第十章立体表面展开 10-1表面展开图 圆管 弯管 在工业生产中,常会遇到管道、壳体和容器等薄壁板制件。如图10-1所示为饲料粉碎 机上的集粉筒,它是 用薄铁皮制成的。在加工制作这类机件时,通常要根据设计图样画出展开图(也称放 样),再经下料、弯卷 焊接或铆接而成。把立体表面按实际形状和大小依次连续摊平画在一个平面上的图样称为 立体的表面展开图, 简称展开图
第十章 立体表面展开 10-1 表面展开图 在工业生产中，常会遇到管道、壳体和容器等薄壁板制件。如图 10-1 所示为饲料粉碎 机上的集粉筒，它是 用薄铁皮制成的。在加工制作这类机件时，通常要根据设计图样画出展开图（也称放 样），再经下料、弯卷， 焊接或铆接而成。把立体表面按实际形状和大小依次连续摊平画在一个平面上的图样称为 立体的表面展开图， 简称展开图
圆锥管 变形接头 (a)方形弯管 (b)集粉筒 图10-1薄板制件实例 画薄板制件的展开图时,必须明确立体表面是否可展。立体表面不外乎平面和曲面两 种,当制件表面摊平 在一个平面上时,没有褶皱和破裂,就称这种表面为可展表面,否则为不可展表面。平面 立体的表面和以直线 为母线且相邻两素线平行或相交的曲面,如圆柱面,圆锥面等均为可展表面,可展表面能 够精确地画出其表面 展开图。以曲线为母线的曲面(如环面和球面)以及虽然以直线为母线,但是相邻两素线 交叉的直纹面(如螺 旋面等),是不可展曲面。不可展曲面只能近似地画出其展开图 绘制展开图有两种基本方法:图解法和计算法。计算法是用解析计算代替图解法中的 展开作图过程,求出 曲线的解析表达式及展开图中一系列点的坐标、线段长度,然后根据计算结果绘出图形 或由计算机绘出图形 再由数控切割机自动进行切割下料的方法。随着计算机技术的发展,这种方法更显示出准 确、高效、便于修改 保存等优点。图解法的实质是求作立体表面的实形,而作实形的关键是求线段的实长或曲 线的展开长度。虽然 图解法的精确度低于计算法,但是作图简捷、直观,而且大都能满足生产要求,因而得到 广泛的应用。限于篇 幅,本章仅就图解法进行介绍
(a)方形弯管 (b) 集粉筒 图 10-1 薄板制件实例 画薄板制件的展开图时，必须明确立体表面是否可展。立体表面不外乎平面和曲面两 种，当制件表面摊平 在一个平面上时，没有褶皱和破裂，就称这种表面为可展表面，否则为不可展表面。平面 立体的表面和以直线 为母线且相邻两素线平行或相交的曲面，如圆柱面，圆锥面等均为可展表面，可展表面能 够精确地画出其表面 展开图。以曲线为母线的曲面（如环面和球面）以及虽然以直线为母线，但是相邻两素线 交叉的直纹面（如螺 旋面等），是不可展曲面。不可展曲面只能近似地画出其展开图。 绘制展开图有两种基本方法：图解法和计算法。计算法是用解析计算代替图解法中的 展开作图过程，求出 曲线的解析表达式及展开图中一系列点的坐标、线段长度，然后根据计算结果绘出图形， 或由计算机绘出图形， 再由数控切割机自动进行切割下料的方法。随着计算机技术的发展，这种方法更显示出准 确、高效、便于修改、 保存等优点。图解法的实质是求作立体表面的实形，而作实形的关键是求线段的实长或曲 线的展开长度。虽然 图解法的精确度低于计算法，但是作图简捷、直观，而且大都能满足生产要求，因而得到 广泛的应用。限于篇 幅，本章仅就图解法进行介绍
10-2可展表面的展开 平面立体的展开 作平面立体的展开图,只要求出立体所有表面的实形,再顺次展平到图纸上即可。而 求立体表面实形的关 键是求立体各面棱线的实长。当线段处于特殊位置时,其投影可直接反映实长,当线段处 于一般位置时,就要 用到第二章中讲述的直角三角形法来求其实长 棱锥的表面展开 (1)四棱锥的表面展开 图10-2是一个四棱锥,求其展开图,就要求得棱锥各面实形。棱锥底面是水平面,水 平投影反映实形,其 余各面都是投影面的垂直面,要求实形,必须先求棱线的实长。例如求SA的实长,可在 正面构造直角三角形 利用水平投影长sa和点S、A的Z坐标差求得实长。如图10-2(a)所示。各边实长求出 后,依次画出五个面的实形 即得其展开图,见图10-2(b)
10-2 可展表面的展开 一、平面立体的展开 作平面立体的展开图，只要求出立体所有表面的实形，再顺次展平到图纸上即可。而 求立体表面实形的关 键是求立体各面棱线的实长。当线段处于特殊位置时，其投影可直接反映实长，当线段处 于一般位置时，就要 用到第二章中讲述的直角三角形法来求其实长。 1、棱锥的表面展开 （1）四棱锥的表面展开 图 10-2 是一个四棱锥，求其展开图，就要求得棱锥各面实形。棱锥底面是水平面，水 平投影反映实形，其 余各面都是投影面的垂直面，要求实形，必须先求棱线的实长。例如求 SA的实长，可在 正面构造直角三角形， 利用水平投影长 sa 和点 S、A 的 Z 坐标差求得实长。如图 10-2(a)所示。各边实长求出 后，依次画出五个面的实形， 即得其展开图，见图 10-2(b)
(b) 图10-2四棱锥的表面展开图画法 (2)截头三棱锥的表面展开 图10-3是三棱锥被正垂面截切,求其展开图应首先画出完整的锥面展开图,然后在展 开图上找到各棱线与 截平面交点的位置,再连接起来即可 (a) (b) 图10-3截头三棱锥的表面展开 图画法 三棱锥的底面是水平面,实形由俯视图可直接得到。各侧面棱线均为一般位置直线, 需要求实长。由于各 棱线的Z坐标差均相等,为简化作图,可将三个求实长的直角三角形叠在一起画。正垂面 与各棱线的交点E、F G在求实长三角形中反映实长的边SA0、S0B0、SC0上的位置可以利用定比性求得,为 E0、Fo、G0点 2、棱柱的表面展开
(a) (b) 图 10-2 四棱锥的表面展开图画法 （2） 截头三棱锥的表面展开 图 10-3 是三棱锥被正垂面截切，求其展开图应首先画出完整的锥面展开图，然后在展 开图上找到各棱线与 截平面交点的位置，再连接起来即可。 (a) (b) 图 10-3 截头三棱锥的表面展开 图画法 三棱锥的底面是水平面，实形由俯视图可直接得到。各侧面棱线均为一般位置直线， 需要求实长。由于各 棱线的 Z 坐标差均相等，为简化作图，可将三个求实长的直角三角形叠在一起画。正垂面 与各棱线的交点 E、F、 G 在求实长三角形中反映实长的边 S0A0、S0B0、S0C0 上的位置可以利用定比性求得，为 E0、F0、G0点。 2、棱柱的表面展开
(1)截头四棱柱的展开 图10-4是四棱柱被正垂面截切,除去前后两个侧面外,各面均为矩形。它的底面是水 平面,各侧面是投影 面的平行面。因此棱柱各边的实长均为已知,可以直接画出它的展开图。画侧面展开图 时,先将底面各边实长 顺次展成一条直线,然后将各面实形画出即可 图10-4截头四棱柱的表面展开图画法 (2)斜三棱柱的展开 斜三棱柱各上下底面为相同的水平面内的三角形,侧面是平行四边形,如图10-5 (a)所示。上下底面实 形已知,各侧面棱线为正平线,正面投影反映实长。但是平行四边形仅知四边实长,其形 状仍然是不可确定的, 因此沿对角线将其分解为两个三角形,求出三角形的实形,再拼合成平行四边形
（1）截头四棱柱的展开 图 10-4 是四棱柱被正垂面截切，除去前后两个侧面外，各面均为矩形。它的底面是水 平面，各侧面是投影 面的平行面。因此棱柱各边的实长均为已知，可以直接画出它的展开图。画侧面展开图 时，先将底面各边实长 顺次展成一条直线，然后将各面实形画出即可。 图 10-4 截头四棱柱的表面展开图画法 （2）斜三棱柱的展开 斜三棱柱各上下底面为相同的水平面内的三角形，侧面是平行四边形，如图 10-5 （a）所示。上下底面实 形已知，各侧面棱线为正平线，正面投影反映实长。但是平行四边形仅知四边实长，其形 状仍然是不可确定的， 因此沿对角线将其分解为两个三角形，求出三角形的实形，再拼合成平行四边形
(a) 图10-5斜三棱柱的表面展开图画法 作图步骤 ①将三个侧面分解为三角形。分别作三个侧面的对角线AE ae ae bf′)、CD(cd,c'd′); ②求出各对角线实长利用水平投影长和Z坐标差构造直角三角形求解; ③依次画出各三角形实形画时充分利用平行直线展开仍为平行这一性质,可以 提高作图速度和准确性。 、可展曲面的展开 曲面上连续两素线能构成一个平面时(两素线平行或相交),曲面才是可展的。因此可 展曲面只能是直纹面。最常见的是圆柱面和圆锥面。 1、圆柱面的展开 (1)正圆柱面展开 图10-6是一个正圆柱面,其展开图是一个矩形,长为底圆周长πD,高为圆柱高H
(a) (b) 图 10-5 斜三棱柱的表面展开图画法 作图步骤： ① 将三个侧面分解为三角形。分别作三个侧面的对角线 AE（ae , a′e′）、BF( bf , b′f′)、CD(cd , c′d′)； ② 求出各对角线实长 利用水平投影长和 Z 坐标差构造直角三角形求解； ③ 依次画出各三角形实形 画时充分利用平行直线展开仍为平行这一性质，可以 提高作图速度和准确性。 二、可展曲面的展开 曲面上连续两素线能构成一个平面时（两素线平行或相交），曲面才是可展的。因此可 展曲面只能是直纹面。最常见的是圆柱面和圆锥面。 1、 圆柱面的展开 （1）正圆柱面展开 图 10-6 是一个正圆柱面，其展开图是一个矩形，长为底圆周长πD，高为圆柱高 H
图10-6正圆柱面展开 (2)截头圆柱面展开 在生产中,正圆柱面的展开图常用求正圆柱的内接多面棱柱的展开图来作近似。图 10-7中求作截头圆柱面 展开图就是用的这种方法(内接正多边形未画出)
图 10-6 正圆柱面展开 （2） 截头圆柱面展开 在生产中，正圆柱面的展开图常用求正圆柱的内接多面棱柱的展开图来作近似。图 10-7 中求作截头圆柱面 展开图就是用的这种方法（内接正多边形未画出）
图10-7截头正圆柱面展开 作图步骤如下: ①将圆柱底圆12等分,得等分点1,2, 在主视图作出过各分点的素 线 ②将底圆展开成一条直线,长度为πD,找出直线上的12个等分点。为作图 简便,可将该直线与圆柱主视 图的底圆投影画成平齐。 ③过直线上各等分点作垂线,长度为圆周上该分点处素线长,可直接从主视 图中对 ①光滑连接各垂线端点,即得截头圆柱面展开图
图 10-7 截头正圆柱面展开 作图步骤如下： ① 将圆柱底圆 12 等分，得等分点 1，2，3，……。在主视图作出过各分点的素 线； ② 将底圆展开成一条直线，长度为πD，找出直线上的 12 个等分点。为作图 简便，可将该直线与圆柱主视 图的底圆投影画成平齐。 ③ 过直线上各等分点作垂线，长度为圆周上该分点处素线长，可直接从主视 图中对； ① 光滑连接各垂线端点，即得截头圆柱面展开图
②由于截头圆柱面前后对称,实际作图时,作一半即可,另一半是它的对称图 形 (3)直角弯头的展开 在通风管路连接中,如果要垂直的改变管路的方向,常用图10-8所示的直角弯管 般将直角弯管分成若 干节。图示为四段,三节。两端两个半节Ⅰ、Ⅳ,中间两个全节Ⅱ、Ⅲ,如图10-8(a) 所示。其中每一节都 是斜截正圆柱面,半节所对的角度为15°,全节所对角度为30°。因此直角弯头的展开 就可以按画截头正圆柱 面展开图的方法来进行。如图10-8(b)所示,由于图形对称,图中仅作出Ⅰ、Ⅱ节展开 图的一半 (b)
② 由于截头圆柱面前后对称，实际作图时，作一半即可，另一半是它的对称图 形。 （3）直角弯头的展开 在通风管路连接中，如果要垂直的改变管路的方向，常用图 10-8所示的直角弯管。一 般将直角弯管分成若 干节。图示为四段，三节。两端两个半节Ⅰ、Ⅳ，中间两个全节Ⅱ、Ⅲ，如图 10-8（a） 所示。其中每一节都 是斜截正圆柱面，半节所对的角度为 15°，全节所对角度为 30°。因此直角弯头的展开 就可以按画截头正圆柱 面展开图的方法来进行。如图 10-8（b）所示，由于图形对称，图中仅作出Ⅰ、Ⅱ节展开 图的一半。 （a） （b）
(a) 图10-8直角弯头的展开图 实际生产中,当各节斜口角度相同时,为了下料方便,接口准确和节省材料,常采用 图10-8(d)(e)的 方法,先画出一个端部半节的展开图,再以此为样板,画出其余各段的展开图。为了合理 利用材料,可以先假 定将各段沿接缝切开,如图10-8(c)所示,然后将双数节Ⅱ、Ⅳ绕轴线旋转180°,如 图10-8(d)所示,这 样就能拼合成一张矩形,如图10-8(e)。如果用现成的圆管切割然后焊接来制造的话, 可以先将管子切割成 图10-8(d)那样的段,然后也是双数节转180°,转成如图10-8(c)所示位置,再焊接
(a) (d) (c) 图 10-8 直角弯头的展开图 实际生产中，当各节斜口角度相同时，为了下料方便，接口准确和节省材料，常采用 图 10-8（d）（e）的 方法，先画出一个端部半节的展开图，再以此为样板，画出其余各段的展开图。为了合理 利用材料，可以先假 定将各段沿接缝切开，如图 10-8（c）所示，然后将双数节Ⅱ、Ⅳ绕轴线旋转 180°，如 图 10-8（d）所示，这 样就能拼合成一张矩形，如图 10-8（e）。如果用现成的圆管切割然后焊接来制造的话， 可以先将管子切割成 图 10-8（d）那样的段，然后也是双数节转 180°，转成如图 10-8（c）所示位置，再焊接 即可
