第9章有限元法在边坡稳定分析中的应用 91概述 随着计算机软件、硬件的飞速发展,采用理论体系更为严格的方法进行边坡稳定分析已 经成为可能。有限单元法全面满足了静力许可、应变相容和应力、应变之间的本构关系。同 时,因为是采用数值分析方法,可以不受边坡几何形状的不规则和材料的不均匀性的限制, 因此,应该是比较理想的分析边坡应力、变形和稳定性态的手段。 与传统的极限平衡法相比,边坡稳定分析的有限元法的优点可总结如下 (1)破坏面的形状或位置不需要事先假定。破坏“自然地”发生在土的抗剪强度不能抵 抗剪应力的地带。 (2)由于有限元法引入变形协调的本构关系,因此也不必引入假定条件。保持了严密的 理论体系 (3)有限元解提供了应力、变形的全部信息。 有关有限元的基本原理及其在边坡稳定分析中的应用,已有很多的文献(沈珠江,1990; 陈胜宏,2001)介绍。作者也另有专著(陈祖煜等,2003)介绍了采用有限元法求解第6章 中所列渗流、固结和应力应变分析控制方程的详细方法。本章92节简要介绍这一计算方法 的解题思路以及三角形、四边形单元的离散方法,并介绍有限元法在小浪底和务平工程中的 应用。 如何将有限元计算成果与传统的安全系数挂钩,成为直接用于边坡设计的判别依据,也 是广泛受到重视的课题。近期在这方面获得了有意义的成果。本章将简要介绍这方面的成果 92求解渗流和应力、应变控制方程的有限元方法 92.1基本原理 第6章所述求解渗流和应力、应变的数学提法是,在体力{f和边界上面力{}的作用 下,求满足微分方程式(627)、式(628)式(6.31)、式(640)和边界条件式(630)、式(643)、 式(644)式(646)和式(6.48)的位移场{和水头场b用有限元求解这些偏微分方程组边 值问题,其基本途径是找出一个泛函π({,劢,当{和h为该偏微分方程边值问题解时 丌获得极值。 可以证明,所寻找的泛函由下式确定
第9章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 9. 1 概述 随着计算机软件 硬件的飞速发展 采用理论体系更为严格的方法进行边坡稳定分析已 经成为可能 有限单元法全面满足了静力许可 应变相容和应力 应变之间的本构关系 同 时 因为是采用数值分析方法 可以不受边坡几何形状的不规则和材料的不均匀性的限制 因此 应该是比较理想的分析边坡应力 变形和稳定性态的手段 与传统的极限平衡法相比 边坡稳定分析的有限元法的优点可总结如下 (1) 破坏面的形状或位置不需要事先假定 破坏 自然地 发生在土的抗剪强度不能抵 抗剪应力的地带 (2) 由于有限元法引入变形协调的本构关系 因此也不必引入假定条件 保持了严密的 理论体系 (3) 有限元解提供了应力 变形的全部信息 有关有限元的基本原理及其在边坡稳定分析中的应用 已有很多的文献 沈珠江 1990 陈胜宏 2001 介绍 作者也另有专著 陈祖煜等 2003 介绍了采用有限元法求解第 6 章 中所列渗流 固结和应力应变分析控制方程的详细方法 本章 9.2 节简要介绍这一计算方法 的解题思路以及三角形 四边形单元的离散方法 并介绍有限元法在小浪底和务平工程中的 应用 如何将有限元计算成果与传统的安全系数挂钩 成为直接用于边坡设计的判别依据 也 是广泛受到重视的课题 近期在这方面获得了有意义的成果 本章将简要介绍这方面的成果 9. 2 求解渗流和应力 应变控制方程的有限元方法 9. 2. 1 基本原理 第 6 章所述求解渗流和应力 应变的数学提法是 在体力{fb}和边界上面力{T }的作用 下 求满足微分方程式(6.27) 式(6.28) 式(6.31) 式(6.40)和边界条件式(6.30) 式(6.43) 式(6.44) 式(6.46)和式(6.48)的位移场{W}和水头场 h 用有限元求解这些偏微分方程组边 值问题 其基本途径是找出一个泛函π({W} h) 当{W}和 h 为该偏微分方程边值问题解时 π获得极值 可以证明 所寻找的泛函由下式确定
240土质边坡定分析一原理 z({}h)=x1+2+z3+4+z5+z6+丌 其中 {00}*{E 2=Jyy(h-y)*a)(e)dv (h-2ho)*hdl (9.5) Q z;=-6}*WyF x6J{行w (9.7) hds (98) 这一命题的理论证明可参见文献(陈祖煜等,2003)。 9.22有限元解法 采用数值分析方法求解使获得极值的水头和位移场,包括以下步骤。 1.离散化 将所研究的域V分成n个单元,共m个节点。这m个节点的{用{v来代表,即 i)=(rl,Wyl, x2, Wy2,", Wxm, Wym) 同样,用{o代表这m个节点的{劢值, (9.10) 任一点的{丹和h可用该点所属单元的节点{吟“和{“近似表示,本质上,也就是可用 ⅵ和{@}代表。于是,可以近似地用{和{来代表,即 丌(W},h)=丌({v},{}) (9.11) 根据里兹法的原理,使m取得极值的{和{q满足° 对于某一行向量{a,我们定义C/{a}为一列向量{b,它满足
240 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 π ( ) { } W ,h = π1 + π 2 + π 3 + π 4 + π 5 + π 6 + π 7 (9.1) 其中 ∫ ∫ = − ∆ ′ ∗ − ′ ∗ V V T 1 { } { }dV { 0 } { }dV 2 1 π σ ε σ ε (9.2) { } (9.3) ∫ = − ∗ V T π 2 γ w (h y) a {ε}dV { } { } { } ∫ = ∇ ∇ V T 3 w h* k * hdV 2 1 π γ (9.4) ∫ = − ∗ V w h h h V Q 0 2 4 ( 2 ) d 2 1 γ π (9.5) { } { } (9.6) ∫ = − ∗ V T π 5 f b W dV { } { } ∫ = ∗ 1 6 d s T π T W s (9.7) q h s (9.8) s w d 4 7 ∫ π = γ ∗ ∗ 这一命题的理论证明可参见文献 陈祖煜等 2003 9. 2. 2 有限元解法 采用数值分析方法求解使获得极值的水头和位移场 包括以下步骤 1. 离散化 将所研究的域 V 分成 n 个单元 共 m 个节点 这 m 个节点的{W}用{v}来代表 即 { } ( 1, 1, 2 , 2 , , , ) (9.9) T ν = Wx Wy Wx Wy LL Wxm Wym 同样 用{ϕ}代表这 m 个节点的{h}值 { } ( 1, 2 , , ) (9.10) T ϕ = h h LL hm 任一点的{W}和 h 可用该点所属单元的节点{W} e 和{h} e 近似表示 本质上 也就是可用 {ν}和{ϕ}代表 于是 π可以近似地用{ν}和{ϕ}来代表 即 π ({W}, h) = π ({ν},{ϕ}) (9.11) 根据里兹法的原理 使π取得极值的{ν}和{ϕ}满足 Ο Ο 对于某一行向量{a} T 我们定义 C/{a} T 为一列向量{b} 它满足
9章有限元法在边坡穗定分析中的应用241 W } (9.12) ah, (9.13) 其中{0}为元素均为零的向量。由式(9.12)和式(9.13)可得3m个线性方程,可用来求解由 和{砂所包含的3m个未知数。这就是有限单元法的基本原理。 2.应用形状函数表达单元内的物理量 单元内任一点的{和h可用该单元节点的{吟和{来近似表达 Wi=[Nw]wi (9.14) h=[N,( h)=(h;[N,]' 因此 s}=[TW}=[oJTIN]W}=[Bn]W}° (9.16) (9.17 式中 By]=[a INw] B,=(V)[NhI [,[M]称形状函数或插值函数。对三角形和四边形单元,具有不同表达形式,将在 第92.3节中详述。同时,我们记 c={a(b或c{b}{a
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 241 { } {0} 2 1 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ym x y x T W W W W π π π π ν π M M (9.12) { } {0} 2 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ m T h h h h π π π π M M (9.13) 其中{0}为元素均为零的向量 由式(9.12)和式(9.13)可得 3m 个线性方程 可用来求解由 {ν}和{h}所包含的 3m 个未知数 这就是有限单元法的基本原理 2. 应用形状函数表达单元内的物理量 单元内任一点的{W}和 h 可用该单元节点的{W} e 和{h} e 来近似表达 (9.14) e {W} = [NW ]{W} (9.15) T h e eT h = [Nh ]{h} = {h} [N ] 因此 (9.16) e W e W T T {ε} = [∂] {W} = [∂] [N ]{W} = [B ]{W} (9.17) e h e h {∇}h = {∇}[N ]{h} = [B ]{h} 式中 [ ] [ ] [ W ] (9.18) T BW = ∂ N [ ] Bh = {∇}[Nh ] (9.19) [NW] [Nh]称形状函数或插值函数 对三角形和四边形单元 具有不同表达形式 将在 第 9.2.3 节中详述 同时 我们记 C={a} T {b}或 C={b} T {a}
242土质边坡稳定分析一原理,方法.程序 [BAl=(a) [Bu (9.20) 将式(9.14),式(9.15),式(9.16),式(9.17)和式(9.20)代入式(9.1),得 x=∑∫(-Ww;m[ Bwl [clBwlw-{o}Ban (h eTIN,][Bl*W)-yyBAI*w) +2.b“N区INF*Nmr (9.21) 11团NNM]h-[Nh[Nh”用dF 2 +∑∫;“ Nw][]"wi ds+∑∫r.* tai INhI INi*hds 注意边界上{T}和q也被离散化为 (922) 如果将式(921)中的单元节点位移{“和水头{b}°改写成系统整体的位移{ⅵ和水头 @)},可表达为 2wk1-M+yn*-rmy* p}N的eoyk-bonk!(924) 2*}+{B}*沙+ym*{2y 其中 k1]=∑,BCI (9.25) k2=∑NIA (926) k3]=∑BI k4=∑』NN 2=∑」N6
242 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 [ ] { } [ W ] (9.20) T T B∆ = a B 将式(9.14) 式(9.15) 式(9.16) 式(9.17)和式(9.20)代入式(9.1) 得 { } [ ]{ } ∑∫ ∑∫ ∑∫ = = ∆ ∆ = + + + − + + − = − − ′ n i e h T h e eT W T W S i s eT e h T h eT w eT h T h w eT e W T b e h T h e T e w T T e h eT e W T n i V e W T W eT T N N W s q N N h s h N N h V Q h N N h Q h N K N h f W h N B W y B W W B C B W B W w 1 s 1 0 2 2 T 0 1 { } [ ] [ ]*{ } d *{ } [ ] [ ]*{ } d { } [ ] [ ]*{ } { } [ ] [ ]*{ } )d 2 1 { } *[ ] [ ][ ]*{ } -{ } [ ]*{ } 2 1 { } [ ] [ ] *{ } [ ] *{ } { } *[ ] [ ][ ]{ } * 2 1 ( 1 4 γ γ γ γ γ γ π σ ω ω N (9.21) 注意边界上{T }和 q 也被离散化为 e {T} = [NW ]{T} (9.22) (9.23) e q = [Nh ]{q} 如果将式(9.21)中的单元节点位移{W} e 和水头{h} e 改写成系统整体的位移{ν}和水头 {ϕ} 可表达为 [ ] { } { } [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } *{ } { } *{ } *{ } *{ } { } *{ } { } *{ } 2 1 { } * *{ } 2 1 { } * { } { } *{ } *{ } 2 1 2 1 2 4 2 4 2 2 1 1 3 4 ν ν γ ϕ ϕ ϕ γ ϕ ϕ γ γ ϕ ϕ π ν ν ν γ ϕ ν γ ν T w T T T o T w T w T w T T w T T M P P k Q k Q k k M k M w − + + + + − = − − + − (9.24) 其中 [ ] ∑ (9.25) ∫ = = n i V W T k BW C B V 1 1 [ ] [ ][ ]d [ ] ∑ (9.26) ∫ = = n i v k Nh k Nh V 1 2 [ ][ ][ ]d [ ] ∑ (9.27) ∫ = = ∆ n i V k B Nh V 1 3 [ ][ ]d [ ] ∑ (9.28) ∫ = = n i V h T k Nh N V 1 4 [ ] [ ]d { } (9.29) ∫ = V T M1 [Bw ] {σ 0 }dV { } ∑ (9.30) ∫ = = n i V T M Nw f b V 1 2 [ ]{ } d
9章有限元法在边坡穗定分析中的应用243 M4}=∑∫,HBNr (9.31) }=∑∫ INuIINuT;d (9.32) }=∑∫N 式(925)式(9,3)系指各矩阵按其在整体结构矩阵中的位置叠加。 3.应用里兹法求解泛函的极小值 对式(9.24所表达的x进行式(912)、式(9,13)的运算,可以得到最终的线性方程组 -[k1]wv+y[k3]{q}={M2}-{B}+{M4}+{M1} ynk3+yn(g+k21+[k:D)(p}=-m{P2}+2k:190}(935) 求解这个方程组,即获得了用有限元法得到的固结问题的解。实际计算时,常采用增量 法,具体的数值分析步骤可参见文献(陈祖煜等,2003 92.3结构矩阵的形成和计算 角形单元 (1)形状函数。三角形单元的自变量用以下矩阵表达: t=Orl, Wrl, Wr2, w,2, Wr3, w13) {h}=(h1,h2h3) (937) 单元内任一点(x,y)的{和h可用该单元的{乃“和{b°表示,即式(914)和(9.15), 其中 Nh]=(N1,N2,N3) (9.39) 而 (941)
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 243 { } ∑ (9.31) ∫ = = ∆ n i V M y B V 1 4 [ ]d { } ∑∫ = = S i S e u T u P N N T s 1 1 1 [ ] [ ]{ } d (9.32) { } ∑ (9.33) ∫ = = S i S e h T h P N N q s 1 2 4 [ ] [ ]{ } d 式(9.25)~式(9.33)系指各矩阵按其在整体结构矩阵中的位置叠加 3. 应用里兹法求解泛函的极小值 对式(9.24)所表达的 π 进行式(9.12) 式(9.13)的运算 可以得到最终的线性方程组 −[k1 ]{ν} + γ w[k3 ]{ϕ} = {M 2} −{P1} +{M 4} +{M1} (9.34) [ ] { } ( [ ] [ ]){ } { } [ ]{ } 4 0 2 3 2 4 2 ϕ γ ϕ γ γ γ ν γ k Q k P Q k g k w w w w T w + ∗ + = − + (9.35) 求解这个方程组 即获得了用有限元法得到的固结问题的解 实际计算时 常采用增量 法 具体的数值分析步骤可参见文献 陈祖煜等 2003 9. 2. 3 结构矩阵的形成和计算 1. 三角形单元 (1) 形状函数 三角形单元的自变量用以下矩阵表达 { } ( x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ) (9.36) eT W = W W W W W W {h} (h1, h2 , h3 ) (9.37) eT = 单元内任一点(x, y)的{W}和 h 可用该单元的{W} e 和{h} e 表示 即式(9.14)和(9.15) 其中 [Nh ] = (N1, N2, N3) (9.38) (9.39) = 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 [ ] N N N N N N NW 而 N1 = (a1 + b1x + c1y) / 2∆ (9.40) a1 = x2 y3 − x3 y2 (9.41) (9.42) 1 2 3 b = y − y (9.43) 1 3 2 c = x − x
244土质边坡定分析一原理 24=detI x2 y2 (9.44) 参考图9.1,在脚标为2、3时,N、a、b、c的相应表达式可依次类推。式(9,18)和式(919) 中 [Bn1=a KN1, N2, N3) axax ax 2△=cb2-c2b aNaN aM ay ay ay 1「bb2b 图9.1三角形单元 -0a0N0M20 Loy a ay a ay ar ay ax b10b20b3 C3 b c2 b2 c3 b3 (2)单元矩阵的积分。将式9.38)、式(939)、式(945)式(946代入式(925)式(933) 可以得到相应各单元矩阵。一般来说,它们都具有N°N2bN3d这样的表达形式,其中k 为不包含x,y的常数 可以证明,对一个三角形单元 NI dv= al bld 2△ (947) (a+b+c+2)! 式中:M、№、隔为形函数;“!”表示阶乘运算;4为三角形单元面积;a、bc为指数。 这样,就算得式(925)~式(9.33)各单元矩阵系数的数值。下一步,具体求解线性方程 式(9.34)和式(9.35)即可得到问题的最后解
244 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 det x y x y x y ∆ = (9.44) 参考图 9.1 在脚标为 2 3 时 N a b c 的相应表达式可依次类推 式(9.18)和式(9.19) 中 图 9. 1 三角形单元 ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 [ ] ( , , ) a a a b b b y N y N y N x N x N x N N N N y x Bh (9.45) ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] c b c b c b c c c b b b x N y N x N y N x N y N y N y N y N x N x N x N N N N N N N y x y x BW (9.46) (2) 单元矩阵的积分 将式(9.38) 式(9.39) 式(9.45) 式(9.46)代入式(9.25)~式(9.33) 可以得到相应各单元矩阵 一般来说 它们都具有k ∫v N1 a N2 b N3 c dV 这样的表达形式 其中 k 为不包含 x, y 的常数 可以证明 对一个三角形单元 ∫ ∆ + + + = V a b c a b c a b c N N N dv 1 2 3 2 ( 2)! ! ! ! (9.47) 式中 N1 N2 N3为形函数 ! 表示阶乘运算 ∆ 为三角形单元面积 a b c 为指数 这样 就算得式(9.25)~ 式(9.33)各单元矩阵系数的数值 下一步 具体求解线性方程 式(9.34)和式(9.35)即可得到问题的最后解
9拿有限元法在边坡穗定分析中的应用245 2.四节点四边形单 (1)形状函数。对任一单元,在该单元形心处建立局部座标(s,t)如图92所示。将单 元内任一点的x,y,{,u均表达成s和t的函数 (1-s)l-1)x1+(1+s)(1-t)x2+(1+)(1+s)x3+(1-s)l+t)x4 y=(1-s-1)y+(1+s)1-)y2+2(1+)1+s)y3+(1-s)(1+1)y4(9.49) 采用式(948)、式(949)这样的表达式,当四边形节点(x,y)值分别为(x,n),(x,y) )和(x,y)时,使得相应节点的(s,t)坐标分别为(-1,-1),(+1,-1),(+1,+1) 用矩阵来表达,式(948)和式(949)可写成 (9.50) y=(M1,N2,N3,N4 x 图92四节点四边形单元 其中 (1-s(1-1) N2=-(1+s)l-D) (9.52) N4=x(1-s)(+1) 和式(9.38)、式(9.39)类似,有 (9.53)
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 245 2. 四节点四边形单元 (1) 形状函数 对任一单元 在该单元形心处建立局部座标(s, t)如图 9.2 所示 将单 元内任一点的 x, y, {W}, u 均表达成 s 和 t 的函数 1 2 3 4 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 x = − s − t x + + s − t x + + t + s x + − s + t x (9.48) 1 2 3 4 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 y = − s − t y + + s − t y + + t + s y + − s + t y (9.49) 采用式(9.48) 式(9.49)这样的表达式 当四边形节点(x,y)值分别为(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3) 和 (x4,y4)时 使得相应节点的(s, t 坐标分别为(-1,-1), (+1,-1), (+1,+1), (-1,+1) 用矩阵来表达 式(9.48)和式(9.49)可写成 (9.50) = 4 3 2 1 1 2 3 4 ( , , , ) x x x x x N N N N (9.51) = 4 3 2 1 1 2 3 4 ( , , , ) y y y y y N N N N 图 9. 2 四节点四边形单元 其中 = − + = + + = + − = − − (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 4 3 2 1 N s t N s t N s t N s t (9.52) 和式(9.38) 式(9.39)类似 有 [Nh ] = (N1, N2, N3, N4) (9.53)
246土质边坡穗定分析一原理 0N20N 0M10N20 0N4 而相应的{和{h}表达式应为 ww)=(xl, Wyl, W2,Wy2, 33, 33, Wr4,Wy4) {h°=(h1,h2,h3h4)7 计算应变和水头梯度时,首先需要建立对整体坐标微分和对局部坐标微分之间的关系 x 其中 as as ax a m x][ OM, aN2 aN3 8N (NIs, N2s, N3s, M anan an2 a at atat at Y]=(y,y2,yy,y4) N (1-1) (1+s) (1+1),N3=(+s) (1+1),N41=(1-s)
246 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 (9.54) = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] N N N N N N N N Nw 而相应的{W} e 和{h} e 表达式应为 (9.55) T x y x y x y x y e {W} (W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ) = 1 1 2 2 3 3 4 4 (9.56) e T {h} (h , h , h , h ) = 1 2 3 4 计算应变和水头梯度时 首先需要建立对整体坐标微分和对局部坐标微分之间的关系 ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ y x t s J (9.57) 其中 ([ ] X [Y ] t s t y t x s y s x , [ ] [ ] = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ J = ) (9.58) = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = [ ] , , , ( , , , ) [ ] , , , ( , , , ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 t t t t s s s s N N N N t N t N t N t N t N N N N s N s N s N s N s (9.59) (9.60) = = [ ] ( , , , ) [ ] ( , , , ) 1 2 3 4 1 2 3 4 Y y y y y X x x x x T T 而 = − + = − = + = + = − = − + = − − = − − (1 ) 4 1 (1 ), 4 1 (1 ) 4 1 (1 ) , 4 1 (1 ) 4 1 (1 ), 4 1 (1 ) 4 1 (1 ), 4 1 4 4 3 3 2 2 1 1 N t N s N t N s N t N s N t N s s t s t s t s t (9.61)
第9章有限元法在边坡稳定分析中的应用247 式(9.57)可变换成 (9.62) 和式(9.45)、式(946)相似 [BhI 0dy (N1,N2,N3,N4) 25 3s N x B ayo N 0 dy ax 假如将式(962)中的J·写成 (9.65) g21Q2 代入后有 (9,67) 将式(966)、式(9.67)代入式(964),得
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 247 式(9.57)可变换成 ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − t s y x 1 J (9.62) 和式(9.45) 式(9.46)相似 = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = − − t t t t s s s s h N N N N N N N N N N N N t s N N N N y x B 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 ( , , , ) [ ] ( , , , ) J J (9.63) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] N N N N N N N N y x y x BW (9.64) 假如将式(9.62)中的 J -1 写成 (9.65) = − 21 22 1 11 12 Q Q Q Q J 代入后有 t Q s Q x 11 12 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (9.66) t Q s Q y 21 22 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (9.67) 将式(9.66) 式(9.67)代入式(9.64) 得
248土质边坡穗定分析一原理,方法.程序 [Bw] asato N 0 N2 0 N3 N4 2x+2x,1x+g m0 m2 0 3 0 m4 0m210m20 Im21 I11 722 /712 23 713 m24 /714 其中 mi=guNis+21 (1=1,2,3,4) (9.69) m2i=o2INis+222 Nit (2)单元矩阵的积分。将式(955)、式(956)、式(957)、式(9.58)分别代入式(925) 式(9.33),可以得到相应各单元矩阵。注意到dxdy=det[/dtds,可得到一般的表达式 ∫1F(s)d。用高斯积分法来计算式(925)式(93)各单元矩阵系数的值。一般用四点 法,此时 F(s,1) a, a F(S,,t,) (9.71) 式中:s1=1=0.57735;52=12=-0.57735;a1=a2=10。 924本构关系 进行固结和结构分析的一个重要工作是确定土的应力应变关系,即矩阵[O。这里,涉 及到土的本构关系。已有许多这方面的研究成果,现结合土体的应力应变分析,作一简要的 1.弹性模型 建立在广义定律基础上的弹性理论对式(6.32)中的[C]=[C]的表达式为 E (1+v)(1-2v) 式中:E为弹性模量;为泊桑比。 2.非线性弹性模型 土的变形特征至少与周围应力a有直接的关系,因此,相应不同的a采用不同的E,v值 是比较符合实际的
248 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 21 11 22 12 23 13 24 14 21 22 23 24 11 12 13 14 1 2 3 4 1 2 3 4 21 22 11 12 21 22 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] m m m m m m m m m m m m m m m m N N N N N N N N t Q s Q t Q s Q t Q s Q t Q s Q BW (9.68) 其中 m1i = Q11Nis + Q12Nit (i =1,2,3,4) (9.69) m2i = Q21Nis + Q22Nit (i = 1,2,3,4) (9.70) (2) 单元矩阵的积分 将式(9.55) 式(9.56) 式(9.57) 式(9.58)分别代入式(9.25)~ 式(9.33) 可以得到相应各单元矩阵 注意到 dxdy = det[J]dtds 可得到一般的表达式 ∫ ∫ − − 1 1 1 1 F(s,t)dsdt 用高斯积分法来计算式(9.25)~式(9.33)各单元矩阵系数的值 一般用四点 法 此时 (9.71) ∫ ∫ − − ∑∑ = = ≈ 1 1 1 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) i j i j i j F s t dsdt α α F s t 式中 s1 = t1 = 0.57735 ; s2 = t2 = −0.57735 ;α1 =α 2 =1.0 9. 2. 4 本构关系 进行固结和结构分析的一个重要工作是确定土的应力应变关系 即矩阵[C] 这里 涉 及到土的本构关系 已有许多这方面的研究成果 现结合土体的应力应变分析 作一简要的 回顾 1. 弹性模型 建立在广义定律基础上的弹性理论对式(6.32)中的[C]= [Ce ]的表达式为 − − − + − = ν ν ν ν ν ν ν 2 1 0 0 1 0 1 0 (1 )(1 2 ) [ ] E Ce (9.72) 式中 E 为弹性模量 ν为泊桑比 2. 非线性弹性模型 土的变形特征至少与周围应力σ3有直接的关系 因此 相应不同的σ3采用不同的 E ν值 是比较符合实际的
