问趣集11的解 到期：星期五下午5点，5月6日 这是一个迷你的同题集。第一利愿回顾关于期望的基本事实。第二和第三个问恶是典型的期 末考试问题。 问愿1回答以下关于期里的问题。 (存在几个随机变量的期里的定义。如果R是在样本空间S上的随机变量，郑么我们能通 过在独立结果上的求和威者通过在R的范围之内的值上米计算ExR)·写出ER的 等价的定义。 解： Ex(R=∑ R(e)Pr(D】 U·Pr(R=e e Rang用 )给出xR)的另一个表达式，当R是自驾随机变量的时候它成立 解： Ex(R)= Pr(R>k) k=0 (©)给出对R)的简单的表达式。它是当R是一个随机变量指示墨的时候是有效的。 解： Ex (R)=Pr (R=1) ()随机变量的期望经常从简单的随机变量的计算得到.根据E刘R)和ExS)重写以下的表 达式。注意任何R和S的条件必须满足，为了你的方程能成立，这里的©是常量， Ex(cR) Ex(R+S) Ex(R·S) 解： Ex (cR)=cEx(R) Ex (R+S)=Ex(R)+Ex(S) Ex(R·S)=Ex(R)·Ex(S) F文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
问题集 11 的解 到期：星期五下午 5 点，5 月 6 日 这是一个迷你的问题集。第一问题回顾关于期望的基本事实。第二和第三个问题是典型的期 末考试问题。 问题 1 回答以下关于期望的问题。 (a) 存在几个随机变量的期望的定义。如果 R 是在样本空间 S 上的随机变量，那么我们能通 过在独立结果上的求和或者通过在 R 的范围之内的值上来计算 Ex( R) 。写出 Ex( R)的 等价的定义。 解： (b) 给出 Ex(R )的另一个表达式，当 R 是自然随机变量的时候它成立 解： ( c) 给出对 Ex(R)的简单的表达式，它是当 R 是一个随机变量指示器的时候是有效的。 解： (d ) 随机变量的期望经常从简单的随机变量的计算得到。根据 Ex( R)和 Ex(S) 重写以下的表 达式。注意任何 R 和 S 的条件必须满足，为了你的方程能成立。这里的 c 是常量。 解： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
第三个等式当且仅当R和S是融立的成立， (©)随机变量R的期里值给出某一事件E发生表示EE)。写下两个基于你的对部州)的 回答的ExRE)等价的表达式。 解： Bx(RIE)=∑Ro)Pr(|E v.Pr(R=E) re Rang角 (价有些时候，计算F可R)的工作是最好分解成情况，令EE,是分解样本空间的事作。假 设你能计算ERE)和PE),对于所有的k。你如何计算ER)? 解 Dx()=∑ Ex(R Ex)Pr (E) (1) k= (g》许多付题涉及到独立事件的序列，它们中的每个都以概率P成功。获得一个成功的试的 的期望数是什么？ 解：1p 问题2MT的学生延时法衣几天。假设所有以下描述的随机变量是独立的。 ()一个忙的学生在洗衣服之前必须完成3个问题集合，每个月题集合需要1天完成的顺率 是23，蓄要2天完成的概率是1/3。令B是一个忙的学生的天数。ExB)是什么？ 例子：如果第一个问题集需要1天，第二个问题和第三个问题集合需要2天，那么学生延长 B=5的天。 解：完成一个问题集合的期望事件是： 2 1 +23 =3 因此，期望的完成3个问题集合的时间是： Ex (B)=Ex (pset1)+Ex (pset2)+Ex(pset3) 444 =3+3+3 =4 )一个放松的学生在早上滚动一个公平的，6边的酸子。如果他滚动一个1，那么能立刻 沈衣服(0天的廷时)。杏则他廷长一天然后在后面的早晨重复试验。令R是收松学生 延迟洗农服的天数。ER)是什么？ PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.finsprint,n
第三个等式当且仅当 R 和 S 是独立的成立。 (e) 随机变量 R 的期望值给出某一事件 E 发生表示 Ex(R|E)。写下两个基于你的对部分(a)的 回答的 Ex(R|E)等价的表达式。 解： (f) 有些时候，计算 Ex(R)的工作是最好分解成情况。令 E1,…,En是分解样本空间的事件。假 设你能计算 Ex(R |Ek)和 Pr(Ek)，对于所有的 k。你如何计算 Ex(R ) ? 解 。 (g) 许多问题涉及到独立事件的序列，它们中的每个都以概率 p 成功。获得一个成功的试验 的期望数是什么？ 解：1/p. 问题 2 MIT 的学生延时洗衣几天。假设所有以下描述的随机变量是独立的。 (a) 一个忙的学生在洗衣服之前必须完成 3 个问题集合。每个问题集合需要 1 天完成的概率 是 2/3，需要 2 天完成的概率是 1/3。令 B 是一个忙的学生的天数。Ex(B)是什么？ 例子：如果第一个问题集需要 1 天，第二个问题和第三个问题集合需要 2 天，那么学生延长 B＝5 的天。 解：完成一个问题集合的期望事件是： 因此，期望的完成 3 个问题集合的时间是： (b) 一个放松的学生在早上滚动一个公平的，6 边的骰子。如果他滚动一个 1，那么他立刻 洗衣服（0 天的延时）。否则他延长一天然后在后面的早晨重复试验。令 R 是放松学生 延迟洗衣服的天数。Ex( R)是什么？ PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
例子：如果学生在第一个早上滚动酸子得到2，在第二个早最得到5，在第三个早晨得到， 那么延迟R-2天 解：如果我们把洗衣康认为是一个失败，那么平均时间失救是(16)=6。然而这个依领洗 衣的被完成的天，因此，廷迟的天数是6-5。另一种，我们能按黑如下来得出答案。 Ex (R)= ∑Pr(R> k= = 6 6 5 6 1 6 5 = 61-5/6 =5 ()在洗衣服的前，一个不率的学生必须从疾病中恢复很多天等于在两个公平的6面的酸子 滚动的数学的乘积。令U是一个不幸的学生延长洗农服的期望的天要。EU是什么？ 例如：如果滚动是5和3，那么学生延长U-15天， 解：令D1和D是两个骰子滚动。回忆一个般子滚动的期望是27。因比此： Ex(U)=Ex(D1·D2) =Ex(D)·Ex(D2)】 77 =22 9 =4 (一个学生忙的概率是2。故松的概率是13，不率的慢率是16。令D是学生延迟洗衣 根的天数，ED)是什么？ 解： PDF文件使用“pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
例子：如果学生在第一个早上滚动骰子得到 2，在第二个早晨得到 5，在第三个早晨得到 1， 那么延迟 R=2 天。 解：如果我们把洗衣服认为是一个失败，那么平均时间失败是 1(1/6) = 6。然而这个依赖洗 衣的被完成的天，因此，延迟的天数是 6-1=5。另一种，我们能按照如下来得出答案。 (c) 在洗衣服的前，一个不幸的学生必须从疾病中恢复很多天等于在两个公平的 6 面的骰子 滚动的数字的乘积。令 U 是一个不幸的学生延长洗衣服的期望的天数。Ex(U)是什么？ 例如：如果滚动是 5 和 3，那么学生延长 U=15 天。 解：令 D1和 D2是两个骰子滚动。回忆一个骰子滚动的期望是 2/7。因此： (d) 一个学生忙的概率是 1/2，放松的概率是 1/3，不幸的概率是 1/6。令 D 是学生延迟洗衣 服的天数，Ex(D)是什么？ 解： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
Ex(D)=号Ex(B)+号Bx(风+君Bx四 问题3我们由12张卡片： 22 33 4 我洗辩它们并把它们放为一行。例如，我们也许得到： 2 3 3 4 6 5 5 6 相邻对有相月的值的期望值是什么？在这个例子中，由两个相邻的对由同样的值，是3和5。 解：考虑一个相邻对.在左边牌仅匹配其他1山张牌的一张，等于在1山个其他位置中的任何 一个位置。因此，相邻对匹配的概率是11。因为由11相邻的对，通过线性别里得到期望 的匹配是11·1/11=1. PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
问题 3 我们由 12 张卡片： 我洗牌它们并把它们放为一行。例如，我们也许得到： 相邻对有相同的值的期望值是什么？在这个例子中，由两个相邻的对由同样的值，是 3 和 5。 解：考虑一个相邻对。在左边牌仅匹配其他 11 张牌的一张，等于在 11 个其他位置中的任何 一个位置。因此，相邻对匹配的概率是 1/11。因为由 11 相邻的对，通过线性期望得到期望 的匹配是 11· 1/11 = 1。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn