齐型空间上极大函数的一类加权模不等式

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1990.06.033 北京科技大学学报 第12卷第6期 Vol.12 No,6 1990年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov,1990 齐型空间上极大函数的一类加权模不等式 高瑞· 捕要：证明齐型空间上极大函数的加权赋L(,1)花数的不等式成立。 关健词：极大函数，加权慎不等式，齐型空间 Some Weighted Norm Inequalities for Maximal Function on Spaces of Homogeneous Type Gao Rui ABSTRACT:In this note weighted L(p,q)norm inequalities for maximal fu- nctions on spaces of homogeneous type are obtained. KEY WORDS:maximal function,weighted norm inequalities,spaces of homo- geneous type 文献C1)在欧氏空间R·上讨论了加权L(p,9)空间上的H-L极大函数，本文将其主要结 果推广到齐型空间。 1定义和基本引理 (X,d,4)是一个齐型空间（定义及有关字母表示的意义与文献〔4）相同)，其中d是X 中满足下面条件(1.1)的拟距离。 1989一07一04收稿 +国家自然科学基金资助 ·数力系(Department of Mathematics and Mechanics) 584·

第 卷第 期 北 京 科 技 大 学 学 报 二 ， 年 月 。 齐型 空间上极大函数 的一类加权模不等式 高 瑞 产试 摘 要 证 明齐型空间 七极大函 数的加权嗽 户 ， ， 范 数的不等式成立 。 关位饲 极大函 数 ， 加 权模 不 等 式 ， 齐型空 间 一 “ 亡 户洲 ， ， 爪 。 ， 文 献〔 〕在欧 氏空间 ‘ 上 讨论 了加权 ， 空 间上 的 一 极 大 函数 ， 本文 将其 主要 结 果推 广到 齐型空 间 。 浏产 定义 和墓本 引理 ， ， 产 是 一 个 齐型空间 定义 及有 关 字母 表 示的 意义与文献 〔 〕相 同 ， 其 中 是 中满足下 面条件 的拟距 离 。 一 一 收 稿 十 国 家自然 科学墓金资助 数 力不 「 ， ， · · DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．06．033

(1.1) d(￥，y)≤kCd(x,2)+d(2,y)门对一切(x,y,)∈X,4是X上满足下面条 件(1.2)的Bore1测度。 (1.2) 00:2,(y)t} 为f关于测度du的非增重整函数。 L(p,9)=L(p,9,w(x)dμ(x))={f:fl,g0 文中字母A,C、D均表示常数，同一字母在不同的式中可能表示不同的常数。 引理(1.7)若1≤91是一个集族， ·585·

。 二 ， 毛 杠 二 ， 习 ， 〕对 一 切 二 ， ， 任 ， 声 是 上 满足下 面 条 件 的 测 度 。 。 郑 戈 ， 犷 召 戈 ， 。 设 。 是定义 在 ， ， 川 上 的非负 ， 局部可积 的权 函数 ， 是 上 的 可测函 数 ， 称 、 ， 夕 任 ，， ， ， 二 二 ， 。 二 ， 、 ， ， 为 关于 测度 二 群 的 分布 函数 称 久了 〔 为 关于 测度 脚 娜 的非增重整 函数 。 ， “ ， ， “ 声 二 ， 。 其中 ” 比 ， 。 二 。 ， ，‘ ’ ‘ ’ · ‘ ’ “ 立 ， ， 百 冈 ， 〔 ， 。 ” 易知 二 二 ， 。 二 〔 〕 ‘ · ， ， ，， 二 二 一 ， 二 其中 。 歹 二 。 若 口， 则 ，。 ，， 见 〔 〕 。 · ，。 满足下面的 不 等式 。 ， ， ， 。 。 。 ，，。 ， 其中 户 户。 ， 。 ， 只与 ， 叮， ， ， ‘ 及 。 有 关 ， ， 。 当 ， 镇 ， 二 二 或 二 二 时 ， ， 是一 个以与 · ， 。 等价 的 范数 为范数 的 空 间 。 我们有 关系式 。 ，。 毛 、 ， ， 二 。 二 粼 二 、 ， ， ， 其 中 ‘ ， 沁 沟 ， 二 ， 只与 、 口 、 二 有 关 通 过简单 的 计算 ， 易知 。 。 ，， ，‘ ， ， 。 ， 。 ，一 ， 。 “ 了 夕 ，、 。 ，，， 。 一 ’ ， 。 ” ’ ， 夕〔几了 〕 ” ’ 文 中字母 、 、 均表 示常数 ， 同一 字母 在不 同的式 中可能表 示不 同的常数 。 引理 若 簇 的和 ， ， 是一 个集 族

且满足×e（x)≤D,则E‖Xefl,≤D1‖f, 11 证明：见文献C1)。 引理(1.8)当9≠o∞时，简单函数在L(p,9)中稠。 定义(1,9)设1p,1s≤s≤o有w∈A(r,s)。 证明：见文献C1) 引理(1,11)w∈A(p,1)存在一个常数C,使得对任庶球B=B(×,r)和可测集ECB有 (1.12) (E)/(B)一C(w(E)1w(B))'', 其中常数C依赖于P和w。 证明：若w∈A(p,1),ECB,由(1.3)有 u(E)=∫ew1wday}。则 yw(E)=∫eyw(x)du(x)≤w-1(x)w(x)d=a(E)≤Cu(B)(w(E)/w(B)“。 若p>1得yCw(E)1P≤C(B)lCw(B)lP,即， lXal,1lXgw-Ip'≤Cu(B)。 故w∈A(p,1) 若p=1,对于y0 得w(B)y<Cμ(B),即‖Xa‖1yCμ(B)。 令y→|xaw-1川。得 lX,‖1lXsw-'I≤Cu(B) 故w∈A:=A(1,1)。 由引理(1.10)和(1.11)易得： (1.13) w(B(x,2r))Cw(B(x,r)) 其中C是与x,无关的常数。 由(1.3)知： ·586·

且 满足 公 ， ， 则 ， 盆 。 川 盆 证 明 见文 献〔 〕 。 引理 。 当 铸 时 ， 简单函数在 ， 中稠 。 定义 设 ， 毛 或 二 ， 称 非负 ， 局部可积 函数 功 〔 ， ， 如 果 存 在一个 常数 ， 使得对 任意球 ，， 有 ， ，， 】 ， 。 一 ‘ ， ，。 ， 《 产 。 易见 。 〔 ， 。 任 ， ， 其 中 ，的定义 见文献〔 〕 。 引理 设 。 任 户 ， 。 则若① 户 ， 叮 或② ， 镇 镇 二有 。 任 ， 。 证 明 见文献 〕 引理 功 任 户 ， 娜 存在一 个常数 ， 使得对任意球 二 ， 和可测集 仁 有 。 ‘ ‘ 二 二 ‘ 夕 ， ， 其 中常数 依赖于 和 二 。 证 明 若 〔 ， ， 二 ， 由 。 有 ，， 。 功 一 ，二 。 切 ，， 。 ， 一 召 】 ， 尸 产 ， 。 ‘ ， ， 。 即 成立 。 反之 ， 若 。 成立 。 令 二 〔 。 一 ‘ 夕 。 则 ， 丁 夕切 、 二 川 一 。 ‘ ， ，‘ 、 ， 妙 ，。 ， ，’ 。 若 得夕 〔 〕 ” 尸 成 产 〔留 〕 “ 尸 ， 即 ， 川 ， 。 一 ’ ， 尹。 产 。 故 。 〔 ， 若 ， 对 于 夕 日 ，。 一 ’ 】 一 ， 有。 得 。 夕 《 拜 ， 即 。 夕 产 。 令 夕” 二 ， 。 一 ‘ 。 得 ， ， 】 ，。 一 ‘ 】 。 井 故 任 ， 。 由引理 和 ， 易得 。 其 中 是 与 “ ， 由 。 知 切 二 ， 抓 劣 ， 无 关的 常数

(BIfldncf(()) ≤Cx,1ifil,1/u(B∫，fau}） ≤C((B)/∫sfd)lfl,≤C(u(B)/IlXw-1‖')' 从而w∈A(p,9) 定理(2,2)设1≤9≤p1是只与k有关的常数. 显然，E,={x:Mf(x)>y}CUB;,由倍测度条件有： ·587·

户 ， ，、 ，， ， · 。 ，。 一 ‘ ， 夕 尹 ， 一 二 簇 ， ， 一 ‘ ， 、 。 可见 ， 当 二 任 ， 时 ， 对 任 ， ， 万 总有意义 。 主 要 结 果 定理 设 夕 二 ， 毛 二 或 。 如果 ， 一 毛 【 ， ， 则 脚 任 ， 。 证 明 给定球 。 ， ， 据 ， ， 可取一 个非负 函数 任 ， 的 ， 使 得 ， 。 二 ， 且 丁 。 、 二 二 了‘“ 一 ” 笋 ‘’ ‘ · 脚 一 ‘ ’‘ ‘ “ ’ 其 中 是一个 只与 、 、 。 有 关的正常数 。 对 任 ‘ 。 ， ， 显然 二 。 ， 江 二 ， 江 二 。 ， 龙 ， 应 用倍测度条 件 可 得 、 ， 二 、 二 ， “ · 。 二 ， ， 、 。 。 ， “ “ · · 、 二 。 ‘ 声 、 ‘ 丁 ， ， 、 。 由 ， 一 镇 ， 知 切 。 、 脚 ， 二 ， ，，‘ 簇 声 丁 ， 川 尸 】 宝簇 产 】 ， 功 一 ‘ 】 ，‘ ，， 户 从而。 任 ， 定理 ， 设 簇 挺 二 。 若 任 ， ， 则 ， 二 泛 】 ， 。 ， 其 中 只 与 、 、 、 二 有 关 。 证 明 ， 设 是简单 函 数 。 对正 数 ， 优哥’ ， 据文 献 〔 〕的 引理 “ ， ， 存在一 个互不 相 交的球 列 ‘ 二 ‘ ， ， 使 得若 ‘ “ ‘ ， ‘ ， 则 从 州 一 蕊“ 钊， 且对 一 切球 二 “ ， ， 只要 二 。 、 乒 ， 必 有 价 · “ ，〔 ， ， 其中， · ‘ ， 、 “ ，一 工 ， ， ， ， · 是 只与 “ 有 关的 常数 显然 ， 召 ， 州 刘 夕 仁 ，， 由倍侧度条件有 · ·

w(E,)人∑w(B,)CΣw(B,)(m,(f)1y)' C1y'zw(B,)(4(B,)‘川X,fl,‖X。w-4 ≤C/yΣ‖XB,f,. 由引理(1.7)得w(E,)≤C/y'‖f。 据引理(1.8)知，对一切f∈L(p,9)有： Mfl,.C‖f, 定理(2.3)设(X,d,4)是一个使开球是开巢的齐型空间，w是一个非负权函数，连续函 数在L'(X,wd4)中稠。设1B4(B)/w(B)}). 证明：参照文献C1)引理(4,1)即得： 引理(2.5)设(X,d,4)是满足定理(2.3)条件的齐型空间，1y} 证明：设B=B(x,ro)是X中的一个球，y4(B)/w(B)。任给x∈B,考虑S,={0y}。 若Sx非空，分下述两种情况讨论： (l)supS.≤ro/c',其中c=3k2,则存在r,满足：0supS,且 μ(B(x,rx)w(B(x,rx)>y,故u(B(x,crx)|w(B(×,crx))≤y。 为讨论第(2)种情况，先注意对x∈B有BCB(x,2kro),B(x,ro)CB(xo,2kr)。应用 “、四的倍测度条件，易得 (B(x,ro))/w(B(x,o))Cy, 其中C只与k、ω有关。 (2)supS,>ro/c,则存在r,,使得r。y, 则： u(B(x,cr,))/w(B(x,cr,))Dy 其中D>1只与k,w有关。 从而得到一个半径有界的球族{B(x,「x)}x∈B,据文献〔3)引理3知，存在其可列的互 不相交的子族{B:}={B(x,cr,)},使得其中每个球B(x,「，)必含于某个B,=B(x,cr)中。 "588·

， 诀 艺 。 ， 丈 艺 。 ， 。 ， 夕 ’ 矛 一 ’ 丫 ， ， “ ， 一 ’ 气 · ·， 功 一 ’ 簇 夕 声 石 ， 盆 。 由引理 。 得 ， 炒 尸 】 盆 。 据引理 。 矢一 ， 对 一 切 任 ， 有 材厂 ， ， 。 定理 设 ， ， 川 是 一个 使开球是 开 集的 齐型空 间 ， 功 是一个非 负权 函数 ， 连续 函 数在 ‘ ，， 川 中稠 。 设 加 ， ， 若 ， 任 ， ， 则对 一 切 丰〔 ， 有 】 ， 返 】 。 。 为证定理 ， 先介绍 下 述 引理 。 引理 设 。 任 ， ， 存在 只与 ， “ 有 关的 常数 ， 使 对 任 意 球 二 ， 和 声 ， 有 二 乓 一 刀 尸 任 。 一 ‘ 声拜 。 。 证 明 参 照文 献〔 〕引理 即得 引理 设 ， ， 川 是满足定理 条件 的 齐型空 间 ， ， 镇 ， 。 〔 刁 ， 。 则存在正常数 和 刀 ， 使得 二 尸 一 ‘ ， ‘ ，‘ 〔‘ ，， 〕 ‘ 户 ‘ ， 其中 是 中的球 ， 夕 产 ‘ ， ， 〔 ， 一 ’ ‘ 夕 证 明 设 。 ， 。 是 中的一个球 ， 夕乡产 ， 。 任 给 任 ， 考 虑 二 二 簇 。 群 ， 二 ， 夕 。 若 非空 ， 分下 述两 种情况讨论 二 镇 。 ‘ ， 其 中 。 “ ， 则 存 在 二 满 足 二 簇 。 ， 二 二 ， 且 拼 ， 二 ， 二 夕 ， 故 产 二 ， 二 。 ， 镇 夕 。 为讨论第 种情况 ， 先注意对 二 〔 有 仁 ， 。 ， ， 。 〔 。 ， 为 。 。 应 用 产 、 。 的倍测度条件 ， 易得 召 ， 。 。 二 ，尸 。 簇 夕 ， 其 中 只 与 、 ， 有 关 。 ， 。 ， 则 存在 二 ， 使 得 。 二 夏 。 ， 且声 ，尸 二 。 二 ， 二 少 ， 则 产 二 ， ， 二 ， 二 簇 少 其中 只与 、 。 有 关 。 从而 得到 一 个半 径有界 的 球 族 咬 ， 卜 任 ， 据文 献〔 〕引理 知 ， 存在其可列 的 互 不 相 交的 子族 ‘ ‘ ， ‘ ， 使得其 中每个球 ， 必 含于 某个 。 二 二 ‘ ， 、 中 。 · ·

记r=aB,r=且1CU.,B.门，则B=e含，V互不相交，且 店r,=怎宜.其中B,满是a(B,)/(8,)>y,a(B,)1u(8,)≤Dy。 若S￥=，则对一切0Bu(B,)/w(B,)})门' ≤Cy‖f pw({Y∈B:w-I(x)my})/p' 对一切f∈L(p,9),1f‖≤1取上确界，即得结论。 引理(2,6)设11和d>0,使得对任意球B, 有： w-1≤C((B)/w(B)‖，w-1lg: 其中r'=p'+p'6/q',s=q'+6。 参照文献〔1]中引理(4.3)的证明方法可得此引理。 引理(2.7)设1p'故rp,有w∈A(r2,1),由定理(2.2)知 1Mf,1w<C川f‖，1，川Mftr2C‖f‖r2、1。由〔2〕中插值定理，立得结论。 定理(2.8)设1<p<心，1<9<∞。则w∈A(p,9)的充分必要条件是w∈A,。 ·589·

记 犷 宜 口 ， ‘ 亥 一 · ， 三 ， ” ， 〕 ， 二 ‘ 二 ‘ ， 犷 ‘ 互不 相交 ， 且 日犷 ‘ 谊一 若 口 ‘ ， ‘ 一 其 中 ， 满足 拜 ， 。 ， 少 ， 甜 ， 蕊 夕 。 势 ， 贝。对一 切 。 · 、 · 。 ， 有声 ， · 、叨 。 ， · 、 ， ， 。 。 ， · ， 二 ， 功 一 ’ 山 声砚 ， 二 产 中成立 ， ， 任 集 。 由于 连 续函数在 ， “ 川 中稠 ， 故 微 分定 理 在齐型空 间 ， ， 故对 二 任 二 叻 ， 几乎 处处 关于 测 度 四 声 有 犷 ‘ 《 ， 故 又笋功 口 二 日 习 犷 ， 日 ， 其 中 是一 个 关于 测 度 二 户 的 零 测 一 设 任 ， ， 厅 ， 镇 ， 应 用 不 等 式 ， ， 的 条 件 ， 引 理 。 和 。 得 二 一 二 、 二 田 一 、 。 二 ， ， ， ， 、 、 。 一 ， 乓 月 ‘ · ， ， “ 了 ’ 〔“ 刀，’〕 一 ” ‘ ’ 簇 干 ‘ · ， ， · ‘ 厂’ 买 脚 ， ” ‘ 户 ‘ 落 夕 ， 。 乙 二 ， 户 ’ 镇 夕 】 】 ，。 〔 乙 任 ， 。 一 ‘ 二 刀声 ， 二 ， 〕 ’ ，， ‘ 镇 夕 ， 。 〔 任 一 ‘ 二 。 〕 ‘ ， ‘ 对 一切 任 ， ， 川 ， 。 毛 取上 确界 ， 即得结论 。 引 理 设 镇 二和 阴 任 ， ， 存在常数 夕 和 。 ， 使得对 任意球 ， 有 。 二 一 ‘ 二 ， ， 毛 声 丑 。 刀 ‘ 。 一 ， 仁 ， ， ‘ ’ 一 口 一 ‘ 护 ’ 二 一 、 厂 、 一 了 ‘ 一 、 一 了 “ 一 刀 一 ‘ ’ 户 ‘ 哎 ‘ 其 中 ， 户 ‘ 夕“ 。 ‘ ， ‘ 。 ， 。 参 照文 献 〔 习中引理 的 证 明 方法 可得此 引理 。 引 理 设 ， ， 和 ‘ 任刁 ， ， 则 存 在 和 ， 其 中 ， 使 得 功 任 ， 。 证 明 据引理 ， 若 则 由 “ 任 ， 有对 一 切 镇 ， 二 任 ， 。 故可设 。 。 。 引 用引理 中的 和 丫 ‘ ‘ 故 ， 又 ， 一 ， 一‘ 二 一 ‘ 一一毛 ， 一 切 〕 口 ， 一 ‘ 。 ‘ · ’ 〔。 〕 一 占 ‘ 一 ，’ ，‘ ’ 八 ， 注意到 一 占 ‘ 一 ‘ ‘ 得切 任 ， 定理 的 证 明 由引理 。 知 ， ，’ 切 任 ， 故 存 在 ， 使 得 却 任五 ， ， ， 从而 二 任 工 ， 。 再 由引 理 知 ， 对 ， 有 。 任 ， ， 由 定 理 知 一 二 ， ， 几仃 一 ， 。 由〔 〕 中插值定理 ， 立得结论 。 定理 设 ， 二 。 则 二 任 ， 的充分必要 条件是 田 任 ， 。 ·

证明：由引理(2.7)和引理(1.9)易知，w∈A(p,9)=→对一切1<s<∞有w∈A(p,s), 再注意到A,=A(p,P)即得结论。 3结 论 由证明可见，对于齐型空间(X,d,4)上的Hardy一Littlwood极大函数的加权模不等式 定理(2.1)，(2.2)，(2.3)，(2.8)成立。 参考文献 1 Huann-Ming Chung,Richard Hunt A and Douglas Kurtz S.Indiana Univ- ersity Mathematics Journal,1982,31(1):109~120 2 Richard Hunt A.Enscign Math.,1966,12:249~276 3 Calderon A P.Studia Math.,1976,57:197~306 4 Hugo.Aimar,Trans A M S,1985,292(1):135~153 重油明火钢丝热处理炉 我国钢丝行业目前普遍使用马弗式连续热处理炉，其炉型落后、生产率低、能耗高，热 效率一般在20%以下，极需改进。80年代以来，陆续从国外引进几台钢丝热处理炉。使用效 果较好的首推天津第二钢丝绳厂从日本引进的重油明火钢丝热处理炉。经厂方邀请，由冶金 部科技司立项拨款，北京科技大学热能工程系承担了对天津二绳引进炉的消化改进及设计国 产化炉任务，厂方在建炉和组织生产试验方面予以配合。 经测试证明，国产炉的主要技术性能均优于引进炉，达到国内同类型炉的最高水平，相 当于国际上80年代水平。 主要技术经济指标如下： 项目 单 位 引进炉 回产炉 差 值 炉子生产事 t/h 0.828 1.483 0,655 加子热效事 % 32.8 41.1 8.3 单位油耗 kg油/t产品 46.38 36.502 -9.878 单位热耗 10kJ/ 1.9175 1.529 -0.388 (10'上cal) (0.459) (0.366) (-0.093) 换热器效半 % 无 38.87 氧化烧损毕 % 1.098 0,8259 -0.272 炉内温度场 % 黄向<5℃ 核向<5℃ 纵向合格 纵向合格 走线根数 举 20 24 4 钢丝直径 m田 3.2 4,2 钢丝出炉温度 C 916.4 916.75 特等炉的可比单毛 4,18×10KJ/t产品 0.390 0.357 -0.033 ·590·

证明 由引理 和 引理 易知 ， 二 任 ， 今 对 一 切 二 有。 〔 ， 再注意到 ， ， 即 得 结论 。 结 论 由 证明可见 ， 对于 齐型 空 间 ， ， 那 上 的 一 、 极 大 函数的 加权模 不 等 式 定理 。 一 ， ， ， 成立 。 今 考 文 欲 一 ， ， ， 一 王 ， ， 一 。 ， ， ， ， ， 一 重油明火钢丝热处理炉 我 国钢丝 行业 目前 普遍使 用马弗式连续热处理炉 ， 其炉 型落后 、 生产率低 、 能耗高 ， 热 效 率一 般在 以下 ， 极需改 进 。 年代 以来 ， 陆续从国外引进几 台钢丝热处 理炉 。 使用效 果较好 的首推天 津 第二钢丝 绳厂 从 日本引进 的重 油明 火钢丝 热处理炉 。 经厂 方邀请 ， 由冶 金 部科技 司立项拨款 ， 北京科技 大学 热能 工程 系承担 了对天津 二绳引进炉 的消化改 进 及设 计国 产化 炉 任 务 ， 厂 方在建 炉和组织 生产试验 方面予 以配合 。 经 测试证 明 ， 国产炉 的主要 技 术性能均优于 引进炉 ， 达到 国 内同类 型炉 的最高水平 ， 相 当于 国际上 年代 水平 。 主要 技术经 济指标如下 项 目 单 位 引 进 炉 国 产 炉 差 值 。 。 。 。 。 。 一 。 一 。 一 。 油 产 品 “ ‘口曰古 九，﹄ 。 ’ 产 品 。 。 。 。 。 无 。 横向 ℃ 纵向合格 。 。 。 。 横向 ℃ 纵向合格 。 。 。 一 。 根 炉 子生 产率 炉 子热效率 单位油 耗 单位热 耗 换 热器 效 率 氧 化烧 报率 炉 内温 度 场 走线 根 数 钢 丝直径 钢 丝 出 炉 温 度 特 等炉 的可 比 单耗 ’ 卜七 一 。 一 ·