校极与仿真粒论，2005年春季一M.Z.Bazant 22.001.1.021J.2.030u.3.021U.10.333U.18.3611.HsT588J 练习考试问题：蒙特卡洛方法(Ba7ant) 说明：在查否最后的答莱游，行捉供的空问内尝试解决这空问园。与这些相似的一个问恩会出现 在考试中，同时作为粒子方法大致四个问燃中的一个。 1.考虑在三维立方格了柜架巾，拔拟N个独立步的·种使机游动，希单能邯接近相等棋率的临近位 量. (a)说明从源点处均方根的距离，R,应该满足品=3a2V。 心)从中心极限定理，我门知道随机游动实陈上仅限小半轮x瓦、（以下篇称“中央地区”）的 球形区域。授设此游动很少回到相同的位置，计算分形数锥，D,随机游动访问到位置的 追踪
模拟与仿真概论，2005年春季－M. Z. Bazant 22.00J, 1.021J, 2.030J, 3.021J, 10.333J, 18.361J, HST588J 练习考试问题：蒙特卡洛方法 (Bazant) 说明：在查看最后的答案前，在提供的空间内尝试解决这些问题。与这些相似的一个问题会出现 在考试中，同时作为粒子方法大致四个问题中的一个。 1.考虑在三维立方格子框架中，模拟N个独立步的一种随机游动，希望能够接近相等概率的临近位 置。 (a) 说明从源点处均方根的距离，𝑅𝑅�𝑁𝑁 ,应该满足𝑅𝑅�𝑁𝑁 2＝3𝑎𝑎2N。 (b) 从中心极限定理，我们知道随机游动实际上仅限于半径∝ 𝑅𝑅�𝑁𝑁（以下简称“中央地区”）的 球形区域。假设此游动很少回到相同的位置，计算分形数维，𝐷𝐷𝑓𝑓，随机游动访问到位置的 追踪
山于版权原因，像去袋。 2.以上是一种生长在培养中，低养分含量的细菌菌落照片。[转自：B,e-Jacob等人，“复杂 细首模式行程的合作战略，”分形4.849-服(195)。] 《)解样（约理上》为什么对」小这种模式，有限打散聚集可能足个合理的模犁。 )该细芮肉落娘然不是作为个DLA分支集群。你将如何生政DLA想则米模银细购的牛长？
由于版权原因，图像去除。 2. 以上是一种生长在培养皿中，低养分含量的细菌菌落照片。[转自：E. Ben-Jacob等人，“复杂 细菌模式行程的合作战略，” 分形4, 849-868 (1995)。] (a) 解释（物理上）为什么对于这种模式，有限扩散聚集可能是一个合理的模型。 (b) 该细菌菌落显然不是作为一个DLA分支集群。你将如何更改DLA规则来模拟细菌的生长？
器，蒙特卡洛模拟的关键法流（和兴他模型）产生机分形群。一个简单的方法思考这些对象是遥过 递归结构。类似于来自讲义巾的（非随机的》谢尔完斯基地孩。正如图像序列表明，考虑把一个 正方形分成9个较小的正方形同时保持较小正方形的随机数m]·对于其余每个正方形，再刚除较小 正方形（九个外）的随机数2。并重复这个过程， (a)假设{n,}是独立集，同分布的随机变量均值五，计算比集预期的分形雄数， )北集与非随机行况是如何不同的，何处=元？
3.蒙特卡洛模拟的关键渗流（和其他模型）产生随机分形群。一个简单的方法思考这些对象是通过 递归结构，类似于来自讲义中的（非随机的）谢尔宾斯基地毯。正如图像序列表明，考虑把一个 正方形分成9个较小的正方形同时保持较小正方形的随机数𝑛𝑛1。对于其余每个正方形，再删除较小 正方形（九个外）的随机数𝑛𝑛2，并重复这个过程。 (a) 假设{𝑛𝑛𝑖𝑖}是独立集，同分布的随机变量均值𝑛𝑛�，计算此集预期的分形维数。 (b) 此集与非随机情况是如何不同的，何处𝑛𝑛1＝𝑛𝑛�？
BRIEF ANSWERS: 1.()讲义3中，我们注意到方差是对于独立步的赠加观，是N步后的方差只是每一步方差的W倍， 在每个坐标方向上都有一个a的责献.=N(a2+a3十a2)=3aN )忽略返回到同~位置，在W步之后，随机游动访问了位置，所有这些位置都人致限定在 个半径为Rw∝√F的球形民域内。血于示踪尺度的“大量”x弱，分形维数为2。（尽管 是整数，们是小于嵌入雄救3，也过意味着此行踪有一个非常复杂的“粘性”分形结构。》 2.()一个简单的模型将程定附近细岗快速消拜营养，在传入方向上慢漫地牛长，扩散养分通量（由 细胞分裂)，此模型大致用当于DA核型，比处到达集样以及带动生长的随机游动称为营养 粒子。 化)一种能使DLA集裤看不到“分支”的方法可以得到允许，应用在随机游动面对集推时不会产 生作用的始定概率情况下，这将涵过创曲模拟营养的缓慢摄取。如在课堂上演示表明，这大 大增加了分形雄数，以及减少分支。另一种方式，也是在误堂上讨论，将是需要多个随机游 动在增长事件出现前到达相同位置，如果每个细茵在分裂前都要摄食大量的营养的话，这将 是很有意义的，在DLA中，这是一个“噪音控制的标准方法，可以降低尖缓分裂速率以及 可以使分支在·个径向方式更为增长。 3.()任递归的每一个阶段，从线性尺寸为31（即面积为9？）的较人平方区域，我们保留个包含 真型质量m的线性尺寸为的行平方区域.。如果我们假设在仟何比例下：，我们可以得到 元m=(3)1,其中暗含D,=lpg:=1Dg元/10g3. ()非随机情况下（例如，讲义中的谢尔宾所基地毯，=8》，没有在该对象质量下的波动以改 连通性始终是相问的。当递归结构是迹机的，集群近量巾有很人的波动，作为近量白身有相 同的比例，因为布最大比倒“占就”单元数月中有随机性，此外，如图表所示，单元随机选 邦分散了集群的连通性。在关键浓流集群中，这些种类的影响可以被明显看见
BRIEF ANSWERS: 1. (a) 讲义3中，我们注意到方差是对于独立步的附加项，于是 N步后的方差只是每一步方差的N倍， 在每个坐标方向上都有一个𝑎𝑎2的贡献。𝑅𝑅�𝑁𝑁 2＝N（𝑎𝑎2＋𝑎𝑎2＋𝑎𝑎2）＝3𝑎𝑎2N (b) 忽略返回到同一位置，在N步之后，随机游动访问了N位置，所有这些位置都大致限定在一 个半径为𝑅𝑅�𝑁𝑁 ∝ √𝑁𝑁的球形区域内。由于示踪尺度的“大量”如N∝ 𝑅𝑅�𝑁𝑁 2，分形维数为2。（尽管 是整数，但是小于嵌入维数3，也就意味着此行踪有一个非常复杂的“粘性”分形结构。） 2. (a) 一个简单的模型将假定附近细菌快速消耗营养，在传入方向上慢慢地生长，扩散养分通量（由 细胞分裂）。此模型大致相当于DLA模型，此处到达集群以及带动生长的随机游动称为营养 粒子。 (b) 一种能使DLA集群看不到“分支”的方法可以得到允许，应用在随机游动面对集群时不会产 生作用的确定概率情况下，这将通过细菌模拟营养的缓慢摄取。如在课堂上演示表明，这大 大增加了分形维数，以及减少分支。另一种方式，也是在课堂上讨论，将是需要多个随机游 动在增长事件出现前到达相同位置，如果每个细菌在分裂前都要摄食大量的营养的话，这将 是很有意义的。在DLA中，这是一个“噪音控制”的标准方法，可以降低尖端分裂速率以及 可以使分支在一个径向方式更为增长。 3. (a) 在递归的每一个阶段，从线性尺寸为3l（即面积为9𝑙𝑙 2）的较大平方区域，我们保留一个包含 典型质量m的线性尺寸为l的𝑛𝑛�平方区域。如果我们假设在任何比例下m∝ 𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑓𝑓，我们可以得到 𝑛𝑛�𝑚𝑚 = (3𝑙𝑙)𝐷𝐷𝑓𝑓，其中暗含𝐷𝐷𝑓𝑓 = log3 𝑛𝑛� = log 𝑛𝑛� / log 3。 (b) 非随机情况下（例如，讲义中的谢尔宾斯基地毯，n�=8），没有在该对象质量下的波动以及 连通性始终是相同的。当递归结构是随机的，集群质量中有很大的波动，作为质量自身有相 同的比例，因为在最大比例“占领”单元数目中有随机性。此外，如图表所示，单元随机选 择分散了集群的连通性。在关键渗流集群中，这些种类的影响可以被明显看见