西安电子科技大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第5章 连续系统的s域分析

信号与系统电来 第五章连续系统的s域分析 5.1拉普拉斯变换 从傅里叶变换到拉普拉斯变换昏 收敛域一 三、(单边)拉普拉斯变换→ 5.2拉普拉斯变换的性质→ 5.3拉普拉斯变换逆变换 5.4复频域分析 、微分方程的变换解啮 、系统函数→ 系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录→,进入相关章节 第贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-1页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录 ，进入相关章节

信号与系统电来 第五章连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号eo为.基本信号,任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足: (1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e2(t); (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率s=σ+jo,以复指数函数es为基本信 号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率s,故称为s域分 析。所来用的数学工具为拉普拉斯变换。 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-2页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第五章 连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号e jωt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e 2tε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。 为此,可用一衰减因子eo(σ为实常数)乘信号ft, 适当选取σ的值,使乘积信号f(e当t->∞时信号幅 度趋近于0,从而使fte的傅里叶变换存在。 Fb(o+jo)=If(teat=f()ed'e jo dt=f()e-latjo)dt 相应的傅里叶逆变换为 f(te 2丌 「E(a+o)eod 丌 x2b(0+o) e (o+jo)t d令s=σ+jo,do=d,有 第贝144| 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-3页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e -t (为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t→∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t=   −  +     ( ) e d 2 1 j t b F j Fb (+j)= ℱ[ f(t) e-t ]= f t t f t t t j t j t ( )e e d ( )e d ( )    − − +  − − − =       − + =  +      ( ) e d 2 1 ( ) ( j )t b f t F j 令s =  + j,d =ds/j，有

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 FA()=。(k"ad双边拉普拉斯变换对 f(t) (s)ed 2丌j F6S)称为f的双边拉氏变换(或象函数), f(t称为Fb(s)的双边拉氏逆变换(或原函数)。 、收敛域 只有选择适当的σ值才能使积分收敛,信号(t的双 边拉普拉斯变换存在。 使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。 第4贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-4页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换   − − F s = f t e t st b ( ) ( ) d  +  −  = j j ( ) e d 2 j 1 ( )    f t F s s s t b 双边拉普拉斯变换对 Fb (s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb (s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb (s)的收敛域。 下面举例说明Fb (s)收敛域的问题

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 例1因果信号f()=eate(),求其拉普拉斯变换。 解 -(s-at Fus) st lm e (o-a)to-jo t 0 s-a s-d t→)0 入,Res]=> G三c 无界 oa时,其拉氏变换存 在。收敛域如图所示 收敛域 收敛边界 第5贝144| 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-5页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 例1 因果信号f 1 (t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lim e e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d ( ) j 0 ( ) 0 1 t t t s t t s t b s s F s t        − − − →  − −  − − − = − − = =          = =  − =        无界 ， 不定 ， , Re[ ] 1 s s 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 α 收敛域 收敛边界

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 例2反因果信号f2(t)=ePe(-1),求其拉普拉斯变换。 解 -(s-B) F2b(s)=eesdt im e (o-P)tojo t (S-β) (S-B) 无界 Rels]=o>B 不定 o=B B 可见,对于反因果信号,仅当 Res=β时,其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 例2 反因果信号f 2 (t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lim e e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d 0 ( ) j ( ) 0 2 t t t s t s t t b s s F s t        − − − → − − − − − − − − − = − − = =          − − = =  =        ， 不定 ， 无界 ( ) 1 , Re[ ] . s s 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 β

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 例3双边信号求其拉普拉斯变换 t0 求其拉普拉斯变换。 解其双边拉普拉斯变换F()=F1(S+F1(s) 仅当β>α时,其收敛域 为a<ReS<β的一个带 状区域,如图所示。 第贝4⊥D 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。      = + = e , 0 e , 0 ( ) ( ) ( ) 3 1 2 t t f t f t f t t t   求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 Fb (s)=Fb1(s)+Fb2(s) 仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。 σ jω α 0 β

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 例4求下列信号的双边拉氏变换。 f (t=e te(t)+eite(t) f2(t)=-e-316(-t)-e28(-t) ()=e38(t)-ee(t) 解f1(t)F1(s) +3s+)Rel!=>-2 + f2()F2(s) s+3s+2 Res|=σF3(3S) s+3s+2 -3<σ<-2 可见,象函数相同,但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。 第8贝14|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f 1 (t)= e-3t (t) + e-2t (t) f 2 (t)= – e -3t (–t) – e -2t (–t) f 3 (t)= e -3t (t) – e -2t (– t) 解 2 1 3 1 ( ) ( ) 1 1 + + + → = s s f t F s Re[s]=  > – 2 2 1 3 1 ( ) ( ) 2 2 + + + → = s s f t F s Re[s]=  < – 3 2 1 3 1 ( ) ( ) 3 3 + + + → = s s f t F s – 3 <  < – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样,t0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为 F(s)=f(t) sdt 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Res>α,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换 单边拉氏变换 def F(s)= f(resdt 简记为F(s)=￡|f(t f(t=f-F(S)) 或 f(t) F(seds e(t 2t io t)←→F(S) 第9贝14|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换   − − = 0 def F(s) f (t) e dt s t( ) e d ( ) 2 j 1 ( ) j j def f t F s s t s t           =  +  −  简记为F(s)=£[f(t)] f(t)=£ -1 [F(s)] 或 f(t)←→ F(s)

信号与系统电来 5.1拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 、δ(t)←→1 2、e(t或1←→1/s,σ>0 3、指数函数est← s+S o>-Relsol c0oot=(eot+eo)/2← s-+ singot=(ejoot e Jot )/2 S+a 第-1014|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第5-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t) ←→1，> -∞ 2、(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数e -s0t ←→ 0 1 s + s > -Re[s0 ] cos0 t = (ej0t+ e -j0t )/2 ←→ 2 0 2 s + s sin0 t = (ej0t– e -j0t )/2j ←→ 2 0 2 0   s +