信号与系统电来 第三章离散系统的时域分析 31LT离散系统的响应 、差分与差分方程冖 二、差分方程的经典解 、零输入响应和零状态响应 32单位序列响应和阶跃响应 单位序列响应 二、阶跃响应→ 3.3卷积和 、序列分解与卷积和 、卷积的图解一 三、不进位乘法→ 四、卷积和的性质 点击目录→,进入相章节 第3一1贝14 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-1页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应 3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 点击目录 ，进入相关章节
信号与系统电来 第三章离散系统的时域分析 31LT离散系统的响应 差分与差分方程 设有序列f(k),则…,fk+2),(k+1),…,f(k1) f(k2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算,定义离散信号的差分运算。 1.差分运算 d f(t) △f(k) (t+△t)-f(t f(t) t-△t) n d t △→>0△t △t→>0 △t △t→>0 离散信号的变化率有两种表示形式: A(k)。f(k+1)-f(k)V(k)2f(k)-f(k-1) (k+1)-k Vk k-(k-1) 贝144| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-2页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)， f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 t f t f t t t f t t f t t f k t f t t t t − − = + − = = → → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim d d ( ) 0 0 0 离散信号的变化率有两种表示形式： k k f k f k k f k + − + − = ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) − − − − = k k f k f k k f k
信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 因此,可定义 (1)一阶前向差分定义:△k)=f(k+1)-f(k) (2)一阶后向差分定义:V(k)=f(k)-f(k-1) 式中,Δ和ⅴ称为差分算子,无原则区别。本书主要用 后向差分,简称为差分, (3)差分的线性性质: Vaf, ( k)+ bf( k)=a vf(k+b vi2(k) (4)二阶差分定义: vif(k=VIVf(k)l= vif(k-f(k-1)1= Vf(k)-Vf(k-1) =f(k)-f(k<-1)-f(k-1)-f(k-2)=f(k)-2f(k-1)+f(k-2) (5)m阶差分: vmf(k=f(k)+bf(k-1)+.+ bmf(k-m) 第3-3页 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-3页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 （1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用 后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： [af1 (k) + bf2 (k)] = a f1 (k) + b f2 (k) （4）二阶差分定义： 2 f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1 f(k-1) +…+ bmf(k-m) 因此，可定义：
信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 2.差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列,得一般形式 y(k)+an-y(k-1)+.+ aoy(k-n)=bmf(k)+.+ bof(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条 件和激励,利用迭代法可求得其数值解。 例:若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k) 已知初始条件y0)=02y(1)=2,激励f(k)=2k(k,求y(k) 解:y(k)=-3y(k-1)-2y(k-2)+f(k) y(2)=-3y(1)-2y(0)+f(2)=-2 y(3)=-3y(2)-2y(1)+f(3)=10 般不易得到解析形式的(闭合)解。 第34页14 口西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-4页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1 y(k-1) +…+ a0 y(k-n) = bmf(k)+…+ b0 f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2 kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解
信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 二、差分方程的经典解 y(k)+an-y(k-1)+.+ aoy(k-n)=bmf(k)+.+ bo f(k-m) 与微分方程经典解类似,y(k)=y(k)+yn(k 1.齐次解y1(k) 齐次方程y(k)+an1y(k1)+…,+a0y(kn)=0 其特征方程为1+an14-1+…+a02-n=0,即 λn+an1n-1+.+a=0 n- 其根λ(i=1,2,…,n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根为单根时,齐次解y(k形式为:C水k 当特征根为r重根时,齐次解y(k)形式为: (Crk -+ Cr-2k-+.+ Ck+Coak 5贝144> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-5页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1 y(k-1) +…+ a0 y(k-n) = bmf(k)+…+ b0 f(k-m) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh (k) + yp (k) 1. 齐次解yh (k) 齐次方程 y(k) + an-1 y(k-1) + … + a0 y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1 λ – 1 + … + a0 λ – n = 0，即 λ n + an-1 λ n– 1 + … + a0 = 0 其根λi ( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根λ为单根时，齐次解yn (k)形式为： Cλ k 当特征根λ为r重根时，齐次解yn (k)形式为： (Cr-1k r-1+ Cr-2k r-2+…+ C1k+C0 )λ k
信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 2特解yn(k:特解的形式与激励的形式雷同(r≥1)。 (1)激励f(k)=k(m0) ①所有特征根均不等于1时; yp(k)=Pmk吗+…十P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时; yp(k)=k[Pmk吗+…+P1k+P (2)激励f(k)=k ①当a不等于特征根时;y(k)=Pak ②当a是r重特征根时; y,(k)=(P_k+Pr-k-+.+P,k+Po)a (3)激励f(k)=c0s(βk)或sn(βk)且所有特征根均不等 于e+j; y,(k)=Pcos(Bk)+Qsin(Bk) 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 2. 特解yp (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1） 。 （1） 激励f(k)=km (m≥0） ①所有特征根均不等于1时; yp (k)=Pmk m+…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时; yp (k)=kr [Pmk m+…+P1k+P0 ] （2） 激励f(k)=ak ①当a不等于特征根时; yp (k)=Pak ②当a是r重特征根时; yp (k)=（Prk r+Pr-1k r-1+…+P1k+P0 )ak （3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等 于e±jβ ； yp (k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 例:若描述某系统的差分方程为 y(k)+4y(k-1)+4y(k-2)=f( 已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1;激励(k)=k,k0。 求方程的全解。 解:特征方程为22+4λ+4=0 可解得特征根λ1=2=-2,其齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k 特解为y(k)=P(2)k,k0 代入差分方程得P(2)k+4P(2)-1+4P(2)k2=fi(k)=2k, 解得 P=1/4 所以得特解:yn(k)=2k2,心0 代入初始条件解得C心(Ck+C2)(2)+22,k0 故全解为y(k)=y+y 第贝44|> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k ，k≥0。 求方程的全解。 解： 特征方程为 λ 2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh (k)=(C1k +C2 ) (– 2) k 特解为 yp (k)=P (2) k , k≥0 代入差分方程得 P(2) k+4P(2) k –1+4P(2) k–2= f(k) = 2 k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp (k)=2 k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2 ) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4 3.1 LTI离散系统的响应
信号与系统电呼 3.1LT离散系统的响应 、零输入响应和零状态响应 y(k)=y(k)+y(k),也可以分别用经典法求解 y)=y〔)+yj),j=0,1,2,…,n-1 设激励f(k)在k=0时接入系统 通常以y(-1),y(-2),,y(-n)描述系统的初始状态。 y1)=y-2)=…=yn)=0 所以y(-1)=y(-1),y(-2)=y(2) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值y(j)和yi)(j=0,1,2,…,n-1) 8贝14|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(k) = yx (k) + yf (k) , 也可以分别用经典法求解。 y(j) = yx (j) + yf (j) , j = 0, 1 , 2, …, n –1 设激励f(k)在k=0时接入系统， 通常以y(–1), y(–2) , …，y(–n)描述系统的初始状态。 yf (–1) = yf (–2) = … = yf (–n) = 0 所以 y(–1)= yx (–1) , y(–2)= yx (–2),…，y(–n)= yx (–n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值yx (j)和yf (j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1)
信号与系统电来 3.1LT离散系统的响应 例:若描述某离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k) 已知激励(k)=k,k≌0,初始状态y(-1)=0,y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应 解:(1)y(k满足方程y(k)+3yk-1)2y、k-2)=0 其初始状态y(1)=y(-1)=0,y、(2)=y(2)=1/2 首先递推求出初始值y(0),y1), y(k)=-3yx(k-1)-2y(k-2) y(0)=-3y(-1)-2y(-2)=-1,y(1=-3y30)-2yx(-1)=3 方程的特征根为入1=-1 2 其解为y(k)=Cx1(-1)+Cx2(-2) 将初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=-2 所以y(k)=(-1)-2(2),心0 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2 k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yx (k)满足方程 yx (k) + 3yx (k –1)+ 2yx (k –2)= 0 其初始状态yx (–1)= y(–1)= 0, yx (–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yx (0), yx (1), yx (k)= – 3yx (k –1) –2yx (k –2) yx (0)= –3yx (–1) –2yx (–2)= –1 , yx (1)= –3yx (0) –2yx (–1)=3 方程的特征根为λ1 = –1 ，λ2 = – 2 ， 其解为 yx (k)=Cx1 (– 1) k+Cx2 (–2) k 将初始值代入 并解得 Cx1 =1 , Cx2 = – 2 所以 yx (k)=(– 1) k – 2(– 2) k , k≥0
信号与系统电来 3.1LT离散系统的响应 (2)零状态响应yk)满足 yk)+3yk-1)+2y(k-2)=f(k) 初始状态y-1)=y(-2)=0 递推求初始值y0),y(1), yk)=-3yk-1)-2yk-2)+2,k0 y0)=-3y4-1)-2y-2)+1=1 y1)=-3y4(0)-2y1)+2=-1 分别求出齐次解和特解,得 yk)=Cn(-1)+Cn(2)+y(k) Cn(-1)k+Cp2(-2)+(13)2k 代入初始值求得Cn=-1/3,Cn=1 所以y(k)=-(-1)3+(-2)k+(1/3)2k,心0 第3-1014|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 yf (k) + 3yf (k –1) + 2yf (k –2) = f(k) 初始状态yf (–1)= yf (–2) = 0 递推求初始值 yf (0), yf (1)， yf (k) = – 3yf (k –1) – 2yf (k –2) + 2k , k≥0 yf (0) = – 3yf (–1) – 2yf (–2) + 1 = 1 yf (1) = – 3yf (0) – 2yf (–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yf (k) = Cf1 (–1) k + Cf2 (–2) k + yp (k) = Cf1 (– 1) k + Cf2 (– 2) k + (1/3)2 k 代入初始值求得 Cf1= – 1/3 , Cf2=1 所以 yf (k)= – (– 1)k /3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 （2）零状态响应yf (k) 满足