信号与系统电来第六章离散系统z域分析 6.1z变换 从拉普拉斯变换到z变换一 收敛域一 6.2z变换的性质→ 6.3逆z变换→ 6.4z域分析 差分方程的变换解 系统的z域框图→ 、利用z变换求卷积和→ 四、s域与z域的关系哪 五、离散系统的频率响应冖 点击目录→,进入相关章节 第贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-1页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第六章 离散系统z域分析 6.1 z 变换 一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域 6.2 z 变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z 域分析 一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、利用z变换求卷积和 四、s域与z域的关系 五、离散系统的频率响应 点击目录 ，进入相关章节
信号与系统电来 第六章离散系统z域分析 在连续系统中,为了避开解微分方程的困难,可以 通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的 动机,也可以通过一种称为变换的数学工具,把差分方 程转换为代数方程 6.1z变换 、从拉氏变换到z变换 对连续信号进行均匀冲激取样后,就得到离散信号: 取样信号f(O)=f()61()=∑f(kn)(-k7) 两边取双边拉普拉斯变换,得 第6贝14|4> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-2页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第六章 离散系统z域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以 通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的 动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方 程转换为代数方程。 6.1 z变换 一、从拉氏变换到z变换 对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: =− = = − k S T 取样信号 f (t) f (t) (t) f (k T) (t k T) 两边取双边拉普拉斯变换，得
信号与系统电来 f5(s)=∑f()e k=-00 令z=e,上式将成为复变量z函数,用F(功表示; f(kT)→f(k),得 称为序列f(k)的 F()=∑f(k)k 双边变换 F()=∑f(k)2 称为序列f(k)的 k=0 单边z变换 若f(k)为因果序列,则单边、双边z变换相等,否则不 等。今后在不致混淆的情况下,统称它们为z变换。 F(z)=Z|f(k)l,f(k)=zF(z)l;f(k)←→F(z) 第H44D日西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-3页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 =− − = k kTs S b F (s) f (k T) e 令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示； f(kT) →f(k) ，得 =− − = k k F(z) f (k)z 称为序列f(k)的 双边z变换 = − = 0 ( ) ( ) k k F z f k z 称为序列f(k)的 单边z变换 若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不 等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Z[f(k)] ,f(k)= Z -1 [F(z)] ；f(k)←→F(z)
信号与系统电来 6.1z变换 二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和,显然只有当该幂级 数收敛,即 ∑|/(k)=A|<o 时,其夜变换才存在。上式称为绝对可和条件,它是 序列f(k)的变换存在的充分必要条件 收敛域的定义: 对于序列k,满足∑/()= 所有z值组成的集合称为z变换F()的收敛域。 第64贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-4页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.1 z变换 二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级 数收敛，即 =− − k k f (k)z 时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是 序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。 收敛域的定义： 对于序列f(k)，满足 =− − k k f (k)z 所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域
信号与系统电来 6.1z变换 例1求以下有限序列的夜变换(1)f1(k)=8(k)k=0 解 (2)f2(k)={1,2,3,2,1} (1)F(=)=∑6(k)=∑(k)==1 可见,其单边、双边变换相等。与z无关, 所以其收敛域为整个z平面。 (2)f(心k)的双边z变换为 F2(2)=2+2n+3+21+z2收敛域为00 对有限序列的z变换的收敛域一般为0<zk∞,有时 它在0或和∞也收敛 第6贝14| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-5页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.1 z变换 例1求以下有限序列的z变换(1) f1 (k)=(k) ↓k=0 (2) f2 解 (k)={1 , 2 , 3 , 2,1} (1) 1 ( ) = ( ) = ( ) = 1 =− =− − − k k k k F z k z k z 可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关， 所以其收敛域为整个z 平面。 (2) f2(k)的双边z 变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为0 0 对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时 它在0或/和∞也收敛
信号与系统电来 例2求因果序)=的)=0. 6.1 换 k≥0 的z变换(式中a为常数)。 解:代入定义 ()=∑ d z =im ∑(a=) C C 可见,仅当az1k|a|=时,其z变换存在。 F,(z) 收敛域为|z|>al Reza 第66贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.1 z变换 例2 求因果序列 = = , 0 0, 0 ( ) ( ) a k k f k a k k k y 的z变换（式中a为常数）。 解：代入定义 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) lim ( ) lim − − + → = − → = − − − = = = az az F z a z az N N N k k N k k k y 可见，仅当az-1 a =时，其z变换存在。 z a z F z y − ( ) = Re[z] jIm[z] |a| o 收敛域为|z|>|a|
信号与系统电来 6.1z变换 例3求反因果序列f/(k) k 6.k<o =bE(-k-1) 0.k≥0 的z变换。 解Ff()=∑z)=∑(b b-z-(bz)+1 一00 1-b-1z 可见,|bzk1,即kkb时,其夜变换存在 A JIm[= b b 收敛域为|z<|b Re[-] 第6贝4⊥D 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.1 z变换 例3 求反因果序列 的z变换。 解 ( 1) 0, 0 , 0 ( ) = − − = b k k b k f k k k f b z b z b z F z bz b z N N m m k k f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim − − − + → = − − =− − − − = = = 可见，b -1z<1,即z<b时，其z变换存在， z b z F z f − − ( ) = 收敛域为|z|< |b| |b| Re[z] jIm[z] o
信号与系统电来 6.1z变换 例4双边序列f(k)=f(k)+f(k)= b,k<0 k≥0 解的z变换。 F(=)=F,()+F(=) jm[-] z-b 可见,其收敛域为 kzk lb (显然要求ak<b,否则无共 同收敛域) Re[-] 序列的收敛域大致有一下几种情况: (1)对于有限长的序列,其双边变换在整个平面; (2)对因果序列,其变换的收敛域为某个圆外区域; (3)对反因果序列,其变换的收敛域为某个圆内区域 (4)对双边序列,其z变换的收敛域为环状区域; 第H44D日西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.1 z变换 例4 双边序列f(k)=fy (k)+ff (k)= 解 , 0 , 0 a k b k k k 的z变换。 z a z z b z F z F z F z y f − + − − ( ) = ( ) + ( ) = 可见，其收敛域为a<z<b （显然要求a<b，否则无共 同收敛域) o |a| |b| Re[z] jIm[z] 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
信号与系统电来 6.1z变换 注意:对双边z变换必须表明收敛域,否则其对应的原 序列将不唯一。 例 f1(k)=2ke(k)←→F1(Z)= z}>2 f2(k)=-2ke(k-1)←→F2(z= z1 E(-k-1) zk 第69贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.1 z变换 注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原 序列将不唯一。 例 f 1 (k)=2k(k)←→F1 (z)= z − 2 z , z>2 f 2 (k)= –2 k(– k –1)←→F2 (z)= z − 2 z , z0 (k) z −1 z ，z>1 –(– k –1) ，z<1
信号与系统电来 6.2z变换的性质 6.2z变换的性质 本节讨论变换的性质,若无特殊说明,它既适 用于单边也适用于双边z变换。 、线性 若f1(k)←→F1(z)a1<zkB1, f2(k)←→F2(k)a2<zβ2 对任意常数a1、a2,则 a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(2)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1()与F2(收敛域的相交部分。 3z 例:28(k)+38(k)←→2 第61014|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第6-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.2 z变换的性质 一、线性 6.2 z变换的性质 本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适 用于单边也适用于双边z变换。 若 f 1 (k)←→F1 (z) 11