成都理工大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件）第九章 静电场中的导体和电介（9.4）有介质时的高斯定理

94有介质时的高斯定理 E·dS (0-9) 6○ O 8 电容率E=E0r O f Edsg O Or 电位移矢量D=6EE=E(均匀各向同性介质) 有介质时的高斯定理万4S=∑Q

0 r ' r 1 Q Q   − = ( ) 1 d ' 0 0 E S Q Q S  = −     D E E    =   =  电位移矢量 0 r （均匀各向同性介质）  0 − 0 ' − '  + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - r  S 电容率 0 r  =   0 r 0 d   Q E S S  =    有介质时的高斯定理   =  i i S D dS Q0   9—4 有介质时的高斯定理

D=P+60E(任何介质) 电位移矢量 D=￡E(均匀介质) 有介质时的高斯定理dS=∑9n 电容率 8=88 极化电荷面密度 o'=P C=EC0E=E/En(均匀介质) 注意 有介质时求场量的步骤D→E→U

极化电荷面密度 n ' = P C r C0 =  0 r E = E  电位移矢量 D P E    0 = +  （任何介质） D E   =  （均匀介质） 有介质时的高斯定理   =  i i S D dS Q0   电容率 0 r  =   （均匀介质） 有介质时求场量的步骤 D → E →U   注意

例1把一块相对电容率E=3的电介质放在极 板间相距d=1m的平行平板电容器的两极板之间 放入之前,两极板的电势差是1000.试求两极板间 电介质内的电场强度E,电极化强度P,极板和电介 质的电荷面密度,电介质内的电位移D 解E= U1000 V- m=10V.m=10kV.m d10 E=E/En=333×103kVm2 P=(E1-1)60E=589×10°Cm2 o=8.85×106C.m2 o=P=589×10C.m D=EE=EE0=o0=885×10°Cm2

例1 把一块相对电容率 的电介质,放在极 板间相距 的平行平板电容器的两极板之间. 放入之前,两极板的电势差是 . 试求两极板间 电介质内的电场强度 , 电极化强度 , 极板和电介 质的电荷面密度, 电介质内的电位移 .  r = 3 1000V E P D d =1mm 解 1 6 1 3 1 0 3 V m 10 V m 10 kV m 10 1000 − − − − = =  =  =  d U E 2 1 3.33 10 kV m − =   6 2 ( r 1) 0 5.89 10 C m - P = − E =   −   6 2 0 0 0 8.85 10 C m − −  =  E =   6 2 ' 5.89 10 C m − −  = P =   6 2 0 r 0 0 0 8.85 10 C m - D = E = E = =   −     0 r E = E 

例2一平行平板电容器充满两层厚度各为d1和d2 的电介质,它们的相对电容率分别为En1和,极板 面积为S.求(1)电容器的电容;(2)当极板上的 自由电荷面密度的值为O0时,两介质分界面上的极化 电荷面密度 解(1)D·dS=σS D E E 0 OrI 2 D +牛+++O2 E 2 0r2

+ + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - d1 2 d + 0 − 0 例2 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和 的电介质，它们的相对电容率分别为 和 , 极板 面积为 . 求（1）电容器的电容；（2）当极板上的 自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化 电荷面密度. d1 2 d r1  r2  S  0 - - - - - - + + + + + + ' −1 ' +1 + + + + + + - - - - - - ' + 2 ' − 2 S1 D dS 0 S1 S  =    D = 0 E1  E2  0 r1 0 0 r1 1      = = D E 0 r2 0 0 r2 2      = = D E 解（1）

E, +O 0r2 0r2 2 U=Ed=Ed,+e2d2 +O -----: En1-1 (2) E,0 C Orl r2 2 u edtad 2

1 1 2 2 U E dl E d E d l =  = +    ( ) r2 2 r1 1 0    d d S Q = + r1 2 r2 1 0 0 r1 r2 d d S U Q C      + = = 0 r1 r1 1 1 '     − = + + + + + - - - - - + + + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + - - - - - d1 2 d + 0 ' −1 ' +1 ' + 2 ' − 2 − 0 S1 E1  E2  0 r2 r2 2 1 '     − = （2） 0 r1 0 0 r1 1      = = D E 0 r2 0 0 r2 2      = = D E

例3常用的圆柱形电容器,是由半径为R1的长 直圆柱导体和同轴的半径为R,的薄导体圆筒组成, 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为E,的 电介质设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+2 和一元.求(1)电介质中的电场强度、电位移和极 化强度;(2)电介质内、外表面的极化电荷面密度 (3)此圆柱形电容器的电容 R

r 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长 直圆柱导体和同轴的半径为 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； （３）此圆柱形电容器的电容． +  R1 R2 r  − R1 R2 +  − 

米,,,,m R 解(1) D·dS=A D2兀r=D 2丌r D E (R1<r<R2) P=(61-1)0E 2丌Er

D S l S  =     解（1） d D2π rl = l r D 2π  = r D E 0 r 2π 0 r      = = ( ) 1 R2 R  r       r P E r r r 0 2π 1 ( 1) − = − = R1 R2 r +  − 

R (2)由上题可知 E1"26(r=R) D E 2丌 2 (r=R2) 0 2丌EE.R (1-1)s0E1=(E1-1) 2元ER (1-1)EE2=(E1-1) 兀E1R2

（２）由上题可知 r 1 1 r 0 1 r 2π ' ( 1) ( 1) R E    =  −  =  − r 2 2 r 0 2 r 2π ' ( 1) ( 1) R E    =  −  =  − 0 r 1 1 2π R E    = ( ) R1 r = 0 r 2 2 2π R E    = ( ) R2 r = r D E 0 r 2π 0 r      = = R1 R2 r +  − 

米,,,,m R (3)由(1)可知E=2 (R1<r<R2) 2T 8 Er R 2 adr R E·d R12兀E0Er 2t door R C 26061/h R2 6,Cn真空圆柱形 电容器电容 R 单位长度电容=2兀 R

真空圆柱形 电容器电容 （３）由（１）可知 r E 0 r 2π    = ( ) 1 R2 R  r    =  = 2 1 2π 0 r d d R R r r U E r      1 2 0 ln 2π R R r    = 1 2 0 r 2π ln R R =   l U Q C = r C0 =  1 2 0 r 2π ln R R l C 单位长度电容 =   R1 R2 r +  − 