《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第一章 概率论的基本概念（1.5）条件概率

概率论与醒统计 第五节条件概率 、条件概率 乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结

一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 第五节 条件概率

概率论与醒统计 条件概率 1.引例将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反 两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事 件A已经发生的条件下事件B发生的概率 分析设N为征,矿面T} A=HH, HT, TH B=HH, TT),P(B-21 42 事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为 P(B,则P(BA114P(AB)≠P(B 33/4P(A)

将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反 两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面” , 事件B为“两次掷出同一面” . 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 S  { HH, HT,TH,TT }. . 2 1 4 2 P(B)   事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 P(BA), 3 1 则 P(B A)   P(B). 3 4 1 4  ( ) ( ) P A P AB  设 H 为正面, T 为反面. 1. 引例 一 、条件概率 A  {HH,HT,TH}, B  {HH,TT}

概率论与醒统计 2.定义 设A,B是两个事件,且P(4>0,称 P(AB) P(BA) P(4) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 P(AB) 同理可得P(AB)=P(B) 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率

( ) ( ) ( ) P B P AB 同理可得 P AB  为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. . ( ) ( ) ( ) , , ( ) 0, 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 设 是两个事件 且 称 A B P A P AB P B A A B P A   2. 定义

概率论与醒统计 3.性质 (1)非负性:P(BA)≥0; (2)规范性:P(SB)=1,P(B)=0; (3)P(4∪AB)=P(AB)+P(4B)-P(44B); (4)P(4B)=1-P(AB (5)可列可加性:设B1,B2…是两两不相容的事 件,则有 ∪B4|=∑P(B1A i=1

(3) ( ) ( ) ( ) ( ); P A1 A2 B  P A1B  P A2 B  P A1A2 B (4) P(AB)  1  P(AB). (2)规范性 : P(S B)  1, P( B)  0; 件 则有 可列可加性 设 是两两不相容的事 , (5) : , , B1 B2  ( ). 1 1            i i i P Bi A P B A 3. 性质 (1)非负性 : P(B A)  0;

概率论与醒统计 乘法定理 设P(4)>0,则有P(AB)=P(BA)P(4) 设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有 P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A) 推广设A1,A2,…,An为n个事件,n≥2, 且P(A1A2…An1)>0,则有 P(A142…An)=P(AnA142…A21) P(An1A142…An2)x…×P(A24)P(A1) ◎

( ) ( ) ( ). ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 P A A A A P A A P A P A A A P A A A A n n n n n            且 P(A1A2A n1 )  0, 则有 , , , , 2, 推广 设 A1 A2  An 为 n 个事件 n  设 A,B,C 为事件,且 P(AB)  0, 则有 P(ABC)  P(C AB)P(B A)P(A). 设 P(A)  0, 则有 P(AB)  P(B A)P(A). 二、 乘法定理

概率论与醒统计 例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只 二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽 样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B 为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率 P解4将产品编号,1,2,3为一等品;4号为二等品 以(,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第 j号产品,则试验的样本空间为 S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4), (4,1),(4,2),(4,3)}

例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(解B|A).将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 . 号产品 则试验的样本空间为 以 表示第一次、第二次分 别取到第 号、第 , ( , ) j i j i (4,1), (4,2), (4,3)}, S  {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,

概率论与醒统计 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4) (3,1),(3,2),(3,4)}, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}, 由条件概率的公式得 P(BA=P(AB) P(4) 6/122 9123

(3,1), (3,2), (3,4)}, A  {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), AB  {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得 ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A  9 12 6 12  . 3 2 

概率论与醒统计 例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 08,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个 20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解设A表示“能活20岁以上”的事件, B表示“能活25岁以上”的事件, 则有 P(BA) P(AB P(A 因为P(A)=0.8,P(B)=04,P(AB)=P(B), P(AB)0.4 所以P(BA)=P(4)0.82

例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 因为 P(A)  0.8, . ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A  P(B)  0.4, P(AB)  P(B), . 2 1 0.8 0.4   ( ) ( ) ( ) P A P AB 所以 P B A  解

概率论与醒统计 抓阄是否与次序有关? 例3五个阄,其中两个阄内写着“有”应 字,三个阄内不写字,五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同 id 解设A表示“第i人抓到有字阄”的事件, i=1,2345.则有P(A)=5 P(41)=P(4.S)=P(A2∩(4UA4)

例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解 i 1,2,3,4,5. 则有 , 5 2 ( ) P A1  ( ) ( ) P A2  P A2S ( ( ))  P A2  A1  A1 抓阄是否与次序有关? 设 A 表示“第 i 人抓到有字阄”的事件 , i

概率论与醒统计 =P(441UA4)=P(A1A1)+P(A142 =P(4P(A4A1)+P(A1)P(42A) 21322 5 545 P(A)=P(AS)=P(A(AA, UAA, UA, A)) =P(A1A2A3)+P(41A243)+P(A1A243)

( ) ( ) ( ( )) P A3  P A3S  P A3 A1 A2  A1A2  A1 A2 ( ) ( ) ( )  P A1 A2A3  P A1A2A3  P A1 A2A3 4 2 5 3 4 1 5 2     , 5 2  ( ) ( ) ( ) ( )  P A1 P A2 A1  P A1 P A2 A1 ( )  P A1A2 A1A2 ( ) ( )  P A1A2  P A1A2