问趣集1解答 到期：星期一，2月7日下午9点 问题1连接符A(与，V(减)和一蕴通)经常不仅在计算机程序中出现，而且也出现在 日常用语中。自是计算与非操作的设备是在计算机芯片设计中更为偏好的。这是与非的真 值表： P Q P nand Q TT F TF T FT T FF T 对于以下的每一个表达式，发现一个等效仅使用与非〔ad)和一（非）的表达式. (a)AAB 解：一(A nand B) (b)AVB 解：（一A)nand(-B) (e)A→B 解：Aand(B 间题2一自称“伟大逻辑学家”发明了一个新的量词。与3广存在”和寸广任意"相似. 新的量词由符号U表示，读做“存在难一的”。命题UxPx为真，当且仅当存在埃一的 x使得P为真。逻辑学家注释到，“曾经是存在二个量问，但是现在有三个了1我扩大 了数学的整体领减50根” ()写一个命题等效于Uxx,使用3量词，=和逻辑连接符。 解： 3x(P(x)A(3U((x=)AP()】 b)写一个命题等效于Uxx,使用口量词，一和逻辑连接符. 解 x(P(x)Vy(x=yV一P()】 PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.finsprint,n
问题集 1 解答 到期 ： 星期一， 2 月 7 日下午 9 点 问题 1 连接符∧ (与)， ∨ (或)和⇒ (蕴涵)经常不仅在计算机程序中出现，而且也出现在 日常用语中。 但是计算与非操作的设备是在计算机芯片设计中更为偏好的。 这是与非的真 值表： 对于以下的每一个表达式，发现一个等效仅使用与非（nand）和¬ (非)的表达式。 (a) A∧B 解： ¬ (A nand B) (b) A∨B 解：(¬A) nand (¬B) (c) A⇒B 解： A nand (¬B) 问题 2 一自称“伟大逻辑学家”发明了一个新的量词，与∃ (“存在”)和∀ (“任意”)相似。 新的量词由符号 U 表示，读做“存在唯一的”。 命题 UxP (x)为真，当且仅当存在唯一的 x 使得 P 为真。 逻辑学家注释到， “曾经是存在二个量词，但是现在有三个了! 我扩大 了数学的整体领域 50%! ” (a) 写一个命题等效于 Ux P(x)，使用∃量词， =和逻辑连接符。 解： (b) 写一个命题等效于 Ux P(x)，使用∀量词， =和逻辑连接符。 解： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
间题3媒体大富翁有的一个对所有新闻电棍网络叫NN的法：逻辑新侧网络。每段 从一些相关的集合和谓词的定义开始。每天发生的事件以逻辑记法能简明地通信。例知， 广播也许开始如下： 这里是LNN。令S是集合{Bil,Monica,Kcn,Linda,Betty。令Dx) 是是真实的a谓语，如果x是狡诈的。令L(x,y)为真，如果的谓问x喜玫y:令Gx,》 为真的谓问，如果x给了礼物y。“ 通过翻译以下称述为逻辑记法完成广播， a果Monicn和1in由不是收作，然后比尔和onica互机喜欢. 解： ((D(Monica)V D(Linda)))(L(Bill,Monica)AL(Monica,Bill)) (b降了Kcm外，所有的人都喜欢B的y,并且没人除了Lin由喜欢Ken,I 解： S (r Ken AL(,Betty))V(Ken A L(,Betty))A VS(Linda A L(r,Ken))v(r Linda AL(r,Ken)) (c)如果肯不是狡诈的，则B给了礼物Monica,并且Monica给了礼物某人. 解： -D(Ken)→(G(Bill.Monica)A3r∈SG(Monica,x) (大家喜欢某人并且模老某个人。 解： x∈S3y∈S32∈S(y≠2)AL(c,)AL(x,) 剩余的问题主要在您证明的请晰程度哈分。一不是您否有正确的想法。实际上，如果 您不能推测正确的想法，我们将把它给您-要求您的T 问题4令n是一个正整数。证明，lc空n是有理数，当且仅当n是2的幂。假设关于您 需要的除法的的所有基本事实：请明白地陈述您的假定， 解：假定：如果n是2的冪，则n是2的幂。 PDF文件使用“pdfFactory Pro”试用版本创建fineprint.cn
问题 3 媒体大富翁有的一个对所有新闻电视网络叫 LNN 的想法 ： 逻辑新闻网络。 每段 从一些相关的集合和谓词的定义开始。每天发生的事件以逻辑记法能简明地通信。 例如， 广播也许开始如下： “这里是 LNN。 令 S 是集合{Bill, Monica, Ken, Linda, Betty }。 令 D (x) 是是真实的 a 谓语，如果 x 是狡诈的。 令 L (x， y)为真，如果的谓词 x 喜欢 y。令 G (x， y) 为真的谓词，如果 x 给了礼物 y。” 通过翻译以下称述为逻辑记法完成广播。 (a)如果 Monica 和 Linda 不是狡诈，然后比尔和 Monica 互相喜欢。 解： (b)除了 Ken 外，所有的人都喜欢 Betty，并且没人除了 Linda 喜欢 Ken。 \ 解： (c) 如果肯不是狡诈的，则 Bill 给了礼物 Monica，并且 Monica 给了礼物某人。 解： (d) 大家喜欢某人并且烦恶某个人。 解： 剩余的问题主要在您证明的清晰程度给分。—不是您否有正确的想法。 实际上，如果 您不能推测正确的想法， 我们将把它给您–要求您的 TA! 问题 4 令 n 是一个正整数。 证明， log2 n 是有理数，当且仅当 n 是 2 的幂。假设关于您 需要的除法的的所有基本事实；请明白地陈述您的假定。 解：假定： 如果 n b是 2 的幂，则 n 是 2 的幂。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
证明：我们证明。如果是2的琴。那么n是有理数的和反之亦然。首先，我们正明， 如果n是2的幂，然后1gn是有理数。假设，n是2的幂。那么某一整数的k之0，n-2. 因此，en=og2=k,是一个有理数， 下一步，我们证明.知果gn是有理数，那么n是2幂。假设，妆n是有理数。那 意味都里存在整数a和b这样： 1 log2 n b 我们可以重写这个等式如下： n=2(在两边取2的暴，) n°-2a(每边取第b个幂) 因此是2的幂。由我们的假定的。n是2的幂。 间题5三角是一三个人这样的集合或者每个对都屏手或没有对界手。证明，在每六个人之 中有一个三角。建议：初始的，把问题分为两件情况： 1存在至少的三个人与X握手。 2存在至少三个人不与X握手. (为什么必演至少三个条件中的一个成立？) 解： 证明。 我们使用情况分析。令X表示六个人之一。有二种可能性： 1存在与三个人与X握手。现在有个进一步的可能： )在这三个人中，某对人界手。然后这两个人和X形成三角。 )在这三人中，没有两个人握手。然后这三个人形式三角。 2否测。至多二个人与人X握于。因此，那里存在三个人不与X捉手的。再次，有二种 进一步可能性： a在这三个人中，每对人提手。然后这三个人形成三角。 )在这三个人中，某对人不握手。然后这两个人和X形成三角。 问题6令x和y是非负实数。x和y算术平均数被定义是(x+y2和几何平均数被定义是 VEy 。证明，算术平均数与几何平均数是相等的，当且仪当x一y 解： 迁明：我们修建链子当且仅当道锅。算术平均数与几何平均数是相等的，当且仅当： PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
证明： 我们证明，如果 n 是 2 的幂，那么 log2 n 是有理数的和反之亦然。首先，我们证明， 如果 n 是 2 的幂，然后 log2 n 是有理数。假设， n 是 2 的幂。那么某一整数的 k ≥ 0 ，n =2k。 因此， log2 n = log2 2k = k，是一个有理数。 下一步，我们证明，如果 log2 n 是有理数，那么 n 是 2 幂。假设， log2 n 是有理数。 那 意味那里存在整数 a 和 b 这样： 我们可以重写这个等式如下： n =2a/b (在两边取 2 的幂。) n b =2a (每边取第 b 个幂)， 因此 n b是 2 的幂。 由我们的假定的， n 是 2 的幂。 问题 5 三角是一三个人这样的集合或者每个对都握手或没有对握手。 证明，在每六个人之 中有一个三角。 建议：初始的，把问题分为两种情况： 1 存在至少的三个人与 X 握手。 2 存在至少三个人不与 X 握手。 (为什么必须至少三个条件中的一个成立？) 解： 证明。 我们使用情况分析。 令 X 表示六个人之一。 有二种可能性： 1.存在与三个人与 X 握手。 现在有个进一步的可能： (a)在这三个人中，某对人握手。 然后这两个人和 X 形成三角。 (b)在这三人中，没有两个人握手。 然后这三个人形式三角。 2.否则，至多二个人与人 X 握手。 因此，那里存在三个人不与 X 握手的。 再次，有二种 进一步可能性： (a)在这三个人中，每对人握手。 然后这三个人形成三角。 (b)在这三个人中，某对人不握手。 然后这两个人和 X 形成三角。 问题 6 令 x 和 y 是非负实数。 x 和 y 算术平均数被定义是(x + y)/2 和几何平均数被定义是 。 证明，算术平均数与几何平均数是相等的，当且仅当 x = y。 解： 证明：我们修建链子当且仅当蕴涵。算术平均数与几何平均数是相等的，当且仅当： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
+=可 2 种 r+y=2vT 种 (z+y)=4ry 种 2+2ry+2=4r到 钟 2-2ry+w2■0 格 r-j20 r-琴=0 I=y 口 问题了使用情况分析证明，方程的所有整数解 1,11,1 m n e 受这纯限制支配 m23 n23 e>0 在下面的表中： m n e 336 3412 3530 4312 5330 这些方程据示关于我们的三维t界几何的基本事实：我们将在大的三个星期再访它们。 解： 迁明。我们使用案例分析。因为23，四个情况之一必须成立： 1,一3。联在有四件子情况： a)=3,以形式重写等式：. 1 e=+ 并且带入3指涵c6,是第一种解答. (b4替代m和n值到等式中说明e=2。这是第二种解答， (e=5替代入等式中，说明c=30,是第三个解。 PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.finsprint,n
问题 7 使用情况分析证明，方程的所有整数解 受这些限制支配 在下面的表中： 这些方程揭示关于我们的三维世界几何的基本事实；我们将在大约三个星期再访它们。 解： 证明。 我们使用案例分析。 因为 m≥ 3，四个情况之一必须成立： 1. m=3。 现在有四种子情况 ： (a) n=3，以形式重写等式：. 并且带入 m=n=3 蕴涵 e=6，是第一种解答。 (b)n=4 替代 m 和 n 值到等式中说明 e =12，这是第二种解答。 (c)n=5 替代入等式中，说明 e=30，是第三个解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(d吧6。这擅涵： 1.11.11 m+≤+后= 因此，等式的左边小于等式右边，对所有©0，那么在这种情况下没有解。 2.一4。有两种子情况： (a=3.替换给出e=12,是第四种解容。 (b24。这暗示： 11111 m+n≤4+1=5 ”十 再次，等式的左边比右边小，对于所有0，！么事单在这种情况下没有解， 3.=5。有两种子情况： (a一3替换给出e=30,是第五种解答. be4。这暗示： 11111 m+n≤后+i<2 再次，等式不可能华行，那么那里在这种情况下是没有解粹。 4.吧6。这晴示： +s+ 在此，等式不可能成立，那么在这种情况下是没有解答。 FDF文件使用“pdfFactory Pro”试用版本创建fineprint.cn
(d) n≥ 6。 这蕴涵： 因此，等式的左边小于等式右边，对所有 e>0，那么在这种情况下没有解。 2. m=4。 有两种子情况： (a)n=3.替换给出 e= 12，是第四种解答。 (b)n≥ 4。 这暗示： 再次，等式的左边比右边小，对于所有 e>0，那么那里在这种情况下没有解。 3. m=5。 有两种子情况 ： (a)n=3 替换给出 e= 30，是第五种解答。 (b)n≥ 4。 这暗示： 再次，等式不可能举行，那么那里在这种情况下是没有解答。 4. m≥ 6。 这暗示： 在此，等式不可能成立，那么在这种情况下是没有解答。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn