方一陆固物习题参考答案 1、布格子:每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点:如 以Cl原子为结点,取面心交方晶胞,就是NaCl的布氏格子,金刚石结构中位于正 四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同,但电子云配置方位不同,所以 是复式格子。 2、如以a1,a2,a3为正格子基矢则满足 aa=o·2x或b1=2xa2xa3 =g=a1·(a2×a3) 的b,b2,b3确定的格子叫a1,a2,a3晶格之倒格子,含a1a2座 标面为正晶格内原胞基矢a1,a2所决定之晶石,则对应晶石的 面间距为d,在a1a2法线上确定一长度p 令以=2x,当H=10,则得b1=2ma3x3 =±1± 则得相应格点 同理得b2=93×a1,_n41xa当相应的 Q =±1+2,…时,即相当于以b1,b2,b3原胞在倒易空间中平移即得整 个倒格点集合 3、体本心立方格子和面心立方格子互为正倒格子,试证明之。 设体心立方格子的结晶学晶胞( Convention cell)的基矢是a1,bc,令λ,j,k为 直角坐标的三个互垂直的单位矢 a=la, b=ja,c=ka
方一陆固物习题参考答案 1、布格子：每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点：如 以 Cl 原子为结点，取面心交方晶胞，就是 NaCl 的布氏格子，金刚石结构中位于正 四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同，但电子云配置方位不同，所以 是复式格子。 2、如以 为正格子基矢则满足。 ,, 321 →→→ aaa 同理得 当相应的 则得相应格点 令 当 则得 面间距为 在 法线上确定一长度 标面为正晶格内原胞基矢 所决定之晶石 则对应晶石的 的 确定的格子叫 晶格之倒格子 座含 或 Ω × = Ω × = ±±= Ω × = = = ×⋅=Ω= Ω × = Ω × ⋅=⋅ = →→ → →→ → →→ → →→ →→→ →→→ → →→→ →→ → →→ →→ → 31 3 13 2 32 1 213 21 321 321 21 3 321 13 2 32 1 2;2 ,2,1 2,10,2 , , , ,, ,, , ,2 )( 2 ,2 aa b aa b aa d b aad aa bbb aaa aa aaab aa b aa aa b ij ji π π μ μπμρ π ρ π πδ π LL . ,,2,1 ,, 321 个倒格点集合 时 即相当于以 原胞在倒易空间中平移即得整 →→→ μ ±±= LL bbb 3、体本心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。 设体心立方格子的结晶学晶胞（Convention cell ）的基矢是 令 为 直角坐标的三个互垂直的单位矢 ,, 11 →→→ cba →→→ λ ,, kj akcajbaia →→→→ → ,, === 49
这个体心立方格子的固体物理学原胞( Primitive cel)的三个基矢,按规定 定义 b1 b 2 a2×a a,×a 它们是倒点阵的固体物理学原胞 ( Primitive cell三个基矢 这个倒点阵的结晶学胞原( Convention cell))应当是显示其立方晶系对称 性的最小重复单元。设它的三个基矢b,b,b4则b,b,b组成面心立方晶胞。设它 们的是b 则b1=(j+k)b2==(R+i) 得b=-2r 结论基矢是a=ia,b=ja,C=ka,的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞 为面心原胞,它的倒格子基矢 b b k =k 同样方法可证 面心立方正格原胞基矢如 a=i a 对应倒格子的结晶学原胞是体心立方晶胞,它的基矢 b b b
这个体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell）的三个基矢，按规定 )( 2 ),( 2 ),( 2 1 2 3 → →→→→ →→→→ →→→ ++=−−=++−= kj a akj a akj a a λ λ λ 的三个基矢 它们是倒点阵的固体物理学原胞 定义 (Primitive cell) )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 2 1 ,2: 3 2 1 2 32 3 321 2 3 32 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ += += += +=× =×⋅=Ω = = Ω × = → →→ → →→ → →→ →→ →→ →→→ → → →→ → ji a b ik a b kj a b kj a aa aaaa b b aa b π π π π 这个倒点阵的结晶学胞原（Convention cell）应当是显示其立方晶系对称 性的最小重复单元。设它的三个基矢 则 组成面心立方晶胞。设它 们的 是 b →→→ kji ,, bbb →→→ kji ,, bbb π π 2 2 , 2 2 )( 2 )( 2 )( 2 1 2 3 ⋅== += += += → →→ → →→ → →→ a b b a ji b biR b bkj b b 即 得 则 结论基矢是 的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞 为面心原胞，它的倒格子基矢 akCajbaia ,,, →→→→ → === π π 2π 2 2 2 2 2 ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= →→ →→ →→ a kb a jb a i ib j k 同样方法可证： 面心立方正格原胞基矢如： akcajbaia 时 →→ →→ →→ = , = , = 对应倒格子的结晶学原胞是体心立方晶胞，它的基矢 π π 2π 2 2 2 2 2 ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= →→ →→ →→ a kb a jb a i ib j k 50
4、基矢a=ai,b=b,c=kc 晶面族(h,k,D的面间距为d 令a’,b,c为相应的倒基矢 b =a(b×c) Khk/=ha +kb+Ic d h 对于正交晶系为h=1,k=1,=0为简单指数时 d1 面间距较大的之 又因为某个晶体的原胞体积总是不变的,原胞体积g=dh·Ah;A为(h,k,D晶面 上面积元的面积(即h,k,1)晶面的二维晶格的原胞,晶格对应着固定的Ω,但是h k、l不同时,则对应着不同形状的二维原胞,dh愈大,则Ah愈小,密度一定,A小, 面密度大:因d大,二晶面互作用弱,易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h, k,D面解理,即解理面,一般是简单指数的晶面。 5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如 求倒子基矢 X a
4、基矢 = = ⋅= ckcjbbiaa →→ →→ →→ , , 晶面族（h，k，l）的面间距为 d。 令 为相应的倒基矢 →→→ *** ,, cba 2 1 2 2 2 *** ,, * * * )()()( 2 )( 2 2 2 − → →→→ →→→ →→ → →→ → →→ → ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++== ++= ×⋅=Ω Ω × = Ω × = Ω × = c l b k a h K d clbkahK cba ac c cb b ba a hkl nkl lkh r π π π π 对于正交晶系为 h=1, k=1, l=0 为简单指数时 d100=a 面间距较大的之一 又因为某个晶体的原胞体积总是不变的，原胞体积Ω=dhkl·Ahkl；A为(h, k, l)晶面 上面积元的面积（即h, k, l）晶面的二维晶格的原胞，晶格对应着固定的Ω，但是h、 k、l不同时，则对应着不同形状的二维原胞，dhkl愈大，则Ahkl愈小，密度一定，A小， 面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h, k, l)面解理，即解理面，一般是简单指数的晶面。 5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如 → → → → → → →→ += +−= = kcaji a ajai a a1 2 3 2 3 2 2 3 2 求倒子基矢： 解： ;, 213 →→→ ⊥ aaa Y k r a3 r → → → → → → →→ +−= += == jai a a jai a a aaa 2 3 2 2 3 2 2 1 21 X j r a2 r a1 r i r 51
→→ =ck g=aa1×a3=3a2c h=2z22×a12z1+1ac)=i+ 同理可得:b2b3 7、把等体积的硬球堆成下列结构,求证球可能占据的最大体积和总体积之比。 解:(1)简立方a=2r 比 z 6 (2)体心立方体对角线=2r+r+r 体对角线=(a2+a2+a2) 简立方 2 比 ()8 (3)面心立方晶胞面对角线=4r 体心立方 2a2=16 比 (√r)33√832 (4)六角密积 原胞体积=/O441A2xC=a2xc 面心立方 令为球之半径:a=2c=(9.2r 比 44:()x.2r32 (5)金刚石: 参考P19图四面体原子互相接触,四面体所决定的立方体边长为,比立方体 的体对角线为4r,则由图(r)2=(号)2+(号)+(号) 比=(+6+4m)=85z 8、(x-射线)如x射线沿简立方晶胞的oz方向入射,求证:当
a j a iac a i ac j aa b ca a kca aaa 1 3 22 ) 3 2 ( 2 2 3 32 1 2 3 321 + ⋅+= Ω = Ω × = = =×⋅=Ω → → → → →→ → → → →→→ π ππ π →→ 32 同理可得 ,: bb 7、把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比。 解：（1）简立方 a=2r 8 6 3 3 3 4 3 3 3 4 ππ π === r r a r 比 π π 8 3 )( 2 34 ( ) )2( 2 3 3 4 3 3 4 2 1 222 = × = = ++= ++= r r ar aaa rrr 比 体对角线 体心立方 体对角线 简立方 a →← （3）面心立方 晶胞面对角线=4r 体心立方 2383 2 )8( 4 162 8 3 3 3 4 2 2 π π π == × = = = r r rara 比 （4）六角密积 2)(4 23 2 2) 3 8 (2: 2 3 2 1 3 2 8 2 3 3 3 4 2 1 2 216 π π = ⋅⋅⋅ × = ⋅== = ×=× rr r r cra r caCAAOA 比 令 为球之半径 原胞体积 面心立方 （5）金刚石： 参考 P19 图四面体原子互相接触，四面体所决定的立方体边长为 2 a ，比立方体 的体对角线为 4r，则由图 2 2 2 2 2 2 2 )()()()4( aaa r ++= π π π π 16 3 44 )461( 8 3 3 3 8 3 3 4 3 3 3 4 2 1 3 2 1 = ⋅ = ⋅⋅⋅ = ⋅+⋅+ = a a a r 比 8、（x-射线）如 x 射线沿简立方晶胞的 oz 方向入射，求证：当 52
k+le 和CaB2=+k2 时,衍射线在y平面上,其中是衍射线和o方向的夹角 解:入射线S和衍射S之间夹角为20 (衍射线) 2dsin0=n令n=1 简立方面间距为 d (2) (2+k2+1P)k 因衍射线和入射线必在一个平面内, (已知条件之一) cosF2=cos(-20)=-cos26=-(1-2sin2-12+k2 得sn=/7 (3) 12+k 由(1)、(2)、(3)得 (4) 但衍射线的a和λ还必须满足第二条件 k212 上式与(4)式对比,可知必须h=0,而h=0的(h,k,1)面必须平行ox轴,即(ok)面 法线与ox轴垂直,令N射线S0∥OZ轴,所以衍射线S必在YZ面上Q,E,D 9、(x射线)在氯化钾晶体中,在0,0002022诸点:C在 22200.00诸点,试对衍射线面指数和衍射纯度的关系 解:kCl是复式格子 ∑∫ Chu + kv +h ∑Jsin2m( 令∫=f;f=f2
22 2 lk l l a + λ = 和 22 22 2 k kl Cos + + = λ β 时，衍射线在yz平面上，其中β2是衍射线和oz方向的夹角。 解：入射线 和衍射 0 S r S r 之间夹角为 2θ β 2 2θ s 衍射线 )( r 0 s r 2dsinθ=nλ 令 n=1 （1） 简立方面间距为： 2 1 222 ( lkh ) a dhkl ++ = （2） 因衍射线和入射线必在一个平面内， （已知条件之一） 22 22 2 2 cos )sin21(2cos)2cos( k kl + + =−−=−=−= λ θπβ θ θ 得 2 1 22 2 sin ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = kl l θ （3） 由（1）、（2）、（3） 得 2 1 2 222 1 22 ()( ) 2 hklkl l a +++ λ = （4） 法线与 轴垂直 令 射线 轴 所以衍射线 必在 面上 。 上式与 式对比 可知必须 的而 面必须平行 面即轴 但衍射线的 和 还必须满足第二条件 ox OZSN DEQYZS lkhhh oklox lk l a N a , ,// ,, ,)4( ),,(0,0 )(, 2 0 22 → → == = λ 9、( x射线) 在氯化钾晶体中，k + 在 0, 0, 0; ; 2 1 , 2 1 ,0; 2 1 ,0, 2 1 ;0, 2 1 , 2 1 诸点；Cl- 在 ,00 2 1 ,0 2 1 0, 2 1 2 1 2 1 诸点，试对衍射线面指数和衍射纯度的关系。 解： 是复式格子 Clk ] 1 2 2 2 * 2 ; ( ) (2sin ) 2cos ffff lwkvhu lwkvhunf nfFFFI k cl j jjj j jjj j hkhkl hkhk j == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++ ++ ⎢ ⎣ ⎡ =⋅=∞ ∑ ∑ 令 π l ll π 53
Ihkoof+cosn(h+k)+cosn(h+)+cosnT(k+DI +f cosn(h+k+D)+cosnzl +conk+cosh]) G[+sinn(h+k)+sinn(h+D)+sinn(k+D +slsinnz(h+k)+sinnze+sink +sinnoh) 讨论 (1)当h,k,1只为整数时,包括sinr(h+k+1)的部分为0,不必考虑; (2)当mh,nk,m/中有一个为奇数,其它两个为偶数时=0, (3)当mh,nk,nP中有二个为奇数,一个为偶数时,=0, (4)当mh,mk,n全为奇或全为偶,衍射不为0,其中全为偶数时强度最大 10、(米勒指数)六角晶系中见P343,晶面常用四个指数(h,k,l,m)表示,它们 代表一个晶面在六角形半面基矢a1,a2,a3轴上的截距为aa2,a;在六度轴上的截 距为二,试写出0A43,A1A3B1B3,A2B2A和A1A2A34A3A4的面指数。 解:0A1A的截距为1,1,-,1,面指数为(1121 AA3B3B的截距为,1,-,∞面指数为(120) A2B2B34的截距为1,-1,∞,∞面指数为(1100) AA243A4A3A的截距为∞,∞,∞,1面指数为(0001) 补充1:试画出面心立方晶体(112)面上的原子分布图,并求出这个晶面上的二 维晶胞基矢 解:令a=ia∫.cc晶胞的基矢为a,b,c →b→c J a k a 平面ABCD为(12晶面,其中 c=ka D点为,,0,C点为0,0 把CD线如何上平移a,则C点 a= 移到原点0D点移到1,1,1 a 222 恰是立方晶胞的体心D’
{ [ ] [ ] } { [ ] [ ]}2 2 1 2 2 1 sinsinsin)(sin )(sin)(sin)(sin0 cos)(cos cos cos )(cos)(cos)(cos1 hnknnlkhnf lknlhnkhnf hnknlnlkhnf lknlhnkhnfI hk π πππ π π π π πππ π π π + +++++ +++++++ + +++++ +++∞ + + + l l 讨论： 当 全为奇或全为偶 衍射不为 其中全为偶数时强度最大。 当 中有二个为奇数 一个为偶数时 当 中有一个为奇数 其它两个为偶数时 当 只为整数时 包括 的部分为 不必考虑 ,,)4( ,0, ,,)3( , ;0, ,,)2( , ;0 ,,)1( ;,0)(sin, nlnknh nlnknh I nlnknh I lkh lkhn = = π ++ 10、（米勒指数）六角晶系中见 P343，晶面常用四个指数(h, k, l, m)表示，它们 代表一个晶面在六角形半面基矢 321 ,, aaar r r 轴上的截距为 l a k a h a 21 3 ,, ；在六度轴上的截 距为 m c ，试写出 的面指数。 654321522313131 ,,'0 和 AAAAAAABABBAAAA )1211(,1, 2 1 0: ,1,1 解 ′ AA 31 的截距为 − 面指数为 )1000(1,,, ,,1,1 )0011( , )0211( 2 1 ,1,1 654321 5522 1331 的截距为 面指数为 的截距为 面指数为 的截距为 面指数为 ∞∞∞ ∞∞− ∞− AAAAAA ABBA BBAA 补充 1：试画出面心立方晶体（1 1 2）面上的原子分布图，并求出这个晶面上的二 维晶胞基矢。 akc ajb ccfaia cba →→ →→ →→ →→→ = = :令解 = .. 晶胞的基矢为 ,, akc r r = a1 r aj r − ajar r = a2 r ajbc r r =− ; 2 1 ,0,0,0, 2 1 , 2 1 ,)211( 点为 点为 − 平面 为 其中晶面 D C ABCD 恰是立方晶胞的体心 。 移到原点 点移到 把 线如何上平移 点则 D D CD Ca ′ , 2 1 , 2 1 , 2 1 ,0 , 2 1 54
CD线是[l到族中的一个晶列,因为晶列的全同性∴三DC线在(112)量面内 距D原子最近的原子间距即体对角线它的长短和方向用a1表示 a1=a(i+j+k),它即是(112)面上二维晶胞基矢之一,以DA为二维 晶胞的另一基矢a2,显然 a2=(i-j) 因 这是一个长方形二维晶胞,以此晶胞在平面ABCD上做周期重复,即得(11 2)面上的原子分布 [注]:(1)a1,a2晶面是(112)晶族中通过原点0的那个晶面,因为族中所有 晶面都是完全相同的,所以研究晶面族中任意的一个就可以了 (2)(112)晶面上的其它形状的原胞,不能直接显示这个二维晶面上的原子 分布的正交对称性,但也可以得出同样的(112)上的原子分布图。 11、设晶体中每对原子的平均结合能力为4-B 平衡时,m=28×10米,其结合能力U=8×10焦耳,试计算A和B以及晶体的 有效弹性模量。 F: U(r)=A. r--Br; /o=2.8A 平衡时:6=0=B62-940 (1) r6=2.8×10米 (2) B=9A U(G)=-B62+8“=8×10焦耳 A=10-49.r9 (2)代入(3) A=101·0=(28×10-0米)”·10-(焦) ÷1.06×10-米”·焦
距 原子最近的原子间距即体对角线 它的长短和方向用 表示 线是 晶到族中的一个晶列 因为晶列的全同性 在线三 晶面内 . , 1 ]111[ , ])211([ → ∴ D a CD DC 1 )( ，它即是（1 1 → →→→ ++= kjiaa 2）面上二维晶胞基矢之一，以 DA为二维 晶胞的另一基矢 2 a r ，显然 )( 2 2 → →→ −= ji a a aa aa aa aa 2 2 3 0 1 2 21 21 = = =⋅ ⊥ → → →→ →→ 因 这是一个长方形二维晶胞，以此晶胞在平面 A B C D 上做周期重复，即得（1 1 2）面上的原子分布。 [注]：（1） 晶面是（1 1 →→ 21,aa 2）晶族中通过原点 0 的那个晶面，因为族中所有 晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一个就可以了。 （2）（1 1 2）晶面上的其它形状的原胞，不能直接显示这个二维晶面上的原子 分布的正交对称性，但也可以得出同样的（1 1 2）上的原子分布图。 11、设晶体中每对原子的平均结合能力为 r B r A − 9 平衡时，n0=2.8×10-10米，其结合能力|U|=8×10-19焦耳，试计算A和B以及晶体的 有效弹性模量。 8 0 10 0 10 0 2 0 0 0 9 1 9 108.2 90: )(: 8.2; − − − − − − = ×= −== ∂ ∂ =−⋅= ArB r ArBrr r u ArBrrArU 米 平衡时 解 o （1） （2） 9 0 19 91 19 0 0 10 )( 1088 rA rBrrU ⋅= ×=+−= − − − − 焦耳 （3） ][1006.1 )(10)108.2(10 :)3()2( 9105 9 19910 0 19 焦米 米 焦 代入 ⋅×= ⋅×=⋅= − − − − & rA 55
B=9A3=9×10=9×28×10 2.52×10 K=v 设晶体为S·C 因 是晶体中每对原子的平均结合能 所以可令(r)= 设晶体结构为简立方 是每个原子平均能量asl(r) A B U=Nu K=V0(2)v=N du dr d 1 d d d「1dl1「d d dd 1=373」=31d(3)b+yad 因,=0第一项为0 1 d2u 1 dour K )R0 9Ar+ Br a2u =90Ar--2 Br 0Ar-I-2Br 104r-2-2B 将,A,B的值代入上式得K÷36×10“达因/cm 12、有一晶体,在平衡时的体积为V,原子间总相互作用能量为V,如果原子间 相互作用能由式
28 29 0 8 19 0 1052.2 108.291099 − − − − ×= ArB r & ××=×== : 2 )(, )( 9 9 3 2 2 0 0 设晶体结构为简立方 可令所以 因 是晶体中每对原子的 均平 结合能 设晶体为 N r B r A rV r B r A NrNuVCS v u VK V ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= − ⋅ == ∂ ∂ = •• ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ′′ ′ −== = = r B r Aru uuNU u NrvrV 9 3 3 2 1 2 )( ; 是每个原子平均能量 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−= ⎥ ⎦ ⎤ + ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅=⋅== ∂ ∂ =⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = − 2 2 2 3 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 0 3 1 3 2 3 1 3 1 ) 3 1 ( 3 1 3 1 3 1 3 1 ;3 1 )( 0 0 dr d rdr d r r dr d dr d rdr d rdr d rdr d rdr d rdv d dr d rdr d dv dr dv d r dr du V u u V Nv v NVv v u VK V V 0 ,0 0 因 ∴= 第一项为 dr V du 11 3 2 2 10 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 4 0 3 0 290 9 )( 9 9 1 9 1 0 0 − − − − −= ∂ ∂ +−= ∂ ∂ ∂ ∂ = ′ = ′ = BrAr r u BrAr r u R r u v r dr ud rdr ud r rK r r [ ] [ ] 4 0 11 3 12 0 290 9 1 290 9 1 − − − − = BrAr =− − BrAr r K 11 2 将 o ,, BAr 的值代入上式得K & ×⋅= 达因/1063 cm 12、有一晶体，在平衡时的体积为V0，原子间总相互作用能量为V0, 如果原子间 相互作用能由式 56
V(r)=-a/r"+B/r"m 所表达,试证体积弹体模量可由(m/9)得出 解:设晶体为简立方晶胞,晶胞体积为y=3,晶体体积v=M3,晶体的结合能E 从1题可知k=5[E 如把(r)=-a/r2+B/rm理解为晶体内为某一原子,对其它原子总的作用能, 则E=(r) K B a =mn+1m-2+mm+) 原子间总相互作用能E0=U0=V() B 解:(1),(3把α,P为未知量,则得 B 把a,f值代入(2),再把(2)代入K的定义式 K=oU. 讨论:如把r(r)=-a+B理解为晶体内两个原子间的相互作用能:则晶体指 定参考原子,对晶体内全部原子的作用能是 为最近临原子距离,在S,C即单胞之边长 p()=∑犯a,时(-a)+(aR)"B ∑(a∑(风 令A=∑(an) B=∑(")
n m )( +−= βα rrrV 所表达，试证体积弹体模量可由 )9( 0 0 vmnU 得出 解：设晶体为简立方晶胞，晶胞体积为v=r 3 ，晶体体积v=Nr3 ，晶体的结合能E， 从 11 题可知 0 2 2 0 2 0 9 r r E v r K ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = 如把 n m )( +−= βα rrrV 理解为晶体内为某一原子，对其它原子总的作用能， 则 )( 2 → = rV N E [ ] )1()1( )2( 0 )1( ) 2 ( 9 2 2 2 2 )1( 0 1 0 2 2 0 2 0 0 0 0 −− −− + + +++−= ∂ ∂ −= = ∂ ∂ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ = n m r n m r r rmmrnn r v r m r n r u r v n v r K α β α β 原子间总相互作用能 )3( 2 )( 2 00 00 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − === mn rr N rV N UE βα N vr N vr n m m m n n 2 1 , 2 1 ,)3(),1(: :, 00 00 ⋅ − ⋅ = − α = β 解 把α β为未知量 则得 0 9 0 )2(),2(, U V mn K K = 把α β值代入 再把 代入 的定义式 讨论：如把 mn rr rV α β )( +−= 理解为晶体内两个原子间的相互作用能；则晶体指 定参考原子，对晶体内全部原子的作用能是 R：为最近临原子距离，在 S，C 即单胞之边长 { } [ ] m i m i n i n i m i i n i R a R a RarV Ra ∑∑ ∑ − − − − + − = ′ = +− ( )( )()(,)( α β α β 令 ∑ ∑ − − = = i m i i n αaA i )( βaB )( 57
(R) A B +;晶体体积=NR=V RR 10=(nn+n)=F(R0) E 3P(R.其它步骤同上,从E0=(R)=V aR=0,解出A,B再把,B代入 K R[G(R即得 13、已知有N个子组成的NaCl晶体,其结合能为 N ae- B 令若干排斥项夕由Cexp(-rl)来代替,且当晶体处于平衡时,这两者对垂作用 势能的贡献相同,试求出n与p的关系 N「ce2 解:V(r)= 2 4TEor 0 E 由已知条件B/n=Cexp(-) (2)代入(1) B )-02+2 4. )B 14、试证一维离子晶体的F2ln2 0 0 解:令某个正离子“0”为原点
即得 和 解出 再把 代入 其它步骤同上 从 晶体体积 0 0 2 2 2 0 2 0 0 00 0 00 0 0 3 0 )( ,,,0 )( )( 2 ),( , 2 )( 2 )( 2 )( ; R N R mn mn R RV aV R K BABA R RV VRV N RV E N E RV N R B R AN V VNR R B R A RV ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ′ = = ∂ ∂ ′ = ′ = ′ = =+ ′ − = + == − ′ = 13、已知有 N 个子组成的 NaCl 晶体，其结合能为 ) 4 ( 2 )( 0 2 n rrE eN rV β π α −= − 令若干排斥项 n r β 由 Cexp(-r/ρ)来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对垂作用 势能的贡献相同，试求出 n 与ρ的关系 )5(0 1 )4/(0 )exp( )/exp( 42 )(: 2 0 00 2 0 2 0 = − ⋅ − ∴= −⋅ ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= −− − ρρ πεα ρ πε α r Cre r V rC r eN rV r 解 由已知条件 )exp( 0 0 ρ r C r B n − = (2) （2）代入（1）： n n r e f rr e − − − − = ⋅ =+− 2 0 1 0 2 0 2 0 0 2 ) 4 ( ) 0 4 ( β πε α ρ β πε α 14、试证一维离子晶体的μ=2ln2 3 0 2 0 1 0 "0" 0 00 0 + − + − −+ 14243R 解：令某个正离子“0”为原点 58
