电子科技大学：《现代数字信号处理理论与算法 Modern theory and algorithm of digital signal processing》课程教学资源（课件讲稿）05 卡尔曼滤波器 Kalman Filter

卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决 阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使 用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling(1958), Kalman(1960)与Kalman and Bucy(1961)发表。 CH5 Kalman Filter Fundamental tool for state estimation in such areas as signal processing and control RLS estimation can be cast as a special case of Kalman filtering Numerical points lead to practical algorithms

CH5 Kalman Filter Fundamental tool for state estimation in such areas as signal processing and control RLS estimation can be cast as a special case of Kalman filtering Numerical points lead to practical algorithms 卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决 阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使 用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表

鲁道夫卡尔曼 Rudolf Emil Kalman 0匈牙利裔美国数学家 。1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。 。1953年于麻省理工学院获得电机工程学士，翌年硕 士学位。 。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。 。1964年至1971年任职斯坦福大学。 。1971年至1992年任佛罗里达大学数学系统理论中心 主任。 ·1972起任瑞士苏黎世联邦理工学院数学系统理论中 心主任直至退休。 。2009年获美国国家科学奖章。 2

鲁道夫·卡尔曼 Rudolf Emil Kalman  匈牙利裔美国数学家  1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。  1953年于麻省理工学院获得电机工程学士，翌年硕 士学位。  1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。  1964年至1971年任职斯坦福大学。  1971年至1992年任佛罗里达大学数学系统理论中心 主任。  1972起任瑞士苏黎世联邦理工学院数学系统理论中 心主任直至退休。  2009年获美国国家科学奖章。 2

卡尔曼滤波 一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位 置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标 及速度。在很多工程应用（如雷达、计算机视觉）中都可 以找到它的身影。 。同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的 一个重要课题。当输入为带有高斯白噪声的信号时，使 期望输出和实际输出之间的均方根误差达到最小的线性 系统，这种滤波方法以它的发明者鲁道夫.E.卡尔曼的名 字命名为卡尔曼滤波。 3

卡尔曼滤波  一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位 置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标 及速度。在很多工程应用(如雷达、计算机视觉)中都可 以找到它的身影。  同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的 一个重要课题。当输入为带有高斯白噪声的信号时，使 期望输出和实际输出之间的均方根误差达到最小的线性 系统，这种滤波方法以它的发明者鲁道夫.E.卡尔曼的名 字命名为卡尔曼滤波。 3

卡尔曼提出了系统的能控性和能观性 为现代控制理论的出现奠定了基础。其后的发展表 明，这两个概念相互对偶，回答了被控系统能否进 行控制与综合等基本问题，对控制和状态估计问题 的研究，有着极其重要的意义。 系统能控性：控制作用对被控系统的状态和输出进行 控制的可能性。 。系统能观性：反映由能直接测量的输入输出的量测值 来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。 4

卡尔曼提出了系统的能控性和能观性  为现代控制理论的出现奠定了基础。其后的发展表 明，这两个概念相互对偶，回答了被控系统能否进 行控制与综合等基本问题，对控制和状态估计问题 的研究，有着极其重要的意义。  系统能控性：控制作用对被控系统的状态和输出进行 控制的可能性。  系统能观性：反映由能直接测量的输入输出的量测值 来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。 4

在雷达中的应用例子：跟踪目标 日标的位置、速度、加速度的测量值都有噪声。 卡尔曼滤波利用目标的动态信息，设法去掉噪声 的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。 这个估计可以是对当前目标位置的估计（滤波）， 也可以是对于将来位置的估计（预测），也可以是 对过去位置的估计（插值或平滑）。 5

在雷达中的应用例子：跟踪目标  目标的位置、速度、加速度的测量值都有噪声。 卡尔曼滤波利用目标的动态信息，设法去掉噪声 的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。  这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波)， 也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是 对过去位置的估计(插值或平滑)。 5

Contents o S1.Introduction o S2.Conventional Kalman filter o S3.Example o S4.RLS and Kalman filtering o S5.Square-root information filter o S6.Square-root covariance filter Better numerical properties than the conventional one The square-root RLS algorithms are special cases 6

6 Contents  S1. Introduction  S2. Conventional Kalman filter  S3. Example  S4. RLS and Kalman filtering  S5. Square-root information filter  S6. Square-root covariance filter  Better numerical properties than the conventional one  The square-root RLS algorithms are special cases

S1.Introduction o MMSE Estimation o Innovation Process o Iterative MMSE Estimation 7

7 S1. Introduction  MMSE Estimation  Innovation Process  Iterative MMSE Estimation

MMSE Estimation o Orthogonal Principle y1=[y(n-)y(n-2）…y(] a(n)=yn)-(nlyn1)） E(a'(n)y)=0 8

8 MMSE Estimation  Orthogonal Principle       1 ˆ |   n  n y n y n y y y n y n y n1       1 2 1          * E( ) 0 n 1  n y  

Innovation Process(1) o Equality an=tn-tnly,i）=n)-∑atn-k) 1 0 0… 0 y() 1 0 0 三 -0m-1,n-1 -an-ln-2 9

9 Innovation Process (1)  Equality n yn yn y  yn a yn k  n k   n   n k      1 1 1 1,  ˆ |                                                               y n y y a a a n n n n n       2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 1 1, 1 1, 2 1,1   

Innovation Process( (2) o Orthogonality E(a(n)a(k)》=0 k=1,2,…,n-1 10

10 Innovation Process (2)  Orthogonality      0 * E  n  k  k 1,2,  ,n 1