第14章三维极限平衡分析方法 14.1概述 14.1.1进行三维边坡稳定分析的必要性 自然界发生的滑坡绝大多数呈三维形态,但是,在边坡稳定分析领域,二维极限平衡法 仍是常用的手段。越来越多的工程实际问题提出了建立三维边坡稳定分析的要求( Seed et al, 1990, Morgenstern,1992)。三维边坡稳定分析可以更加真实地反映边坡的实际形态,特别是 当滑裂面己经确定时,使用三维分析可以恰当地考虑滑体内由于滑裂面的空间变异特征对边 坡稳定安全系数的影响 在工程设计中,还有一些情况一定要使用三维分析方法。例如洞口开挖边坡,由于开挖 只在一个有限宽度内进行,因此,如果采用二维分析,等于是假定开挖面是无限长的,显然 与实际情况出入较大。又如对地下连续墙在施工期的稳定性分析,泥浆压力固然是保证其稳 定性的主要因素,但是槽孔总是跳槽浇筑的,每一个浇筑段宽度不过10~15m,而其深度可 达5060m。因此,墙壁的稳定性系三维效应控制。Tsai(2000等曾使用三维方法分析连续墙 的稳定性。 尽管三维稳定分析具有重要意义,但是,有关的稳定分析方法和程序开发方面的工作还 远远不能满足实际要求,大部分研究工作都局限于学术领域,未见实际应用。1998年发表 于美国ASCE岩土工程学报上的一篇文章( Stark&Eid,1998)指出,所有的三维分析程序都存 在引入大量假定的缺陷。同时,还没有一个程序在数据处理、图形处理等方面提供可应用于 实际情况的软件。 本书作者所在课题组在过去的十年中,为开发三维稳定分析程序作了大量的工作。首先 开发了建立在塑性力学上限定理基础上的边坡稳定三维分析方法 Chen et al,200a,b),同时 还开发了建立在极限平衡理论基础上的一个简化的三维稳定分析方法(陈祖煜,弥宏亮,汪 小刚,2001),并且将这一上、下限的理论体系及相应的计算方法应用于工程实际中,完成 了三峡、洪家渡、恰甫其海、小湾、宜兴抽水蓄能电站等一系列水利水电工程问题。 由于上限解方法主要用于解决岩石边坡稳定问题,在本章,仅介绍三维边坡稳定分析的 极限平衡方法。 14.1.2三维边坡稳定分析研究的现状 有关边坡稳定三维极限平衡方法,已有众多的文献介绍研究成果。 Duncan(199)曾经列 表总结了20篇文献资料,列举了这些方法的特点和局限性,详见表14.1。 回顾以往的工作,可以看到,为了使问题变得静定可解,各种三维极限平衡方法均引
第14章 三维极限平衡分析方法 14. 1 概述 14. 1. 1 进行三维边坡稳定分析的必要性 自然界发生的滑坡绝大多数呈三维形态 但是 在边坡稳定分析领域 二维极限平衡法 仍是常用的手段 越来越多的工程实际问题提出了建立三维边坡稳定分析的要求(Seed et al, 1990; Morgenstern, 1992) 三维边坡稳定分析可以更加真实地反映边坡的实际形态 特别是 当滑裂面已经确定时 使用三维分析可以恰当地考虑滑体内由于滑裂面的空间变异特征对边 坡稳定安全系数的影响 在工程设计中 还有一些情况一定要使用三维分析方法 例如洞口开挖边坡 由于开挖 只在一个有限宽度内进行 因此 如果采用二维分析 等于是假定开挖面是无限长的 显然 与实际情况出入较大 又如对地下连续墙在施工期的稳定性分析 泥浆压力固然是保证其稳 定性的主要因素 但是槽孔总是跳槽浇筑的 每一个浇筑段宽度不过 10~15m 而其深度可 达 50~60m 因此 墙壁的稳定性系三维效应控制 Tsai (2000)等曾使用三维方法分析连续墙 的稳定性 尽管三维稳定分析具有重要意义 但是 有关的稳定分析方法和程序开发方面的工作还 远远不能满足实际要求 大部分研究工作都局限于学术领域 未见实际应用 1998 年发表 于美国 ASCE 岩土工程学报上的一篇文章(Stark & Eid, 1998)指出 所有的三维分析程序都存 在引入大量假定的缺陷 同时 还没有一个程序在数据处理 图形处理等方面提供可应用于 实际情况的软件 本书作者所在课题组在过去的十年中 为开发三维稳定分析程序作了大量的工作 首先 开发了建立在塑性力学上限定理基础上的边坡稳定三维分析方法(Chen et al, 2000 a, b) 同时 还开发了建立在极限平衡理论基础上的一个简化的三维稳定分析方法 陈祖煜 弥宏亮 汪 小刚 2001 并且将这一上 下限的理论体系及相应的计算方法应用于工程实际中 完成 了三峡 洪家渡 恰甫其海 小湾 宜兴抽水蓄能电站等一系列水利水电工程问题 由于上限解方法主要用于解决岩石边坡稳定问题 在本章 仅介绍三维边坡稳定分析的 极限平衡方法 14. 1. 2 三维边坡稳定分析研究的现状 有关边坡稳定三维极限平衡方法 已有众多的文献介绍研究成果 Duncan (1996)曾经列 表总结了 20 篇文献资料 列举了这些方法的特点和局限性 详见表 14.1 回顾以往的工作 可以看到 为了使问题变得静定可解 各种三维极限平衡方法均引
34土质边坡稳定分析一原理 程序 表14.1三维边坡稳定分析方法( Duncan,1996) 作者 方法 强度边坡滑面几何条件 三维效应 AnagnostI(1969)改进 Morgenstern c,φ均无限制 有算例得 &Prce法 F3=1.5F2 Baligh and azzouz改进圆弧法 p=0简单边坡/旋转面 Giger and Krizek理想塑性的上限定理c有角边坡对数曲线3>F2 Giger and rizek理想塑性的上限定理c,φ边坡同上坡顶有荷载3>F2 Baligh et al(1977)改进圆弧法 =0简单加载边坡旋转面F3>F2 Hovland(1977)改进普通条分法 =0均无限制 某些情况下 Azzouz(1981)改进圆弧法 φ=0简单边坡旋转面 F3>1.07~1.3F2 Chen and chameau改进 Spencer法 c,φ均无限制 Spencer与有限元 有限元法 结果接近 Chen and chameau改进 Spencer法 c,φ均无限制 某些情况下 Azzouz and baligh改进瑞典圆弧法 φ=0边坡同B&A(1975) F3>F2 坡顶有荷载 Dennhardt an 滑面假定s cφ边坡加载/无限制 某些情况下 3>F2 Leshchinsky et al极限平衡和变分法c,φ无限制 F3>F2 (1985) Ugai(1985) 平衡和变分法c,垂直边坡/圆筒 Leshchinsky and极限平衡和变分法 φ在第3维上限制无限制F3>F2, Baker(1986) F3=F2 Baker and 极限平衡和变分法c,φ圆锥形/无限制 Cavounidis(1987)极限平衡法 cφ无限制 Hungr(I 改进 Bishop法 c,φ无限制/旋转面 F3>F2 Gens et al(1987)改进瑞典圆弧法 φ=0简单边坡旋转 shchinsky and极限平衡和变分法c,有角垂直边坡/无限制F3>F2 Mullett (1988) 改进普通条分法 φ无限制 F 普通条分法除外 极限平衡法 c,φ无限制/椭圆形 3>F2 Michalowski 塑性极限动力分析理论cφ无限制 Seed et al (1990) 三维 Ad hoct法cφ特例; Kettleman山破坏F3F2 Huang(1985 注有关参考文献请参阅原文
534 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 表 14. 1 三维边坡稳定分析方法 (Duncan, 1996) 作者 方法 强度 边坡/滑面几何条件 三维效应 Anagnosti (1969) 改进Morgenstern & Price法 c,φ 均无限制 有算例得 F3= 1.5F2 Baligh and Azzouz (1975) 改进圆弧法 φ=0 简单边坡/旋转面 F3>F2 Giger and Krizek (1975) 理想塑性的上限定理 c,φ 有角边坡/对数曲线 F3>F2 Giger and Krizek (1976) 理想塑性的上限定理 c,φ 边坡同上坡顶有荷载 F3>F2 Baligh et al (1977) 改进圆弧法 φ=0 简单加载边坡/旋转面 F3>F2 Hovland (1977) 改进普通条分法 φ=0 均无限制 某些情况下 F3 1.07~1.3F2 Chen and Chameau (1982) 改进Spencer法 有限元法 c,φ 均无限制 Spencer与有限元 结果接近 Chen and Chameau (1983) 改进Spencer法 c,φ 均无限制 某些情况下 F3F2 Dennhardt and Forster (1985) 滑面假定s c,φ 边坡加载/无限制 某些情况下 F3>F2 Leshchinsky et al (1985) 极限平衡和变分法 c,φ 无限制 F3>F2 Ugai (1985) 极限平衡和变分法 c,φ 垂直边坡/圆筒形 F3>F2 Leshchinsky and Baker (1986) 极限平衡和变分法 c,φ 在第3维上限制/无限制 F3>F2 当c> 0 F3=F2 当c= 0 Baker and Leshchinsky (1986) 极限平衡和变分法 c,φ 圆锥形/无限制 F3>F2 Cavounidis (1987) 极限平衡法 c,φ 无限制 F3>F2 Hungr (1987) 改进Bishop法 c,φ 无限制/旋转面 F3>F2 Gens et al.(1987) 改进瑞典圆弧法 φ=0 简单边坡/旋转面 F3>F2 Leshchinsky and Mullett (1988) 极限平衡和变分法 c,φ 有角垂直边坡/无限制 F3>F2 Ugai (1985) 改进普通条分法 Bishop,Janbu和Spencer法 c,φ 无限制 F3>F2 普通条分法除外 Xing (1988) 极限平衡法 c,φ 无限制/椭圆形 F3>F2 Michalowski (1989) 塑性极限动力分析理论 c,φ 无限制 F3>F2 Seed et al (1990) 二 三维Ad hoc法 c,φ 特例 Kettleman山破坏 F3F2 注 有关参考文献请参阅原文
第14章三维极限平衡分析方法535 入大量的假定。Lam& Fredlund(1993)计算了以物理和力学要求为基础可建立的方程个数及 这些方程中的未知数数目。他们发现对于离散成n行和m列条柱的破坏体,总共需要引入 8m个假定。在诸多的假定中,最为常见的是忽略作用在条柱侧面的全部剪力。 Hungr(1989 在此基础上,建立了通过力矩平衡和静力平衡求解的两种方法。前者需要将滑裂面近似为一 个球面,被称为 Bishop法的扩展。后者则不能保持作用力在垂直滑坡这一方向的坐标轴(图 14.1中的〓轴)的静力平衡,被称为简化 Janbu法的延伸。 Hungr发现,此类方法通常给出 较小的安全系数。另外,许多三维极限平衡分析方法还对滑裂面的形状作出假定,如假定为 左右对称,为对数螺旋面等,详见文献(hen& Chameau,1982, Leshchinsky et al,1985)。这 样,就进一步削弱了方法的理论基础和应用范围。 下面简要介绍一些比较有代表性的方法的基本假定和满足的平衡条件。首先将滑动土体 剖分成具有垂直界面的条柱,建立如图141所示的坐标系,x和y的正方向分别与滑坡方向 和重力方向相反,z轴的正方向按右手法则确定。中间沿滑动方向尺寸最大的断面称之为中 性面,如果滑裂面对称,中性面就是对称轴所在的平面。如果不作任何静力假定,每个条柱 上的作用力应当如图142所示,其中平行于y0x平面的界面称之为行界面,即图142中的 ABF和DCGH;平行于xoy平面的界面称之为列界面,即图142中的ADHE和BCGF 旋转轴 中性而 单条柱 图14.1具有垂直界面条柱的滑动土体 图14.2未作任何假定的条柱上的作用力 Hungr(1989) (1)简化 Bishop法。本方法主要包括以下假定(参见图14l和图142) 1)忽略条柱间沿y轴方向的所有剪力G和V; 2)滑裂面上的剪切力平行于xoy平面,即忽略平行于yoz平面的剪切力T= 本方法满足每个条柱沿y轴方向力的平衡,并根据绕=轴的整体力矩平衡求解安全系数, Hungr给出的计算公式为 ∑EAR+(N-u4)Rt ∑Wx-∑ Nf cosy, /cosa+∑ke+Ed (14.1)
第 14 章 三维极限平衡分析方法 535 入大量的假定 Lam & Fredlund (1993)计算了以物理和力学要求为基础可建立的方程个数及 这些方程中的未知数数目 他们发现对于离散成 n 行和 m 列条柱的破坏体 总共需要引入 8mn 个假定 在诸多的假定中 最为常见的是忽略作用在条柱侧面的全部剪力 Hungr (1989) 在此基础上 建立了通过力矩平衡和静力平衡求解的两种方法 前者需要将滑裂面近似为一 个球面 被称为 Bishop 法的扩展 后者则不能保持作用力在垂直滑坡这一方向的坐标轴 图 14.1 中的 z 轴 的静力平衡 被称为简化 Janbu 法的延伸 Hungr 发现 此类方法通常给出 较小的安全系数 另外 许多三维极限平衡分析方法还对滑裂面的形状作出假定 如假定为 左右对称 为对数螺旋面等 详见文献(Chen & Chameau, 1982; Leshchinsky et al, 1985) 这 样 就进一步削弱了方法的理论基础和应用范围 下面简要介绍一些比较有代表性的方法的基本假定和满足的平衡条件 首先将滑动土体 剖分成具有垂直界面的条柱 建立如图 14.1 所示的坐标系 x 和 y 的正方向分别与滑坡方向 和重力方向相反 z 轴的正方向按右手法则确定 中间沿滑动方向尺寸最大的断面称之为中 性面 如果滑裂面对称 中性面就是对称轴所在的平面 如果不作任何静力假定 每个条柱 上的作用力应当如图 14.2 所示 其中平行于 yoz 平面的界面称之为行界面 即图 14.2 中的 ABFE 和 DCGH 平行于 xoy 平面的界面称之为列界面 即图 14.2 中的 ADHE 和 BCGF 图 14. 1 具有垂直界面条柱的滑动土体 图 14. 2 未作任何假定的条柱上的作用力 1. Hungr (1989) (1) 简化 Bishop 法 本方法主要包括以下假定 参见图 14.1 和图 14.2 1) 忽略条柱间沿 y 轴方向的所有剪力 G 和 V 2) 滑裂面上的剪切力平行于 xoy 平面 即忽略平行于 yoz 平面的剪切力 Ty,z 本方法满足每个条柱沿y 轴方向力的平衡 并根据绕z 轴的整体力矩平衡求解安全系数 Hungr 给出的计算公式为 [ ] ∑ ∑ ∑ ∑ − + + + − = Wx Nf kWe Ed cAR N uA R F y α x γ φ cos / cos ( ) tan (14.1)
土质边坡穗定分析一原理,方法·程序 式中:R为底滑面抗滑力Tx的力臂;x为条柱重力W的力臂;f为底滑面正应力N的力臂 k为水平地震力加速度系数,其作用点假定为条柱中点,力臂为e;E为水平荷载,力臂为d, 垂直荷载记入重力;y为正应力M与y轴的夹角;a为底滑面沿滑动方向与x轴的夹角。 本方法由于未满足沿x轴和〓轴方向的整体力的平衡,所以根据整体力矩平衡条件求解 安全系数时与坐标轴的位置有关,所以本方法比较适合于滑裂面为旋转面的情况 (2)简化 Janbu法。本方法的假定同 Bishop法,满足每个条柱沿y轴方向力的平衡,并 根据沿x轴方向的整体力的平衡求解安全系数, Hungr给出的计算公式为 ∑ Ncos y, tanar (142) 式(42)中各物理量的含义同式(141) Hungr提出的这两种方法虽然没有假定滑裂面对称,但由于未考虑滑裂面上平行于y0x 平面的剪切力T=和沿z轴方向整体力的平衡,所以比较适合于滑裂面对称的情况; Hungr 也指出当滑坡体呈现出明显的不对称性时,这两种方法给出的安全系数误差都比较大。同时 Hungr还指出此类方法由于忽略了所有条间剪力,所以不适合计算条间的抗剪强度比较大而 底滑面的抗剪强度相对较小的情况。另外, Hungr发现,此类方法通常给出比较小的安全系 数 2. Zhang Xing(1988) 本方法可看作二维 Spencer法在三维条件下的扩展。其假定主要包括(参见图142) (1)滑裂面为对称的椭球面,根据下式确定 (x-x0)+①y-)0 )2+(=-) (143) 即滑裂面在xoy平面内为圆弧,在z轴方向由椭圆面生成 (2)滑裂面上的剪切力平行于xoy平面,即忽略平行于yx平面的剪切力T= (3)将所有的条间力简化为一个平行于xy平面的作用力(记为R),其与x轴的倾角 为常量(记为λ),这一假定相当于二维领域中的 Spencer法 (4)假定条柱底部作用一个端部力P,并假定其大小和作用方向, Zhang Xing给出P的 计算公式为 P=Kathl 式中:K为主动土压力系数;为土的容重;h为土条高度;Vx为条柱底部在xoy平面上的 面积投影。则由于端部力P而产生的抗滑力S为 S=P(tanφ'cose+sin6) (145) 式中:φ为土的内摩擦角;为端部力P与=轴的夹角 根据上述假定,如果将滑坡体划分成n个条柱,本方法中的未知量数目和已知的方程数 目见表142。通过表142中建立的方程即可求得安全系数F。 本方法通过假定的条柱底部端部力P反映三维效应,显得比较简单,同时也使得本方 法的理论基础不够严格。另外,本方法由于假定滑裂面对称,故其很难在实际工程中应用
536 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 式中 R 为底滑面抗滑力 Tx,y的力臂 x 为条柱重力 W 的力臂 f 为底滑面正应力 N 的力臂 k 为水平地震力加速度系数 其作用点假定为条柱中点 力臂为 e E 为水平荷载 力臂为 d 垂直荷载记入重力 γy为正应力 N 与 y 轴的夹角 αx为底滑面沿滑动方向与 x 轴的夹角 本方法由于未满足沿 x 轴和 z 轴方向的整体力的平衡 所以根据整体力矩平衡条件求解 安全系数时与坐标轴的位置有关 所以本方法比较适合于滑裂面为旋转面的情况 (2) 简化 Janbu 法 本方法的假定同 Bishop 法 满足每个条柱沿 y 轴方向力的平衡 并 根据沿 x 轴方向的整体力的平衡求解安全系数 Hungr 给出的计算公式为 [ ] ∑ ∑ ∑ + + + − = N kW E cA N uA F y x x x γ α α φ α cos tan cos ( )tan cos (14.2) 式(14.2)中各物理量的含义同式(14.1) Hungr 提出的这两种方法虽然没有假定滑裂面对称 但由于未考虑滑裂面上平行于 yoz 平面的剪切力 Ty,z 和沿 z 轴方向整体力的平衡 所以比较适合于滑裂面对称的情况 Hungr 也指出当滑坡体呈现出明显的不对称性时 这两种方法给出的安全系数误差都比较大 同时 Hungr 还指出此类方法由于忽略了所有条间剪力 所以不适合计算条间的抗剪强度比较大而 底滑面的抗剪强度相对较小的情况 另外 Hungr 发现 此类方法通常给出比较小的安全系 数 2. Zhang Xing (1988) 本方法可看作二维 Spencer 法在三维条件下的扩展 其假定主要包括 参见图 14.2 (1) 滑裂面为对称的椭球面 根据下式确定 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 2 2 0 = − + − + − b z z a y y a x x (14.3) 即滑裂面在 xoy 平面内为圆弧 在 z 轴方向由椭圆面生成 (2) 滑裂面上的剪切力平行于 xoy 平面 即忽略平行于 yoz 平面的剪切力 Ty,z (3) 将所有的条间力简化为一个平行于 xoy 平面的作用力 记为 R 其与 x 轴的倾角 为常量 记为λ 这一假定相当于二维领域中的 Spencer 法 (4) 假定条柱底部作用一个端部力 P 并假定其大小和作用方向 Zhang Xing 给出 P 的 计算公式为 (14.4) a xy P = K γhV 式中 Ka为主动土压力系数 γ为土的容重 h 为土条高度 Vxy为条柱底部在 xoy 平面上的 面积投影 则由于端部力 P 而产生的抗滑力 S 为 S = P(tanφ′cosθ + sinθ ) (14.5) 式中 φ′ 为土的内摩擦角 θ为端部力 P 与 z 轴的夹角 根据上述假定 如果将滑坡体划分成 n 个条柱 本方法中的未知量数目和已知的方程数 目见表 14.2 通过表 14.2 中建立的方程即可求得安全系数 F 本方法通过假定的条柱底部端部力 P 反映三维效应 显得比较简单 同时也使得本方 法的理论基础不够严格 另外 本方法由于假定滑裂面对称 故其很难在实际工程中应用
第14章三维极限平衡分析方法537 表14.2 Zhang xing法中的未知量和已知条件数目统计表 未知量 已知条件 数目 方程 数目 每个条柱沿x轴和y轴的静力平衡 ∑R=0 绕轴的整体力矩平衡∑M1=0 3. Chen& Chameau(1982 本方法可看作二维 Spencer法在三维条件下的扩展。其假定主要包括(参见图142) l)滑裂面对称; 2)滑动方向只沿着xoy平面,则滑裂面上的剪切力平行于xoy平面,即忽略平行于y0 平面的剪切力T 3)忽略条柱间行界面上沿z轴方向的剪切力H; 4)假定条柱间行界面上的作用力E和G的合力平行于xoy平面,其与x轴的倾角为常 量,这一假定相当于二维领域中的 Spencer法; 5)假定条柱间列界面上的剪切力P和V的合力(记为R)平行于条柱底部,并假定其 分布,Chen& Chameau认为由于滑裂面对称,所以在中性面上剪切力R应当等于零,而在 滑坡体最外侧两端的剪切力R应当最大,并假定最大值R¤根据式(146)确定,而中间条柱 列界面上的剪切力R则根据Rx线性内插求得;同时,Chen& Chameau把R分成两部分 一部分由粘聚力c产生,记为R,其作用点假定为条柱的中点,另一部分由φ产生,记为R 其作用点假定为条柱的下三分点。 Rert=(0.5Koyh tang+c)bhcosa 式中:K0为静止土压力系数;y为土的容重;φ为土的内摩擦角;c为土的粘聚力;h为土条 高度;b为土条宽度;a为土条底滑面与水平向的夹角 本方法通过x轴和y轴方向的整体力的平衡和绕轴的整体力矩平衡求解安全系数。 本方法由于假定滑裂面对称,故其很难在实际工程中应用。另外,在计算非粘性土坡时 某些情况下,本方法得出的三维安全系数比二维的安全系数低,因此本方法的可靠性在某些 情况下值得怀疑,具体可参见 Hutchison&Sama(1985)的讨论。 4. Lam Fredlund (1993) 本方法全面考虑各种静力条件,计算了以物理和力学要求为基础可建立的方程个数及这 些方程中的未知数数目。对于离散成n行和m列条柱的破坏体,Lam& Fredlund发现未知 量数目为12m+2,而已知条件为4m+2,因此需要引入8m个假定,具体见表143。 Lam& Fredlund给出的假定主要有(参见图142) (1)假定正应力N的作用点为底滑面的中心,则未知量的数目减为9mm+2
第 14 章 三维极限平衡分析方法 537 表 14. 2 Zhang Xing 法中的未知量和已知条件数目统计表 未知量 已知条件 变量 数目 方程 数目 F 1 每个条柱沿x轴和y轴的静力平衡 2n λ 1 N n 0 1 ∑ = = n i Ri 1 R n 绕z轴的整体力矩平衡 0 1 ∑ = = n i Mi 1 共计 2n+2 共计 2n+2 3. Chen & Chameau (1982) 本方法可看作二维 Spencer 法在三维条件下的扩展 其假定主要包括 参见图 14.2 1) 滑裂面对称 2) 滑动方向只沿着 xoy 平面 则滑裂面上的剪切力平行于 xoy 平面 即忽略平行于 yoz 平面的剪切力 Ty,z 3) 忽略条柱间行界面上沿 z 轴方向的剪切力 H 4) 假定条柱间行界面上的作用力 E 和 G 的合力平行于 xoy 平面 其与 x 轴的倾角为常 量 这一假定相当于二维领域中的 Spencer 法 5) 假定条柱间列界面上的剪切力 P 和 V 的合力 记为 R 平行于条柱底部 并假定其 分布 Chen & Chameau 认为由于滑裂面对称 所以在中性面上剪切力 R 应当等于零 而在 滑坡体最外侧两端的剪切力 R 应当最大 并假定最大值 Rext 根据式(14.6)确定 而中间条柱 列界面上的剪切力 R 则根据 Rext线性内插求得 同时 Chen & Chameau 把 R 分成两部分 一部分由粘聚力 c 产生 记为 Rc 其作用点假定为条柱的中点 另一部分由φ产生 记为 Rφ 其作用点假定为条柱的下三分点 (0.5 γ tanφ ) cosα (14.6) Rext = K0 h + c bh 式中 K0为静止土压力系数 γ为土的容重 φ为土的内摩擦角 c 为土的粘聚力 h 为土条 高度 b 为土条宽度 α为土条底滑面与水平向的夹角 本方法通过 x 轴和 y 轴方向的整体力的平衡和绕 z 轴的整体力矩平衡求解安全系数 本方法由于假定滑裂面对称 故其很难在实际工程中应用 另外 在计算非粘性土坡时 某些情况下 本方法得出的三维安全系数比二维的安全系数低 因此本方法的可靠性在某些 情况下值得怀疑 具体可参见 Hutchison & Sarma (1985)的讨论 4. Lam & Fredlund (1993) 本方法全面考虑各种静力条件 计算了以物理和力学要求为基础可建立的方程个数及这 些方程中的未知数数目 对于离散成 n 行和 m 列条柱的破坏体 Lam & Fredlund 发现未知 量数目为 12nm+2 而已知条件为 4nm+2 因此需要引入 8mn 个假定 具体见表 14.3 Lam & Fredlund 给出的假定主要有 参见图 14.2 (1) 假定正应力 N 的作用点为底滑面的中心 则未知量的数目减为 9nm+2
38土质边坡穗定分析一原理·方法·程序 表14.3Lam& Fredlund法中的未知量数目和已知条件统计表 数目 说明 已知条件 ∑Fx=0,每个条柱沿轴的静力平衡 ∑F=0,每个条柱沿轴的静力平衡 ∑F=0,每个条柱沿轴的静力平衡 Mohr- coulomb抗剪强度准则(每个条柱) ∑M2=0,绕轴的整体力矩平衡 A和3的组合,使F最小 共计 4mm+2 N,为条柱底部正应力 ar a, a,为的作用点 Txy,为条柱底部平行于xy平面的剪应力 T,为条柱底部平行于y0平面的剪应力 E,为行界面正应力 G,为行界面沿y轴方向的剪切力 为行界面沿轴方向的剪切力 Q,为列界面正应力 P,为列界面沿x轴方向的剪切力 V,为列界面沿y轴方向的剪切力 Fn,为对应力矩平衡的安全系数 F,为对应静力平衡的安全系数 共计 12mm+2 (2)假定所有的剪力与其相应的正应力存在一定的函数关系,即 E=4/( (147) A2f(2) (148) E A3f(3) (149) P A4f(4) T N=2/(5) (14.11) 式中:f(1)为GE与x坐标的函数关系;f(2)为HE与x坐标的函数关系;f(3)为WQ与
538 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 表 14. 3 Lam & Fredlund 法中的未知量数目和已知条件统计表 数目 说明 nm ∑ = 0 Fx 每个条柱沿x轴的静力平衡 nm ∑ = 0 Fy 每个条柱沿y轴的静力平衡 nm ∑ = 0 Fz 每个条柱沿z轴的静力平衡 nm Mohr−Coulomb抗剪强度准则 每个条柱 1 ∑ = 0 M z 绕z轴的整体力矩平衡 已知条件 1 λ1和λ3的组合 使F最小 共计 4nm+2 nm N, 为条柱底部正应力 3nm ax, ay, az , 为N的作用点 nm Tx,y , 为条柱底部平行于xoy平面的剪应力 nm Ty,z , 为条柱底部平行于yoz平面的剪应力 nm E, 为行界面正应力 nm G, 为行界面沿y轴方向的剪切力 nm H, 为行界面沿z轴方向的剪切力 nm Q, 为列界面正应力 nm P, 为列界面沿x轴方向的剪切力 nm V, 为列界面沿y轴方向的剪切力 1 Fm , 为对应力矩平衡的安全系数 未知量 1 Ff , 为对应静力平衡的安全系数 共计 12nm+2 (2) 假定所有的剪力与其相应的正应力存在一定的函数关系 即 (1) 1 f E G = λ (14.7) (2) 2 f E H = λ (14.8) (3) 3 f Q V = λ (14.9) (4) 4 f Q P = λ (14.10) (5) 5 , f N Ty z = λ (14.11) 式中 f (1) 为 G/E 与 x 坐标的函数关系 f (2) 为 H/E 与 x 坐标的函数关系 f (3) 为 V/Q 与
第14章三维极限平衡分析方法539 二坐标的函数关系;f(4)为PQ与二坐标的函数关系;f(5)为T=/N与z坐标的函数关系 λ,2,42,A,为求解安全系数过程中上述函数关系采用的百分比 经过此项假定,剪应力G,H,V,P和T=都可以根据相应的正应力确定,未知量的数目 相应会减少5mm个,同时又引入了5个新的未知量λ,A2,A3,A4,A,最终未知量的数目变为 (3)Lam& Fredlund根据有限元程序 ANSYS对一些算例的计算结果指出,对一般的边 坡,只有G/E与WQ对安全系数有比较大的影响,所以λ,A4都可以假定为零,这样未知 量的数目减为4mm+4,但还是多出了两个未知量λ1和λ3,可根据以下两个条件确定。 I)如果整体静力平衡条件得到满足,则根据力矩平衡条件得到的安全系数Fm一定等于 根据静力平衡条件得到的安全系数F; 2)A1和应当给出最小的安全系数 至此,未知量的数目最终变为4mm+2个,可以求解安全系数 本方法试图使建立的方程和经假定后剩余的未知物理量的数量匹配,但最终还多出了两 个系数λ1和3,于是他们又进一步假定,从而使得方程可解。在平衡未知物理量和静力方程 数目时,似也有可商榷之处,E,G,H,V,Q,P,V的总数应当为(n-1m或mm1),而不是表143 中的mm。另外,本方法在求解的过程中需要求解大型非线性方程组,而实际工程问题又比 较复杂,故其在实际应用中,收敛性可能存在问题 5. Huang Tsai (2000) Huang&Tsai首先定义了一系列的安全系 数。如图143所示,根据Mohr- Coulomb抗剪 强度准则,每个条柱的安全系数Fx定义为 F,==s4+Mtmn(1412) 抗滑力T由两部分组成,即平行于xoy平 条柱底面 面的rx和平行于y0x平面的rx,分别定义沿 轴的安全系数Fx和沿z轴的安全系数F为 图14.3条柱底部抗滑力示意图 (14.13) 根据图143所示力的平行四边形,可以得到 Far (14.15) sIn a (1416)
第 14 章 三维极限平衡分析方法 539 z 坐标的函数关系 f (4) 为 P/Q 与 z 坐标的函数关系 f (5)为 Ty,z/N 与 z 坐标的函数关系 λ1, λ2, λ3, λ4, λ5为求解安全系数过程中上述函数关系采用的百分比 经过此项假定 剪应力 G, H, V, P 和 Ty,z都可以根据相应的正应力确定 未知量的数目 相应会减少 5nm 个 同时又引入了 5 个新的未知量λ1, λ2, λ3, λ4, λ5 最终未知量的数目变为 4nm+7 (3) Lam & Fredlund 根据有限元程序 ANSYS 对一些算例的计算结果指出 对一般的边 坡 只有 G/E 与 V/Q 对安全系数有比较大的影响 所以λ2, λ4, λ5都可以假定为零 这样未知 量的数目减为 4nm+4 但还是多出了两个未知量λ1和λ3 可根据以下两个条件确定 1) 如果整体静力平衡条件得到满足 则根据力矩平衡条件得到的安全系数 Fm一定等于 根据静力平衡条件得到的安全系数 Ff 2) λ1和λ3应当给出最小的安全系数 至此 未知量的数目最终变为 4nm+2 个 可以求解安全系数 本方法试图使建立的方程和经假定后剩余的未知物理量的数量匹配 但最终还多出了两 个系数λ1和λ3 于是他们又进一步假定 从而使得方程可解 在平衡未知物理量和静力方程 数目时 似也有可商榷之处 E, G, H, V, Q, P, V 的总数应当为(n-1)m 或 n(m-1) 而不是表 14.3 中的 nm 另外 本方法在求解的过程中需要求解大型非线性方程组 而实际工程问题又比 较复杂 故其在实际应用中 收敛性可能存在问题 5. Huang & Tsai (2000) Huang & Tsai 首先定义了一系列的安全系 数 如图 14.3 所示 根据 Mohr−Coulomb 抗剪 强度准则 每个条柱的安全系数 Fs,i定义为 i i i i i i f i s i T c A N T T F , tanφ , + ′ = = (14.12) 抗滑力 Ti由两部分组成 即平行于 xoy 平 面的 Tx,y和平行于 yoz 平面的 Ty,z 分别定义沿 x 轴的安全系数 Fsx和沿 z 轴的安全系数 Fsz为 图 14. 3 条柱底部抗滑力示意图 x y f i sx T T F , , = (14.13) y z f i sz T T F , , = (14.14) 根据图 14.3 所示力的平行四边形 可以得到 i i i sz sx F F α θ α sin sin( − ) = (14.15) i sz i i s i F F θ θ α sin sin( ) , − = (14.16)
540土质边坡穗定分析一原理 程序 F sin e 定义整体安全系数F为 31 244*7 Huang&Tsai假定Fx和F对于每个条柱都是相等的,但每个条柱的Fx由于随G和a 的变化而不同。 Huang&Tsai给出的未知量和已知条件的数目如表144所示。本方法忽略条 柱间沿y轴方向的所有剪力,因本方法只考虑条柱沿y轴方向的静力平衡,故条柱间的其他 作用力E,P,H,Q均未出现在建立的方程中,故也未列入表144。通过表144中建立的方程 即可分别求得安全系数F3,F3F和F 本方法可以看作是二维 Bishop法在三维条件下的扩展,其中一个特点是每个条柱的滑 动方向也作为求解的一部分。但本方法由于未满足沿x轴和二轴方向的整体力的平衡,所以 在建立力矩平衡方程时就与所绕坐标轴的位置有关,这也就要求滑裂面至少有一部分为球 表144 Huang&Tsai法中的未知量和已知条件数目统计表 未知量 已知条件 变量 数目 方程 数目 每个条柱沿轴方向的静力平衡 Mohr-Coulomb抗剪强度准则(每个条柱)n F和a之间的关系,即式(14.15) F4和F之间的关系,即式(14.16) 沿x轴的整体力矩平衡 沿轴的整体力矩平衡 F的定义,即式(14.18) 4n+3 6.冯树仁等(199) 本方法可看作二维简化 Janbu法在三维条件下的扩展。其假定主要包括(参见图142) 1)忽略条柱间沿y轴方向的所有剪力G和V 2)忽略平行于y平面的剪切力T 本方法满足每个条柱沿y轴方向力的平衡,并根据沿x轴方向的整体力的平衡求解安全 系数。本方法也是比较适合滑裂面对称的情况。冯树仁等也指出若滑面为球面,旋转椭圆面 等规则光滑曲面,上述假定比较真实地反映了实际情况。若剪切面形状不规则,上述假定可 能会导致一定的误差。 表145总结了上述各方法中包括的静力假定和满足的平衡条件
540 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 i sx i s i F F θ α sin sin , = (14.17) 定义整体安全系数 Fs为 ∑ ∑ ∑ ∑ + ′ = = i i i i i i f s T c A N T T F i tanφ (14.18) Huang & Tsai 假定 Fsx和 Fsz对于每个条柱都是相等的 但每个条柱的 Fs,i由于随θi和αi 的变化而不同 Huang & Tsai 给出的未知量和已知条件的数目如表 14.4 所示 本方法忽略条 柱间沿 y 轴方向的所有剪力 因本方法只考虑条柱沿 y 轴方向的静力平衡 故条柱间的其他 作用力 E, P, H, Q 均未出现在建立的方程中 故也未列入表 14.4 通过表 14.4 中建立的方程 即可分别求得安全系数 Fs,i, Fsx, Fsz和 Fs 本方法可以看作是二维 Bishop 法在三维条件下的扩展 其中一个特点是每个条柱的滑 动方向也作为求解的一部分 但本方法由于未满足沿 x 轴和 z 轴方向的整体力的平衡 所以 在建立力矩平衡方程时就与所绕坐标轴的位置有关 这也就要求滑裂面至少有一部分为球 形 表 14. 4 Huang & Tsai 法中的未知量和已知条件数目统计表 未知量 已知条件 变量 数目 方程 数目 Ti n 每个条柱沿y轴方向的静力平衡 n N′i n Mohr−Coulomb抗剪强度准则 每个条柱 n αi n Fsx, Fsz和αi之间的关系 即式(14.15) n Fs,i n Fs,i和Fsz之间的关系 即式(14.16) n Fsx 1 沿x轴的整体力矩平衡 1 Fsz 1 沿z轴的整体力矩平衡 1 Fs 1 Fs的定义 即式(14.18) 1 共计 4n+3 共计 4n+3 6. 冯树仁等 (1999) 本方法可看作二维简化 Janbu 法在三维条件下的扩展 其假定主要包括 参见图 14.2 1) 忽略条柱间沿 y 轴方向的所有剪力 G 和 V 2) 忽略平行于 yoz 平面的剪切力 Ty,z 本方法满足每个条柱沿 y 轴方向力的平衡 并根据沿 x 轴方向的整体力的平衡求解安全 系数 本方法也是比较适合滑裂面对称的情况 冯树仁等也指出若滑面为球面 旋转椭圆面 等规则光滑曲面 上述假定比较真实地反映了实际情况 若剪切面形状不规则 上述假定可 能会导致一定的误差 表 14.5 总结了上述各方法中包括的静力假定和满足的平衡条件
表14.5各种三维稳定分析方法包含的假定 剪力假定(2) 个坐标轴方向整体力的平衡(3)绕三个坐标轴整体力矩平衡(4) 作者 条柱底 行界面 列界面 滑裂面形状 面在 x轴1轴轴 轴分量 √对称旋转面 Hungr (1989 条柱间所有作用力简化为一个平行 xOy平面且具有相同倾角的作用力 Chen 合力与条柱底面 平行 √对称 (1982) Fredlund (1993) 冯树仁等 (1999 STAB-3D (本章) √任意 注第栏中“V”表示考虑此作用力,“”表示忽略此作用力,第3、4栏中“V”表示满足此条件,“”表示不满足此条件
表 14. 5 各种三维稳定分析方法包含的假定 条间剪力假定 (2) 三个坐标轴方向整体力的平衡 (3) 绕三个坐标轴整体力矩平衡 (4) 作者 行界面 列界面 (1) 条柱底 面在z 轴分量 y轴 z轴 x轴 y轴 x轴 y轴 z轴 x轴 y轴 z轴 滑裂面形状 (5) Hungr (1989) (Bishop) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ ∗ ∗ ∗ √ 对称旋转面 Hungr (1989) (Janbu) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ √ ∗ ∗ ∗ ∗ 对称 Zhang Xing (1988) ∗ 条柱间所有作用力简化为一个平行 xoy平面且具有相同倾角的作用力 √ √ ∗ ∗ ∗ √ 对称 Chen & Chameau (1982) ∗ √ ∗ 合力与条柱底面 平行 √ √ ∗ ∗ ∗ √ 对称 Lam & Fredlund (1993) ∗ √ ∗ ∗ √ √ √ √ ∗ ∗ √ 任意 Huang & Tsai (2001) √ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ ∗ √ ∗ √ 至少一部分 为球形 冯树仁等 (1999) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ √ ∗ ∗ ∗ ∗ 对称 STAB−3D 本章 √ √ ∗ ∗ ∗ √ √ √ ∗ ∗ √ 任意 注 第2栏中 √ 表示考虑此作用力 ∗ 表示忽略此作用力 第3 4栏中 √ 表示满足此条件 ∗ 表示不满足此条件
542土质边坡德定分析一原理·方法·程序 14.2水科院三维极限平衡分析方法的理论框架 2001年,陈祖煜、弥宏亮和汪小刚在总结前人工作基础上,提出了一个理论基础更为 严密、计算步骤相对简单,同时收敛性能较好的三维极限平衡分析方法。本节简要介绍这 方法。 首先,建立如图141所示的坐标系,xoy平面应基本反映主滑方向,但在一般情况下, 并不知道主滑方向。这一方面的不精确处将通过下面讨论的求解底滑面剪力与xoy平面夹 角p得到弥补。 在分析条柱上作用力的力和力矩平衡条件 时,我们引入如下假定(参见图144) 水平方向 (1)作用在行界面(平行于y0平面的界面, 图144中的ABFE和DCGH)的条间力G平行 于xoy平面,其与x轴的倾角为常量,这一假 定相当于二维领域中的 Spencer法 (2)作用在列界面(平行于xoy平面的界 面,图144中的ADHE和BCGF)的作用力Q 为水平方向,与〓轴平行。 (3)作用在底滑面的剪切力T与xoy平面的 夹角为p。规定剪切力的z轴分量为正时p为正 GL/T-pV 假定同一列条柱(=常量)的ρ值相同, 图14.4作用在具有垂直界面的条柱上的力 对不同二坐标的条柱,假定p的一个分布形状。 1)p=K=常量,见图14(a); 2)在xoy平面的左、右两侧假定p的方向相反,并线性分布,见图145(b),假定此分布 形状为f,则有 假定2)中含有一个系数,此值反映左、右侧P的变化的不对称特性,当滑体的几何形 状和物理指标完全对称时,相应假定1)的k应为零,相应假定2)的7应为1。和二维领域一样 我们期待在合理性条件限制下,不同的分布形状假定将不会导致安全系数的重大差别。 κ=常量 图14.5底滑面的剪切力T与xoy平面的夹角的分布形状
542 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 14. 2 水科院三维极限平衡分析方法的理论框架 2001 年 陈祖煜 弥宏亮和汪小刚在总结前人工作基础上 提出了一个理论基础更为 严密 计算步骤相对简单 同时收敛性能较好的三维极限平衡分析方法 本节简要介绍这一 方法 首先 建立如图 14.1 所示的坐标系 xoy 平面应基本反映主滑方向 但在一般情况下 并不知道主滑方向 这一方面的不精确处将通过下面讨论的求解底滑面剪力与 xoy 平面夹 角ρ得到弥补 在分析条柱上作用力的力和力矩平衡条件 时 我们引入如下假定 参见图 14.4 (1) 作用在行界面 平行于yoz平面的界面 图 14.4 中的 ABFE 和 DCGH 的条间力 G 平行 于 xoy 平面 其与 x 轴的倾角β为常量 这一假 定相当于二维领域中的 Spencer 法 (2) 作用在列界面 平行于 xoy 平面的界 面 图 14.4 中的 ADHE 和 BCGF 的作用力 Q 为水平方向 与 z 轴平行 (3) 作用在底滑面的剪切力T与xoy平面的 夹角为ρ 规定剪切力的 z 轴分量为正时ρ为正 值 假定同一列条柱 z=常量 的ρ值相同 图 14. 4 作用在具有垂直界面的条柱上的力 对不同 z 坐标的条柱 假定ρ 的一个分布形状 1) ρ = κ =常量 见图 14.5(a) 2) 在 xoy 平面的左 右两侧假定ρ的方向相反 并线性分布 见图 14.5(b) 假定此分布 形状为 f(z) 则有 (14.19) 0 0 = − ⋅ < = ⋅ ≥ z z z z L R ρ ηκ ρ κ 假定 2)中含有一个系数η 此值反映左 右侧ρ的变化的不对称特性 当滑体的几何形 状和物理指标完全对称时 相应假定 1)的κ应为零 相应假定 2)的η应为 1 和二维领域一样 我们期待在合理性条件限制下 不同的分布形状假定将不会导致安全系数的重大差别 图 14. 5 底滑面的剪切力 T 与 xoy 平面的夹角ρ的分布形状
