有一球形空腔。求球面上的极化电荷在球心产生的电场强度 E 。 解：如图所示，在均匀电介质 中： ˆ cos 0 1 P n P P x r E n ˆ 是介质表面的外法线即指向球心。 R R ds dE ˆ 4 2 0 根据对称性分析可得， E 只有 z 方向分量， 2 0 2 0 2 2 2 0 2 4 cos sin 4 sin cos d R P R R R d d E dE s s = 0 3 P = 3 r 1 E E 3 r 1 E 3.5.1 两平行导体板相距 5.0 毫米，带有等量异号电荷，面密度为 20 微库/米 2 ，其间有两片电介质，一片厚 2.0 毫米， r =3.0 毫米， r =4.0。略去边缘效应，求各介质内的 D、E 和介质表面的 。 解：如图所示，作一个底在导体内，另一底平行于极板的封闭圆柱形高斯面。根 据高斯定理得：D 1 = 0 =2 5 10 (库/米 2 )
D,=D,=o。=2×10-5 (库/米2)在介质1中的场强：2×10-5DE,==7.5×105（伏/米）8.85×10-12×3C00r在介质2中的场强：D2 ×10-sE,==5.65×105（伏/米）8.85×10-12×4608720,=Pr-n,=80 x,E,-n-- 8rt -1)D=-60 x, E,=- (6,-1) 6060C0Er!Gn-- 3-1 ×2×10-=--4×10-5（库/米2）3,=P-=Co,E,-= En -1)0o624.×2×10~5=3号×10-5（库/米2）23442)×10-s, =-( +,)=-(-31×10~(库/米2)6[或,=(P,-P).,]3.5.2一无限大均匀介质平板，厚度为d，相对介电常数为ε，其中有密度均匀的自由电荷，体密度为Po，求板内、外的D、E、P。解：作如图所示的高斯面，由高斯定理得（其中x是场点在x轴的坐标，原点在介质板的对称面上）。板内：D^=PoxiEA=DA6,60= PoX6,80P=XE.E=(6,-1)6E内
D 2 =D 1 = 0 =2 5 10 (库/米 2 ) 在介质 1 中的场强： E 1 = 0 r1 D = 8.85 10 3 2 10 12 5 =7.5 5 10 （伏/米） 在介质 2 中的场强： E 2 = 0 r 2 D = 8.85 10 4 2 10 12 5 =5.65 5 10 （伏/米） 1 = 1 p 1 n ˆ = 0 1 x E1 1 n ˆ =- 0 1 x E1 =-（ r1 -1） 0 0 r1 D =- r1 （ 1 -1） r 0 =- 3 3 1 5 2 10 =- 3 4 5 10 （库/米 2 ） 3 = P2 3 n ˆ = 0 2E2 x 3 n ˆ = r2 （ 2 -1） r 0 = 5 2 10 3 4 = 5 10 2 3 （库/米 2 ） 5 2 1 3 ) 10 2 3 3 4 ( ) ( =- 10 ( / ) 6 1 5 库 米2 [或 2 2 1 21 （P P） n ˆ ] 3.5.2 一无限大均匀介质平板，厚度为 d，相对介电常数为 r ，其中有 密度均匀的自由电荷，体密度为 0 ，求板内、外的 D 、 E 、 P 。 解： 作如图所示的高斯面，由高斯定理得（其中 x 是场点在 x 轴的坐标， 原点在介质板的对称面上）。 板内： D xi ˆ 内 0 i x D E r r 0 0 0 内 内 P内 E内 （ ） E内 0 r 1 0
(s, -D) xpo6.在板外：Dr =- Pod;2Ewr =-Pod;260P外I = 0Den = Pod;2Enn = Pod;20P外n =03.5.3如图所示，一平行板电容器两极板相距为d，面积为S，其中放有一层厚为t的电介质，相对介电常数为6，介质两边都是空气。设两极板间电位差为U，略去边缘效应。试求：(1)介质中的电场强度E，电位移D和极化强度P；(2)极板上的电量Q；(3)极板和介质间隙中的场强E。；(4)电容C。解：（1）设空气中的场强为E。；U=E,x+Et+ E (d-x-t)=E。 (d-t)+Et由高定斯理可知，在两板D间处处相等DDU=(d-)+E=DD60606,E=D6060,1(d-t+-6,60（5）画出电力线和电位移线。解（1）利用高斯定理求出：D,=0(r<R)
= i ˆ 1 x r r 0 （ ） 在板外： i ˆ 2 0d D外I 0 i ˆ 2 d ˆ 2 0 i ˆ 2 d 0 0 0 0 0 II II II I I P E i d D P E 外 外 外 外 外 3.5.3 如图所示，一平行板电容器两极板相距为 d，面积为 S，其中放有一层 厚为 t 的电介质，相对介电常数为 r ，介质两边都是空气。设两极板 间电位差为 U，略去边缘效应。试求： （1） 介质中的电场强度 E，电位移 D 和极化强度 P； （2） 极板上的电量 Q； （3） 极板和介质间隙中的场强 E0 ； （4） 电容 C。 解： （1）设空气中的场强为 E0 ； U= E0 x+Et+ E0 (d-x-t) = E0 (d-t)+Et 由高定斯理可知，在两板 D 间处处相等， 0 0 D E r D E 0 ( ) ( ) 0 0 0 r r t d t D t D d t D U （5）画出电力线和电位移线。 解 （1）利用高斯定理求出： D 1 =0 （ r R ）