第2章边坡稳定分析的通用条分法 2.1边坡稳定分析极限平衡法的基本原理 2.1.1基本原则 建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则 关于安全系数的定义 土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数F是这样定义的,将土的抗剪强度指标降低为c/F 和tan,则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡,即 t=C.+d·tan (2.2) tand tanφ 上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认 的一种作法。采用这一定义,在数值计算方面,会增加一些迭代、收敛方面的问题。 2.摩尔-库仑强度准则 设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动。在这个滑裂面上,土体处处达到极限平衡,即 正应力σ〃和剪应力τ满足摩尔-库伦强度准则。设土条底的法向力和切向力分别为N和T, 则有 △T=c△xeca+△N-a△ x seca)tan 式中:α为土条底倾角,tan=dy/dx;u为孔隙水压力,通常定义孔隙水压力系数 dw/dx 3.静力平衡条件 将滑动土体分成若干土条(图2.1),每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条 件。在静力平衡方程组中,未知数的数目超过了方程式的数目,解决这一静不定问题的办法 是对多余未知数作假定,使剩下的未知数和方程数目相等,从而解出安全系数的值 2.1.2合理性要求 上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的,但是,也并不是完全任意的 它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性。目前,被普遍接受的合理性条件是( Morgenstern &Pice,1967年; Janbu,1973年)
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 2. 1 边坡稳定分析极限平衡法的基本原理 2. 1. 1 基本原则 建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则 1. 关于安全系数的定义 土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数 F 是这样定义的 将土的抗剪强度指标降低为 c'/F 和 tanφ'/F 则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡 即 (2.1) e n e τ = c′ +σ ′ ⋅ tanφ′ F c ce ′ ′ = (2.2) F e φ φ ′ ′ = tan tan (2.3) 上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认 的一种作法 采用这一定义 在数值计算方面 会增加一些迭代 收敛方面的问题 2. 摩尔−库仑强度准则 设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动 在这个滑裂面上 土体处处达到极限平衡 即 正应力σn' 和剪应力 τ 满足摩尔−库伦强度准则 设土条底的法向力和切向力分别为 N 和 T 则有 (2.4) e e ∆T = c′∆x secα + (∆N − u∆x secα)tanφ′ 式中 α为土条底倾角 tanα=dy/dx u 为孔隙水压力 通常定义孔隙水压力系数 W x u ru d / d = (2.5) 3. 静力平衡条件 将滑动土体分成若干土条 图 2.1 每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条 件 在静力平衡方程组中 未知数的数目超过了方程式的数目 解决这一静不定问题的办法 是对多余未知数作假定 使剩下的未知数和方程数目相等 从而解出安全系数的值 2. 1. 2 合理性要求 上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的 但是 也并不是完全任意的 它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性 目前 被普遍接受的合理性条件是 Morgenstern & Price, 1967 年 Janbu, 1973 年
24土质边坡稳定分析一原理·方法程序 fu(r) f(x)=sin(b=a 图2.1边坡稳定的条分法 (a)滑坡体;(b)侧向力假定1:(c)侧向力假定2 (1)沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力 (参见图22),即 F Ia>>> (26) N 图2.2作用在土条上的力
24 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 图 2. 1 边坡稳定的条分法 (a) 滑坡体 (b) 侧向力假定 1 (c) 侧向力假定 2 (1) 沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力 参见图 2.2 即 F X E c y z F av av v > ′ ′ + ′ − = [ tanφ ( )] (2.6) 图 2. 2 作用在土条上的力
第2章边坡穗定分析的通用条分法25 或 X 上二式中:F为沿着土条垂直面的安全系数;F为使用经过按式(2,2)和式(2.3)缩减后垂 直面的安全系数;E为作用在土条垂直面的法向有效压力;X为作用在土条垂直面的剪力 tanp'a为土条垂直面的有效平均摩擦系数;c'a为土条垂直面的有效平均粘聚力;tanφm为 tand 'av被F值除后的值;c如m为cam被F值除后的值;y为滑裂面的纵坐标值;二为土坡表 面的纵坐标值。 (2)为保证在土条接触面上不产生拉力,作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在 土条垂直面的外面(参考图22)。 0<4<1 (2.9) 式中:y为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值 2.2静力平衡方程的普遍形式及其解 2.2.1作用在土条上的力 设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面y=y(x)下滑,见图22。此时,根据安全系数的定义, 土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为c'、tanφ'。在滑动土体中切出一垂直土条,分 析作用在其上的力,计有 1)土条重量△,浸润线上为天然容重,浸润线下为饱和容重 2)坡表面垂直荷重q△x 3)地震力,水平地震力△Q=n△W,其作用点与土条底距离为he; 4)作用在土条垂直边上的总作用力G(即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和), 与水平线的夹角为β,其作用点的纵坐标值为y。 2.2.2静力平衡微分方程及其解 对土条建立x和y方向的静力平衡方程 Q-△(Gcos阝)=0 △ Cosa-△ Tsina+(△W+q△x)-△(Gsinβ)=0 (2.11) 将式(24)代入式(2.10)、式(2.11),消去△N,令△x→0,得到静力平衡的微分方程 cos(e-a+P)G sin(e-a+阝)+G=-p(x)
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 25 或 1 [ tan ( )] > ′ ′ + ′ − = X E c y z F ave ave ve φ (2.7) 上二式中 Fv 为沿着土条垂直面的安全系数 Fve 为使用经过按式(2.2)和式(2.3)缩减后垂 直面的安全系数 E'为作用在土条垂直面的法向有效压力 X 为作用在土条垂直面的剪力 tanφ'av为土条垂直面的有效平均摩擦系数 c'av 为土条垂直面的有效平均粘聚力 tanφ'ave 为 tanφ'av被 F 值除后的值 c'ave 为 c'av被 F 值除后的值 y 为滑裂面的纵坐标值 z 为土坡表 面的纵坐标值 (2) 为保证在土条接触面上不产生拉力 作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在 土条垂直面的外面 参考图 2.2 0 < ′ < 1 (2.8) Ac y z y z A t c − ′ − ′ = (2.9) 式中 y′t为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值 2. 2 静力平衡方程的普遍形式及其解 2. 2. 1 作用在土条上的力 设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面 y = y(x)下滑 见图 2.2 此时 根据安全系数的定义 土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为 c'e tanφ'e 在滑动土体中切出一垂直土条 分 析作用在其上的力 计有 1) 土条重量∆W 浸润线上为天然容重 浸润线下为饱和容重 2) 坡表面垂直荷重 q∆x 3) 地震力 水平地震力∆Q =η∆W 其作用点与土条底距离为 he 4) 作用在土条垂直边上的总作用力 G 即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和 它与水平线的夹角为β 其作用点的纵坐标值为 yt 2. 2. 2 静力平衡微分方程及其解 对土条建立 x 和 y 方向的静力平衡方程 ∆N sinα −∆T cosα +∆Q −∆(G cos β) = 0 (2.10) − β ∆N cosα −∆T sinα + (∆W + q∆x) −∆(G sin ) = 0 (2.11) 将式(2.4)代入式(2.10) 式(2.11) 消去∆N 令∆x 0 得到静力平衡的微分方程 ( ) d d sin( ) d d cos( ) G p x x x G e ′ − + − e ′ − + = − β φ α β φ α β (2.12)
26土质边坡稳定分析一原理·方法·程序 P(x)=(+q)sin(e-a)-r (2.13) + C seca costφ!-n-,cos(φ-a) 同时,将作用在土条上的力对土条底中点取矩,建立力矩平衡方程: (G+△Gcos(阝+△β)(y+△y)-(y2+△y)-=△yl 其中h为水平地震力作用点距条底的垂直距离,当Ax→0时,可得 Gsin B=-ydr (G cos p)dr G cos B)+n dr he 式(212)也可通过将作用在条块上的力投影图22中线AA方向获得。AA与土条底切 线方向夹角为φ,土条底的法向力N与由其贡献的切向抗力Ntan!的合力因与AA垂直 故不出现 223静力平衡方程的解 微分方程组式(212)和式(2.15)的边界条件是 G(b)=0 yt y,(b)=y(b) 式中:a和b为滑体左、右端点的x坐标。 式(212)是一个一阶非线性常微分方程,它的积分形式是 s(x)=sec(e-a+B)exp)- tan(e-a+B)rds 式(2.15)的积分形式是 GmB-cpa0d=∫n出h+ [CosbY (222) 令x=b,并使用式(216)至式(219)的边界条件,应用分部积分法,式(2.20)和式(222) 可化为 (223) p(x)s(x)r(x)dx-Me =0 (224)
26 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 cos( ) d d sec cos sec sin d d )sin( ) d d ( ) ( α φ η φ α φ α α φ + ′ ′ − ′ − = + ′ − − ′ e e e e u e x W c x W q r x W p x (2.13) 同时 将作用在土条上的力对土条底中点取矩 建立力矩平衡方程 0 d d ∆ ) sin ∆ 2 1 cos ( ∆ ] 2 1 ( ∆ ) cos( ∆ )[( ∆ ) ( ∆ ) − − + + − = + + + − + − t e t t h x W G y y y G x G G y y y y y β β η β β (2.14) 其中 he为水平地震力作用点距条底的垂直距离 当∆x 0 时 可得 t e h x W y G x G x G y d d ( cos ) d d ( cos ) d d sin β = − β + β +η (2.15) 式(2.12)也可通过将作用在条块上的力投影图 2.2 中线 AA' 方向获得 AA' 与土条底切 线方向夹角为φ'e 土条底的法向力 N′与由其贡献的切向抗力 N' tanφ'e 的合力因与 AA' 垂直 故不出现 2. 2. 3 静力平衡方程的解 微分方程组式(2.12)和式(2.15)的边界条件是 G(a) = 0 (2.16) G(b) = 0 (2.17) y (a) y(a) (2.18) t = y (b) y(b) (2.19) t = 式中 a 和 b 为滑体左 右端点的 x 坐标 式(2.12)是一个一阶非线性常微分方程 它的积分形式是 (2.20) = − ′ − + − ∫ − x a G x e s x p s G a 1 ( ) sec(φ α β ) ( ) (ζ ) (ζ )dζ ( ) = ′ − + − ′ − + ∫ x a e e s x d d d ( ) sec( ) exp tan( ) ζ ζ β φ α β φ α β (2.21) 式(2.15)的积分形式是 [ ∫ ∫ − = + − x a x a x e t a h x G y y x W G x d cos ( ) d d (sin β cos β tanα)d η β ] (2.22) 令 x = b 并使用式(2.16)至式(2.19)的边界条件 应用分部积分法 式(2.20)和式(2.22) 可化为 (2.23) ∫ = b a p(x)s(x)dx 0 (2.24) ∫ − = b a Me p(x)s(x)t(x)dx 0
第2章边坡穗定分析的通用条分法27 m自pmm+ b dn h.dx (2.26) 在获得式(2.24)时应用了式(223)和下面的关系式 Ip(r)s(x)r(x)dx 注意式(227)右侧第一项由式(223)可知为零。式(223)和式(224)分别反映滑动土体力和 力矩平衡要求。这两个方程中包含一个未知数,即安全系数F,它隐含在中和c2中[式(22) 和式(23),另外还包含一个变量β(x)。 Morgenstern和 Price假定其符合某一分布形状,留 下一个待定常数λ和F一起求解,即假定 tan阝=2f(x) (228) f(x)旦确定,稳定分析就具体化为求解联立方程式(223)和式(2.24)中包含的两个未知 数F和λ的问题 对式(215)积分可获得使用式(29)需知的y的计算公式 ∫ G(sin B- cosp tana)dr.-∫ Gcos阝 (229) f(x)可假定为1,即假定各土条的β(x)为一常数;也可假定为其它函数。每一组解都要 通过式(25)和式(27)的合理性要求检验 在大部分的计算中,我们令∫(x)=常数=1,如图2.1(b)示。这种特例称 Spencer法。在 STAB程序中,提供给用户的默认的功能也是这一处理方式,因为大量的计算实例说明,f(x) 的形状对安全系数F值的影响并不大。 但是在一些特殊条件下,使用 Spencer法可能导致较大的误差。从严格的理论意义上讲, 为了保证在x=a和x=b处剪应力成对原理不被破坏,要求β(x)在该两端为指定值。因此 假定 tan阝=f0(x)+f(x) (2.30) f6(x)在x=a和x=b处为指定值,f(x)在x=a和x=b处为零,如图2.l(c所示。使 用这一规定,可以进一步限制对未知函数β(x)作假定的随意性。将在252节中详细讨论这 问题 2.3静力平衡方程的数值解 23.1 Newton- Raphson选代法 通常采用 Newton- Raphson迭代法求解下列静力平衡方程中的F和λ
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 27 ∫ ∫ = − ′ − + x a a e t x d ]d d d ( ) (sin cos tan ) exp [tan( ) ξ ζ ξ ζ β β β α φ α β (2.25) ∫ = b a e e h x x W M d d d η (2.26) 在获得式(2.24)时应用了式(2.23)和下面的关系式 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + − = − = − b a b a b a b a b a a a p x s x t x x G x p s t t p s p x s x t x x ( ) ( ) ( )d (sin cos tan )d ( ) ( )d d ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d ξ ξ β β α ζ ζ ζ ζ ζ ζ (2.27) 注意式(2.27)右侧第一项由式(2.23)可知为零 式(2.23)和式(2.24)分别反映滑动土体力和 力矩平衡要求 这两个方程中包含一个未知数 即安全系数 F 它隐含在φ′e中和 c'e中[式(2.2) 和式(2.3)] 另外还包含一个变量β (x) Morgenstern 和 Price 假定其符合某一分布形状 留 下一个待定常数λ和 F 一起求解 即假定 tan β = λf (x) (2.28) f (x)一旦确定 稳定分析就具体化为求解联立方程式(2.23)和式(2.24)中包含的两个未知 数 F 和λ的问题 对式(2.15)积分可获得使用式(2.9)需知的 yt的计算公式 a x a x a e t y G h x x w G x y + − − = ∫ ∫ β β β α η cos d d d (sin cos tan )d (2.29) f (x)可假定为 1 即假定各土条的β (x)为一常数 也可假定为其它函数 每一组解都要 通过式(2.5)和式(2.7)的合理性要求检验 在大部分的计算中 我们令 f (x)=常数=1 如图 2.1(b)示 这种特例称 Spencer 法 在 STAB 程序中 提供给用户的默认的功能也是这一处理方式 因为大量的计算实例说明 f(x) 的形状对安全系数 F 值的影响并不大 但是在一些特殊条件下 使用 Spencer 法可能导致较大的误差 从严格的理论意义上讲 为了保证在 x = a 和 x = b 处剪应力成对原理不被破坏 要求β (x)在该两端为指定值 因此 假定 tan ( ) ( ) (2.30) 0 β = f x + λf x f0(x)在 x = a 和 x = b 处为指定值 f(x)在 x = a 和 x = b 处为零 如图 2.1(c)所示 使 用这一规定 可以进一步限制对未知函数β (x)作假定的随意性 将在 2.5.2 节中详细讨论这 一问题 2. 3 静力平衡方程的数值解 2. 3. 1 Newton−Raphson 迭代法 通常采用 Newton−Raphson 迭代法求解下列静力平衡方程中的 F 和λ
28土质边坡稳定分析一原理·方法程序 Gn(F, P(r)s(x)dx=0 (231) M,(F,A)=p(x)s(x)r(x)dx-Me=0 先假定一组F1和入,代入式(231)、式(2.32)。下一个更为接近其解F、λ*的数值F2、 入2通过下式求得(=1) aM aG. aM aG. aM (2.33) an aFaF a7 -G C1t △M=△x-△A1=aG.a0,.a. 重复上述步骤,直至下列收敛标准得到满足 △F<E 在STAB程序中,E值设为10-。本程序开发以来的实际使用情况证明,程序对绝大多 数问题均能迅速地收敛到这一精度(参见[例2.1]) 在文献中经常可以看到将式(2.33和式(234)的二维迭代过程转化为一维的作法( Spencer 1973; Fredlund,1984),如图23所示。 图2.3 Spencer法求解示意图 固定某一值,给出F=FG(4)和F=FM4)曲线,再采用数值分析的方法寻找该两条曲线 的交点,解得F和。FG(4)和FM4)分别是在该值时通过解式(233)和式(234)获得的F。需 要对式(231)和式(232)分别使用仅包含一个自变量进行迭代获得F(A)和FM4)
28 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 (2.31) ∫ = = b a n G (F,λ) p(x)s(x)dx 0 (2.32) ∫ = − = b a n Me M (F,λ) p(x)s(x)t(x)dx 0 先假定一组 F1和λ1 代入式(2.31) 式(2.32) 下一个更为接近其解 F* λ*的数值 F2 λ2通过下式求得( i=1) λ λ λ λ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + − = n n n n n n n n i i i M F G F G M G M M G F F 1 F (2.33) λ λ λ λ λ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = + − = n n n n n n n n i i i M F G F G M F G M F M G 1 (2.34) 重复上述步骤 直至下列收敛标准得到满足 < ε (2.35) ∆Fi λ < ε (2.36) ∆ i 在 STAB 程序中 ε 值设为 10−4 本程序开发以来的实际使用情况证明 程序对绝大多 数问题均能迅速地收敛到这一精度 参见[例 2.1] 在文献中经常可以看到将式(2.33)和式(2.34)的二维迭代过程转化为一维的作法(Spencer, 1973; Fredlund, 1984), 如图 2.3 所示 图 2. 3 Spencer 法求解示意图 固定某一λ值 给出 F=FG(λ)和 F=FM(λ)曲线 再采用数值分析的方法寻找该两条曲线 的交点 解得 F 和λ FG(λ)和 FM(λ)分别是在该λ值时通过解式(2.33)和式(2.34)获得的 F 需 要对式(2.31)和式(2.32)分别使用仅包含一个自变量进行迭代获得 FG(λ)和 FM(λ)
2拿边坡穗定分析的通用条分法29 采用上述作法,反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理。事 实上,作者使用这一算法的二十余年的经验表明,使用二维 Newton- Raphson迭代,其收敛 速度极快。这一点将在后面[例21]和[例22]的迭代过程中看到。使用如图23所示的迭代 方法,非但使计算过程变得繁琐,而且降低了计算精度。可以想像,这样的作法,使计算精 度保持在103水平将是十分困难的。对于一个滑裂面的安全系数问题,工程实际也许并不在 乎小数点第三位的精度,但是,当问题进入第4章所论述搜索最小安全系数领域时,小数点 第二位的精度就远远不够了。因此,可以说,本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数 值计算收敛特性方面具有其突出的优点。 23.2计算导数的公式 用式(225、式(2.26)求解,需要确定∂MnaA、OMn1DF,OGn1aA,GnOF的数值,计算 这些导数的公式见式(237)式(240),推导过程可参见本章附录(第262节) P(x)s(r)k(x)- sec"(ce-a+B (237) 0Mn=p(x)s(x)(xy(x)-J,se(-a+B) (2.38) ap p(x)-s(x))- sec(ce-a+B) dB (239) aa p(x)3-s(x-J/ -sec(2-a+BdB aaA+ aM, 240) ∫a+DEma+p21 吗 D,= tan(se-a+B) tan(er-a+B).dp D L, tan(oe 其中D和D是考虑到滑面上a和φ可能出现的突变点而增加的附加值。符号[表示在该 点相应数值在突变点右侧和左侧的差值。k(x)的定义见第262节式(2.140)。 2.3.3数值分析的步骤 选择一个接近最终解λ*,F的迭代初值A和F1,对于保证数值计算收敛有着十分重要 的意义,这里建议的方法,经过大量实践计算的检验,证明十分有效。 1.初值F1的估算 对F1的估算的基本指导思想是首先使用将在第3章介绍的稳定分析简化方法确定一个 安全系数的初值,再代入式(231)和式(2.32)进行迭代求解。在STAB程序中,采用了以下步
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 29 采用上述作法 反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理 事 实上 作者使用这一算法的二十余年的经验表明 使用二维 Newton−Raphson 迭代 其收敛 速度极快 这一点将在后面[例 2.1]和[例 2.2]的迭代过程中看到 使用如图 2.3 所示的迭代 方法 非但使计算过程变得繁琐 而且降低了计算精度 可以想像 这样的作法 使计算精 度保持在 10−3水平将是十分困难的 对于一个滑裂面的安全系数问题 工程实际也许并不在 乎小数点第三位的精度 但是 当问题进入第 4 章所论述搜索最小安全系数领域时 小数点 第二位的精度就远远不够了 因此 可以说 本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数 值计算收敛特性方面具有其突出的优点 2. 3. 2 计算导数的公式 用式(2.25) 式(2.26)求解 需要确定∂M n / ∂λ ∂M n / ∂F, ∂Gn / ∂λ, ∂Gn / ∂F 的数值 计算 这些导数的公式见式(2.37)∼式(2.40) 推导过程可参见本章附录(第 2.6.2 节) x F p x s x k x F G b a x a e e n d d d d d d ( ) ( ) ( ) sec ( ) 2 ∫ ∫ ⋅ ′ = ⋅ − ′ − + ∂ ∂ ξ ξ φ β φ α β (2.37) ∫ ∫ ⋅ ′ = ⋅ − ⋅ ′ − + ∂ ∂ x a e e b a n x F p x s x k x t x t F M 2 d ]d d d d d ( ) ( )[ ( ) ( ) sec ( ) ξ ξ φ β φ α β (2.38) p x s x D x G b a i x a e n d d d d d d ( ) ( ) sec ( ) 2 ∫ ∫ = ⋅ − ′ − + ⋅ + ∂ ∂ ξ ξ α λ β φ α β λ (2.39) x p x s x t D M x a e e a e b a ti x a e n d d d d d d d cos sec sec( ) exp tan( ) d d d d d ( ) ( ) sec ( ) 2 ′ ′ − + ∫ ′ − + + = ⋅ − ⋅ ′ − + ⋅ + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ξ λ β ζ ζ β φ α φ α β φ α β ξ ξ α λ β φ α β λ ξ (2.40) r l s i ei i x a Di e ∑= = − ′ − + = ′ − + 1 d d tan( ) d d tan( ) λ β φ α β λ β φ α β (2.41) r l s i ti i ei i D ∑ t = = − ′ − + 1 d d tan( ) λ β φ α β (2.42) 其中 Di和 Dti是考虑到滑面上α和φ′e可能出现的突变点而增加的附加值 符号[ 表示在该 点相应数值在突变点右侧和左侧的差值 r l ] k(x)的定义见第 2.6.2 节式(2.140) 2. 3. 3 数值分析的步骤 选择一个接近最终解λ* F*的迭代初值λ1 和 F1 对于保证数值计算收敛有着十分重要 的意义 这里建议的方法 经过大量实践计算的检验 证明十分有效 1. 初值 F1的估算 对 F1的估算的基本指导思想是首先使用将在第 3 章介绍的稳定分析简化方法确定一个 安全系数的初值 再代入式(2.31)和式(2.32)进行迭代求解 在 STAB 程序中 采用了以下步
30 土质边坡穗定分析一原理,方法·程序 骤: (1)首先使用将在第3章362节介绍的“简化法1”计算安全系数,这个方法适用于任 意形状滑裂面,并不需迭代求解。因此,是一个比较理想的计算安全系数初值的方法 (2)计算陆军工程师团法的安全系数(这一步骤也可以省略) (3)使用上述步骤获得的安全系数作为初值F1进行通用条分法的计算 2.初值λ1的估算 假定tan的平均值和tana的平均值相同,即 tan Bdx= tan ada 将式(228)或式(230)代入式(243),即可得到一个值作为初值A1 本节介绍计算式(231)、式(2.32)和相应的导数公式式(237)-式(242)的过程比较繁复 但是如果编制成计算机程序,则可快速求得解答。在本书11章中,我们将详细介绍实现这 计算过程的源程序。这一程序在过去的二十余年中通过无数工程实例检验。有了这一程序, 使用通用条分法将不再是一个困难的事情。新加坡Low(1998)曾使用 Micro Soft Excell电子 表格进行上述计算。 例21]紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析。 紫坪铺水库左岸距坝618m处存在一个顺坡长300-870m的不稳定堆积体。初步估计方 量为2500~300m3。经钻孔分析,堆积体与基岩接触面存在有厚0.5~15cm的连接平直的软 滑带,即图24中的 ABCDEF。使用本文的通用条分法计算堆积体沿此滑面滑动,并从围堰 G点滑出。堆积体的强度指标为c'=20kPa,φ'=31°;软滑带的指标为c=10kPa,φ'=16°。 使用将在第3章介绍的简化法1所得安全系数为1,239,随后采用工程师团法所得安全系数 为125,应用式(243)解得的A为0293,计算迭代过程如表21 1704(m) 浸润线 图2.4紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
30 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 骤 (1) 首先使用将在第 3 章 3.6.2 节介绍的 简化法 1 计算安全系数 这个方法适用于任 意形状滑裂面 并不需迭代求解 因此 是一个比较理想的计算安全系数初值的方法 (2) 计算陆军工程师团法的安全系数 这一步骤也可以省略 (3) 使用上述步骤获得的安全系数作为初值 F1进行通用条分法的计算 2. 初值λ1的估算 假定 tanβ的平均值和 tanα 的平均值相同 即 (2.43) ∫ ∫ = b a b a tan βdx tanαdx 将式(2.28)或式(2.30)代入式(2.43) 即可得到一个λ值作为初值λ1 本节介绍计算式(2.31) 式(2.32)和相应的导数公式式(2.37)∼式(2.42)的过程比较繁复 但是如果编制成计算机程序 则可快速求得解答 在本书 11 章中 我们将详细介绍实现这 一计算过程的源程序 这一程序在过去的二十余年中通过无数工程实例检验 有了这一程序 使用通用条分法将不再是一个困难的事情 新加坡 Low (1998)曾使用 MicroSoft Excell 电子 表格进行上述计算 [例 2.1] 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析 紫坪铺水库左岸距坝 618m 处存在一个顺坡长 300∼870m 的不稳定堆积体 初步估计方 量为 2500∼3000m3 经钻孔分析 堆积体与基岩接触面存在有厚 0.5∼15cm 的连接平直的软 滑带 即图 2.4 中的 ABCDEF 使用本文的通用条分法计算堆积体沿此滑面滑动 并从围堰 G 点滑出 堆积体的强度指标为 c′=20 kPa φ ′=31° 软滑带的指标为 c′=10 kPa φ ′=16° 使用将在第 3 章介绍的简化法 1 所得安全系数为 1.239 随后采用工程师团法所得安全系数 为 1.225 应用式(2.43) 解得的λ1为 0.293 计算迭代过程如表 2.1 图 2. 4 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
第2章边坡穗定分析的通用条分法 表2.1例21数值选代过程 Mn (9. 8 m) 0.57010E+030.341694E 0.293377E+00 1234 0.549303E+02 -0.212623E+05 0.119380E+01 0.252562E+00 -0.161491E+01 0.751152E+02 0.119598E+0l 0.254412E+0 0.1936l5E-01 0.103906E+01 0.119594E+0l 0.254435E+00 最终得λ=0.254435,F=1.195939。从表21可见应用通用条分法,迭代过程非常迅速 稳定。通过四次迭代,不平衡的力和力矩Gn和Mn分别从-0.570101×103×98kN和0.341694 ×105×98kNm收敛到-0.193615×101×98kN和0.103906×103×9.8kNm 例22]澳大利亚ACAD公布的标准考题EX1。 图2.5示所示一个典型的土坡稳定分析例题。在以后的章节中,还将多次引用(详见114 节)。光滑曲线滑裂面由A、B、C、D、E五个点用样条函数联成,事实上这是一个近似圆 弧的曲线。计算迭代过程见表22。 表22例22数值迭代过程 迭代步G9.8kN M,(9.8kN-m) 0243723E+030.101975E+04024000E+010464641E+00 0.507991E+03 0.429016E+04 0.110318E+01 0.l17622E+0l 0.178628E+030.171667E+04 0.127896E+01 0.93053lE+00 4 0.440980E+02 0.525262E+03 0.136979E+0l 0.618465E+00 0.85718lE+02 0.138486E+01 0.420363E+00 6 0.221638E+01 0.138273E+01 0.39583lE-03 -.315285E-02 0.138264E+01 0.376847E+00 (-34,9,-474,-242) 图2.5溴大利亚ACAD考核题 在本例中,故意将F的初值(F1=240)设得远离其真值(F=1.382),从表22所示的迭代 过程可以看到,安全系数的初值为240,此时不平衡的力和力矩分别为24×102和1.02×10, 迭代至第7步,即减少为396×10-和-3.5×10-3。安全系数解答为F=1.383
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 31 表 2. 1 例 2.1 数值迭代过程 迭代步 Gn (kN) Mn (9.8 kN⋅m) F λ 1 -0.570101E+03 0.341694E+06 0.122454E+01 0.293377E+00 2 0.549303E+02 -0.212623E+05 0.119380E+01 0.252562E+00 3 -0.161491E+01 0.751152E+02 0.119598E+01 0.254412E+00 4 -0.193615E-01 0.103906E+01 0.119594E+01 0.254435E+00 最终得λ = 0.254435 F =1.195939 从表 2.1 可见应用通用条分法 迭代过程非常迅速 稳定 通过四次迭代 不平衡的力和力矩 Gn和 Mn分别从 −0.570101×103 ×9.8 kN 和 0.341694 ×106 ×9.8 kN•m 收敛到 −0.193615×10−1 ×9.8 kN 和 0.103906×101 ×9.8 kN•m [例 2.2] 澳大利亚 ACAD 公布的标准考题 EX1 图 2.5 示所示一个典型的土坡稳定分析例题 在以后的章节中 还将多次引用 详见 11.4 节 光滑曲线滑裂面由 A B C D E 五个点用样条函数联成 事实上这是一个近似圆 弧的曲线 计算迭代过程见表 2.2 表 2. 2 例 2.2 数值迭代过程 迭代步 Gn(9.8kN) Mn(9.8kN⋅m) F λ 1 −0.243723E+03 0.101975E+04 0.240000E+01 0.464641E+00 2 0.507991E+03 0.429016E+04 0.110318E+01 0.117622E+01 3 0.178628E+03 0.171667E+04 0.127896E+01 0.930531E+00 4 0.440980E+02 0.525262E+03 0.136979E+01 0.618465E+00 5 0.515473E+01 0.857181E+02 0.138486E+01 0.420363E+00 6 0.120580E+00 0.221638E+01 0.138273E+01 0.377980E+00 7 0.395831E−03 −.315285E−02 0.138264E+01 0.376847E+00 图 2. 5 澳大利亚 ACAD 考核题 在本例中 故意将 F 的初值(F1 = 2.40)设得远离其真值(F = 1.382) 从表 2.2 所示的迭代 过程可以看到 安全系数的初值为 2.40 此时不平衡的力和力矩分别为−2.44×102和 1.02×103 迭代至第 7 步 即减少为 3.96×10−4和−3.15×10−3 安全系数解答为 F=1.383
32土质边坡穗定分析一原理,方法·程序 2.4与条分法有关的一些基本问题的讨论 24.1作用在徽小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论 在本章建立力矩平衡方程式(214)的推导中,我们曾假定土条底法向应力的合力的作用 点处于条底的中点。在一些文献中曾经把这一合力的作用点的位置也作为一个未知量。这 节,我们将说明,将作用点位置放在中点导致的误差,相对力矩平衡公式中的其它量是一个 高阶小量。在土条的宽度Δx足够小的时候,这一作法引入的误差可以忽略不计。也就是说, 在这一问题上,通用条分法的理论基础是严格的。 图2.6作用在微小长度上的垂直应力 作用在一个微小长度Ax上连续分布的垂直应力x)的合力P由下式决定(参见图26) (244) P的作用点距原点位置为 g(x). xdx (245) o(x)d 定义N的作用点的相对距离为 (246) 将ox)在oO)处按泰勒级数展开,将式(245)代入式(246)后可得 ss2o(0)x2+o(0)x3+(0x o(0)Ax2+o0)tr32+ (247)
32 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 2. 4 与条分法有关的一些基本问题的讨论 2. 4. 1 作用在微小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论 在本章建立力矩平衡方程式(2.14)的推导中 我们曾假定土条底法向应力的合力的作用 点处于条底的中点 在一些文献中曾经把这一合力的作用点的位置也作为一个未知量 这一 节 我们将说明 将作用点位置放在中点导致的误差 相对力矩平衡公式中的其它量是一个 高阶小量 在土条的宽度∆x 足够小的时候 这一作法引入的误差可以忽略不计 也就是说 在这一问题上 通用条分法的理论基础是严格的 图 2. 6 作用在微小长度上的垂直应力 作用在一个微小长度∆x 上连续分布的垂直应力σ (x)的合力 P 由下式决定 参见图 2.6 ∫ = x P x x 0 σ ( )d (2.44) P 的作用点距原点位置为 ∫ ∫ ⋅ = x x x x x x x a 0 0 ( )d ( ) d σ σ (2.45) 定义 N 的作用点的相对距离为 x a ∆ ζ = (2.46) 将σ(x)在σ(0)处按泰勒级数展开 将式(2.45)代入式(2.46)后可得 L L + + + + + + = 2 3 4 2 3 4 (0) 6 1 (0) 2 1 (0) (0) 8 1 (0) 3 1 (0) 2 1 x ' x '' x x ' x '' x σ ∆ σ ∆ σ ∆ σ ∆ σ ∆ σ ∆ ζ (2.47)