第二章投影的基本知识 2-1投影法及投影图 、投影法 投射线通过物体向选定的平面投射,并在该面上得到图形的方法,称为投影法。根据投 影法所得到的图形, 称为投影图,简称投影 如图2-1所示,定点S是所有投射线的起源点,称为投射中心:直线SASB是发自投射 中心且通过被表示物体 (直线AB)上各点的直线,称为投射线;平面P是投影法中得到投影的面,称为投影 面 S b 图2-1投影法 1.投影法分类 投影法分为中心投影法和平行投影法。 1)中心投影法 投影法汇交一点的投影法称为中心投影法,用中心投影法得到的投影称为中心投影。 在图2-2中,P为投影面,S为投影中心,△abc为空间△ABC在投影面P上的投影。投 影线SAa、SBb、SCc交 于投影中心S。由于物体的中心投影不能反映其真实形状,故机械图中不采用。 2)平行投影法 投影线互相平行的投影法称为平行投影法,如图2-3所示。平行投影法又分为斜投 影法和正投影法
第二章 投影的基本知识 2-1 投影法及投影图 一、投影法 投射线通过物体向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。根据投 影法所得到的图形， 称为投影图，简称投影。 如图 2-1 所示，定点 S 是所有投射线的起源点，称为投射中心；直线 SASB 是发自投射 中心且通过被表示 物体 （直线 AB）上各点的直线，称为投射线；平面 P 是投影法中得到投影的面，称为投影 面。 1. 投影法分类 投影法分为中心投影法和平行投影法。 1）中心投影法 投影法汇交一点的投影法称为中心投影法，用中心投影法得到的投影称为中心投影。 在图 2-2 中，P 为投影面，S 为投影中心，△abc为空间△ABC 在投影面 P 上的投影。投 影线 SAa、SBb、SCc交 于投影中心 S。由于物体的中心投影不能反映其真实形状，故机械图中不采用。 2）平行投影法 投影线互相平行的投影法称为平行投影法，如图 2-3 所示。平行投影法又分为斜投 影法和正投影法
图2-2中心投影法 A B 图2-3平行投影法 投射线的方向称为投射方向。投射线与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法,用 斜投影法得到的投影称 为斜投影。投影线与投影面垂直的平行投影法称为正投影法,用正投影法得到的投影称为 正投影 由于物体的平行投影相对中心投影的度量性好,而正投影又可简化作图,故在工程 图样中常常采用 2正投影法的投影特性 (1)当直线段或平面图形平行于投影面时,其投影反映直线段的实长或平面图形的实 形。如图24(a)所 示,AB∥P,则ab=AB:△ABC∥P,△ABC≌△abc。投影的这种性质称为实形性或真实 性 (2)当直线段或平面图形垂直于投影面时,其投影成为一点或一直线,如图22 (b)所示,AB⊥P,AB汇 聚成一点;△ABC⊥P,△ABC汇聚成一直线。投影的这种性质称为积聚性。 (3)当直线段或平面图形倾斜于投影面时,线段的投影比实长短,平面图形的投影成 为类似形。如图24 (c)所示,AB∠P,则其投影ab仍为一直线;△ABC∠P,投影abc也仍为三角形,但不 反映实形。投影的这种
投射线的方向称为投射方向。投射线与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法，用 斜投影法得到的投影称 为斜投影。投影线与投影面垂直的平行投影法称为正投影法，用正投影法得到的投影称为 正投影。 由于物体的平行投影相对中心投影的度量性好，而正投影又可简化作图，故在工程 图样中常常采用。 2.正投影法的投影特性 （1）当直线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线段的实长或平面图形的实 形。如图 2-4（a）所 示，AB∥P，则 ab=AB；△ABC∥P，△ABC≌△abc。投影的这种性质称为实形性或真实 性。 （2）当直线段或平面图形垂直于投影面时，其投影成为一点或一直线，如图 2-2 （b）所示，AB⊥P，AB 汇 聚成一点；△ABC⊥P，△ABC 汇聚成一直线。投影的这种性质称为积聚性。 （3）当直线段或平面图形倾斜于投影面时，线段的投影比实长短，平面图形的投影成 为类似形。如图 2-4 （c）所示，AB∠P，则其投影 ab仍为一直线；△ABC∠P，投影 abc 也仍为三角形，但不 反映实形。投影的这种
性质称为类似形 图2-4正投影法 二、工程常见的投影图 1正投影图 物体在互相垂直的两个或多个投影面上所得到的正投影称为多面正投影图。将这些投影 面旋转展开到同 图面上,使该物体的各正投影图有规则地配置,并相互之间形成对应关系。根据物体的多 面正投影图,便能确 定其形状 图25是一物体在三个相互垂直的投影面上的三面正投影图。 图2-5正投影图 (查看动画) 正投影图的优点是能反映物体的实际形状和大小,即度量性好,且作图简便,因此在工 程上被广泛使用, 缺点是直观性较差。 2轴测投影 将物体连同其直角坐标系,沿不平行于任一坐标平面的方向,用平行投影法将其投射在 单一投影面上所得
性质称为类似形。 二、工程常见的投影图 1.正投影图 物体在互相垂直的两个或多个投影面上所得到的正投影称为多面正投影图。将这些投影 面旋转展开到同一 图面上，使该物体的各正投影图有规则地配置，并相互之间形成对应关系。根据物体的多 面正投影图，便能确 定其形状。 图 2-5 是一物体在三个相互垂直的投影面上的三面正投影图。 （查看动画） 正投影图的优点是能反映物体的实际形状和大小，即度量性好，且作图简便，因此在工 程上被广泛使用， 缺点是直观性较差。 2.轴测投影 将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在 单一投影面上所得
到的图形称为轴测投影 轴测投影优点是直观性较好,容易看懂,缺点是作图较繁,且度量性差。所以在某些工 程图样和书籍中常 作为辅助图样使用。 图2-6轴测投影 3标高投影 在物体的水平投影上,加注某些特征面、线以及控制点的高程数值和比例的单面正投影 称为标高投影 标高投影常用来表示不规则曲面,如船体、飞行器、汽车曲面以及地形等 H2 图2-7标高投影图 4透视投影 用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到的图形称为透视投影,即透视图。图2- 8为一物体的透视 图 透视图与照相机成形原理相似,较接近视觉映像,所以透视图的直观性较强。但是, 由于透视图度量性差 且作图复杂,所以透视图只用于绘图和建筑设计等
到的图形称为轴测投影。 轴测投影优点是直观性较好，容易看懂，缺点是作图较繁，且度量性差。所以在某些工 程图样和书籍中常 作为辅助图样使用。 3.标高投影 在物体的水平投影上，加注某些特征面、线以及控制点的高程数值和比例的单面正投影 称为标高投影。 标高投影常用来表示不规则曲面，如船体、飞行器、汽车曲面以及地形等。 4.透视投影 用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到的图形称为透视投影，即透视图。图 2- 8 为 一物体的透视 图。 透视图与照相机成形原理相似，较接近视觉映像，所以透视图的直观性较强。但是， 由于透视图度量性差， 且作图复杂，所以透视图只用于绘图和建筑设计等
图2-8透视图
22点的投影 点、直线和平面是组成物体的基本几何元素。研究和掌握点、直线、平面的投影性质 和规律,是学习物体 投影的基础。从本节开始将研究点、直线和平面的投影以及它们之间的关系。 、点的投影 仅有点的一个投影不能确定点的空间位置:根据物体的一个投影也不能确定该物体的整 体形状和大小。增 设投影面,采用多面投影的方法。这一法则是法国几何学家蒙诺( G-Monge)于1795年 首先提出并进行科学论 证的,称为蒙诺法。有两个或三个互相垂直的投影面构成投影面体系 1点在两投影面体系中的投影 1)投影面体系的构成 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成,其中一个为水平投影面(简称水平 面),以H表示,另 个正立投影面(简称正面),以V表示。两投影面的交线称为投影轴,以OX表示。水平 投影面H与正立投影面V将 空间分为四部分,称为四个分角,即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角,如图2 9所示。 2)点在两投影面体系中的投影 (1)投影空间点A处于第一分角,按正投影法将点A向正面和水平面投影,即由点 A向正面作垂线,得垂足 a,则(称为空间点A的正面投影:由点A向水平面作垂线,得垂足a,则a称为空间 点A的水平投影。见图2-10。 (2)注写规定:空间点用大写字母表示,如A、B、C…;点的水平投影用相应的小 写字母表示,如a、b 点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示,如′、b、c
2-2 点的投影 点、直线和平面是组成物体的基本几何元素。研究和掌握点、直线、平面的投影性质 和规律，是学习物体 投影的基础。从本节开始将研究点、直线和平面的投影以及它们之间的关系。 一、点的投影 仅有点的一个投影不能确定点的空间位置；根据物体的一个投影也不能确定该物体的整 体形状和大小。增 设投影面，采用多面投影的方法。这一法则是法国几何学家蒙诺（G-Monge）于 1795 年 首先提出并进行科学论 证的，称为蒙诺法。有两个或三个互相垂直的投影面构成投影面体系。 1.点在两投影面体系中的投影 1）投影面体系的构成 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，其中一个为水平投影面（简称水平 面），以 H 表示，另一 个正立投影面（简称正面），以 V 表示。两投影面的交线称为投影轴，以 OX 表示。水平 投影面 H 与正立投影面 V将 空间分为四部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角，如图 2- 9 所示。 2）点在两投影面体系中的投影 （1）投影空间点 A处于第一分角，按正投影法将点 A 向正面和水平面投影，即由点 A 向正面作垂线，得垂足 ，则 称为空间点 A 的正面投影；由点 A 向水平面作垂线，得垂足 a，则 a 称为空间 点 A 的水平投影。见图 2-10。 （2）注写规定：空间点用大写字母表示，如 A、B、C…；点的水平投影用相应的小 写字母表示，如 a、b、 c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如 、 、 …
第二分角 第一分角 第三分角 第四分角 图2-9两投影体系 H 图2-10点的两面投影 (3)投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上,保持V面不动,将 H面绕OX轴向下旋转90°,则得到点A的两面投影图。见图2-11 (4)擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面,故符号 、H及投影面的边界线 都不需画出。见图2-12
（3）投影面展开 为了把空间点 A 的两个投影表示在一个平面上，保持 V 面不动，将 H 面绕 OX 轴向下旋转 90°，则得到点 A 的两面投影图。见图 2-11。 （4）擦去边界，得到点的两面投影图 投影面可以看作是没有边界的平面，故符号 V、H 及投影面的边界线 都不需画出。见图 2-12
0 H 图2-11点在两投影面体系中的投影 0 图2-12点的两面投影 3)点在两投影面体系中的投影规律 (1)一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。 在图2-11中,点A的正面投射线A4和水平投射线Aa所确定的平面Aa垂直于V和 H面。根据初等几何知识, 若三个平面互相垂直,其交线必互相垂直,所以有aax⊥OX和a⊥OX。当a随H面旋 转重合于V面时,aax⊥OX 的关系不变。因此,在投影图2-12上,a⊥OX (2)一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离;其正面投影到OX轴的 距离等于该点到H面的距离, 即aax=A;aax=Aa。在图2-11中,因为Aaa是矩形,所以在投影图2-12上aax=A 4)各种位置点的投影 (1)点在各分角内。 ①第一分角内点A,其水平投影a在OX轴下方,正面投影在OX轴上方 ②第二分角内点B,其水平投影b在OX轴下方,正面投影在Ox轴上方
3）点在两投影面体系中的投影规律 （1）一点的水平投影和正面投影的连线垂直于 OX 轴 。 在图 2-11 中，点 A 的正面投射线 A 和水平投射线 Aa 所确定的平面 Aa 垂直于 V 和 H 面。根据初等几何知识， 若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有 aax⊥OX 和 ax⊥OX。当 a随 H面旋 转重合于 V 面时，aax⊥OX 的关系不变。因此，在投影图 2-12 上，a ⊥OX。 （2）一点的水平投影到 OX 轴的距离等于该点到 V 面的距离；其正面投影到 OX轴的 距离等于该点到 H 面的距离， 即 aax=A ； ax=Aa。在图 2-11 中，因为 Aaax 是矩形，所以在投影图 2-12 上 aax=A ； ax=Aa。 4）各种位置点的投影 （1）点在各分角内 。 ① 第一分角内点 A，其水平投影 a在 OX 轴下方，正面投影 在 OX 轴上方。 ② 第二分角内点 B，其水平投影 b 在 OX 轴下方，正面投影 在 OX 轴上方
③第三分角内点C,其水平投影c在OX轴上方,正面投影在OX轴下方。 ④第四分角内点D,其水平投影d在OX轴下方,正面投影在Ox轴下方 A 0 ldd 图2-13分角内点的投影 (2)点在各投影面内 ①H面内点K,其水平投影k与该点(K)重合,正面投影在OX轴上 ②H面内点M,其水平投影m与该点(M)重合,正面投影”在OX轴上 ③V面内点L,其水平投影1在Ox轴上,正面投影与该点(L)重合 ④V面内点N,其水平投影n在OX轴上,正面投影?与该点(N)重合 图2-14投影面内点的投影 投影面内点的投影特点为:点在其所在的投影面上的投影与该点重合:点的另一投影 在OX轴上 (3)点在投影轴上 点在投影轴上,其水平投影和正面投影与该点重合。如图2-15所示,G点在OX轴上, 其水平投影g和正面投 影与点G重合于OX轴上
③ 第三分角内点 C，其水平投影 c 在 OX轴上方，正面投影 在 OX 轴下方。 ④ 第四分角内点 D，其水平投影 d在 OX 轴下方，正面投影 在 OX 轴下方。 （2）点在各投影面内 ① H 面内点 K，其水平投影 k与该点（K）重合，正面投影 在 OX 轴上。 ② H 面内点 M，其水平投影 m与该点（M）重合，正面投影 在 OX 轴上。 ③ V 面内点 L，其水平投影 l 在 OX轴上，正面投影 与该点（L）重合。 ④ V 面内点 N，其水平投影 n在 OX轴上，正面投影 与该点（N）重合。 投影面内点的投影特点为：点在其所在的投影面上的投影与该点重合；点的另一投影 在 OX 轴上。 （3）点在投影轴上 点在投影轴上，其水平投影和正面投影与该点重合。如图 2-15所示，G 点在 OX 轴上， 其水平投影 g 和正面投 影 与点 G 重合于 OX轴上
图2-15投影轴上点的投影 2在三投影面体系中的投影 1)三投影体系 三投影面体系的建立如图2-16所示,三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上 增加一个与V、H投影 面都垂直的侧立投影面(简称侧面)组成的。三个投影面互相垂直相交,其交线称为投影 轴,V面和H面的交线 为OX轴,H面和W面的交线为OY轴,V面和W面的交线为OZ轴。OX、OY、OZ轴 垂直相交于一点O,称为原点。我们 只在第一分角内研究各种问题。 2)点的三面投影 (1)投影如图2-17所示,设空间点A处于第一分角,按正投影法将点A分别向 H、V、W面作垂线,其垂足即 为点A的水平投影a、正面投影和侧面投影(点的侧面投影用相应的小写字母加两 撇表示)
2.在三投影面体系中的投影 1）三投影体系 三投影面体系的建立如图 2-16 所示，三投影面体系是在 V⊥H两投影面体系的基础上， 增加一个与 V、H 投影 面都垂直的侧立投影面（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影 轴，V 面和 H 面的交线 为 OX 轴，H 面和 W 面的交线为 OY轴，V面和 W 面的交线为 OZ 轴。OX、OY、OZ 轴 垂直相交于一点 O，称为原点。我们 只在第一分角内研究各种问题。 2）点的三面投影 （1）投影 如图 2-17 所示，设空间点 A处于第一分角，按正投影法将点 A 分别向 H、V、W 面作垂线，其垂足即 为点 A 的水平投影 a、正面投影 和侧面投影 （点的侧面投影用相应的小写字母加两 撇表示）