麻省理工学院 机械工程系 2.12机器人导论 第八套习趣 编写：2005年11月21日 应用：2005年11月30日 题一 下图是一个类似212运动机器人的小车，配有一对零动轮和一对摩擦脚轮。轮的半 径一3平米，轮的间距2b-20网米.右轮的角速度为u,,左轮的角速度为“每个邓动轮 均配有轴所译钙器以满量所速度。回答下列间题. tr) 2h 图1车柄运行轨边 10 角湾度 度秒 4 2 0 35 8斯=10 时闻：砂 图2车轮与时间的关系
) 0 f 麻省理工学院 机械工程系 2.12 机器人导论 第八套习题 编写：2005年11月21日 应用：2005年11月30日 题一 下图是一个类似2.12运动机器人的小车，配有一对驱动轮和一对摩擦脚轮。轮的半 径r=3厘米，轮的间距2b=20厘米，右轮的角速度为ωr ，左轮的角速度为ωl。每个驱动轮 均配有轴角译码器以测量角速度。回答下列问题。 Y X (t ) f Y (t Ф(t f ) l Ф0 r 2b X Y0 r X 图1 车辆运行轨迹 10 r 8 l 角速度 6 度/秒 4 2 0 3 5 8 tf = 10 图2 车轮与时间的关系 时间：秒
a)当时间：=0时，小车的相对于坐称系0-Y的位置为X-20厘米，Y020里米，相对于X 轴的方位为中，参见图1。葡后小车升始运动。在运动中，车轮角速度与时间的关系如图2 所示。假设汉有滑动。根据图2，计算出当时侧t任10秒时小车的位置。 为了回到初始位置和原米的方位X、了、中山，常要制定-个反馈控制原则。采用下百的控 制方法。 如图3所示，设α是车轩远行方向（直线4B)与当前位骨不目标之间的连线（直线4C)之间 的夹角。 a arctan2 -Y(t).()-(r) 第一个目标是指知当前位臀X(1)、Y(:)与日标x。、之间的距离。 D《X(}-Xa)Y()-) 为了场规这个更离D,小车应当以角度ū运动，小车到达目标后的方位为中。因北，小车 成当减小方位整： B=段-t) 根器上述条件，确定出知下反馈原则： v=kD 9=ka+k p 式中，v为小车的前进速度，P为小车滚动的角逃度。回答下列同避。 目的地 B X().Y (t 中4 A D 图3反馈原则 2
a).当时间t = 0时，小车的相对于坐标系O-XY的位置为X 0 =20厘米，Y0 =20厘米，相对于X 轴的方位为φ0。参见图1。随后小车开始运动，在运动中，车轮角速度与时间的关系如图2 所示。假设没有滑动，根据图2，计算出当时间tf=10秒时小车的位置。 为了回到初始位置和原来的方位X 0、Y0、φ0，需要制定一个反馈控制原则。采用下面的控 制方法。 如图3所示，设α是车辆运行方向（直线AB）与当前位置至目标之间的连线（直线AC）之间 的夹角。 第一个目标是缩短当前位置X (t )、Y (t )与目标X 0 、Y0之间的距离。 2 2 D ( X ( t ) − X 0 ) (Y ( t ) −Y0 ) 为了缩短这个距离D，小车应当以角度α运动，小车到达目标后的方位为φ0。因此，小车 应当减小方位差： 根据上述条件，确定出如下反馈原则： 式中，v为小车的前进速度， 为小车滚动的角速度。回答下列问题。 φ0 φ0 C X 0 , Y0 B 目的地 X (t ), Y (t ) A φ(t) D 图3 反馈原则 2
出小连前这度与滚动角克度相对于左右轮角速度 附加题： 时论在反第资益生粉双下，小如生用：如沈安久 的路色东的 <江的情况下会出现什么情况？考虑
b). 求出小车前进速度与滚动角速度相对于左右轮角速度ωr、ωl之间的雅可比矩阵。 c). 绘出根据a)得出的小车从目的地X (t f )、Y (t f )、φ(t f )返回原位置并恢复原来方位 X 0、Y0 、φ0的轨迹，并求出反馈收益的kD、kα、kβ值。 附加题： d). 讨论在反馈收益改变的情况下，小车如何达到目的地。kα>kD时会出现什么情况？ e)如果 ，前进比后退更容易进行。在 的情况下会出现什么情况？考虑 这些可能的路径，修改原则以使小车尽快达到目的地。 3
题二 )确定位移心1和心？之后，求出补偿重力所诺要的前馈驱动力矩。 粥如随： 餐42.12机械的变量和参划 图5机械臂机村
题二 本题的任务是建立最终项目中的2.12机械臂的动态模型，并求出末端驱动器在垂 直面上的反馈力矩。前面已经讲到，2.12机械臂的驱动器固定在底部连杆上，第二台电机 τ2产生的力矩通过皮带轮，从关节1传送到关节2。驱动器的位移Ф1 和Ф2 是相到于底轴 的绝对夹角，用作广义坐标，与位移相对的电机力矩分别为τ1 和τ2 ，形成垂直运动： 。 a) 按图4的定义，分别求出连杆mi、ci 、Ii的质点特性，图6是非连接状态的连杆（在计算 质量特性时不考虑图上的细节）。每条连杆都是275毫米x 50毫米x 20毫米的铝棒，质点分 别位于连杆两端。为了简化问题，假定两端的质点是没有转动惯量的质点。分别求出连杆 mi、ci 、Ii的质点、质心位置。 b) 确定位移Ф1 和Ф2 之后，求出补偿重力所需要的前馈驱动力矩。 附加题： c) 求出根据广义坐标Ф1 和Ф2以及驱动力矩τ1 和τ2 ，运动方程式。讨论为什么方程式中 不含科里奥利项。 d) 根据图7中的轨迹Ф1 和Ф2 ，计算轨迹沿线的角速度和加速度 ，并求出 时间t=0至t=t f时沿着轨迹的前馈力矩。 y 连杆 2 关节 2 传送带 固定在底座上 连杆 1 重力 驱动器 2 驱动器 1 关节 1 1 1 c1 c 2 2 I 2 , m2 2 2 O 1 1 I1 , m1 x 图4 2.12机械臂的变量和参数 图5 机械臂机构 4
0毫米 尺寸相铜 0.3公斤 20毫米 275毫米 1公斤 图6连杆的尺寸和重量 45 时同：秒 4 2 时间：秋 图7轨
连杆1 0.1公斤 230毫米 20毫米 0.5公斤 50毫米 0.3公斤 连杆2： 尺寸与连杆1相同 275毫米 图6 连杆的尺寸和重量 1公斤 90 Φ1 度 45 45 Φ2 度 0 1 2 3 tf = 4 时间：秒 -45 0 1 2 3 tf = 4 时间：秒 图7 轨迹 5