麻省理工学院物理系 物理&04 2003年春季 第大部分习题 阅读村料：French&Taylor第3章和LboL第4章和第5章 1.有类8函数的计算.(10分) 对于任意函数(x),8函数定义为 0 ￥≠0 such that )f()=f(0). ￥=0 求下列积分的解 (a创∫，2-32+2r-10+2点 (b)o [com(3r)+2(r-dr, (cx+3r-2 2.Ehrenfest定理.I5分) 应用含时裤定词方程和在课上讲的关于P的期特值的积分表达式 证明 这核称为Ehcm心s定理。它拥示了动量和能量的期待值服从牛顿第二定律， 3,定态薛定调方程的固有结论。(25分) 证明下面关于定态薛定方程的定理。 (ā)为了保证薛定词方程的“定态”解 (,)=e-B/质 是标准化的，本征值E必须是实数。提示：把E写成E。+厂(E和「都是实数)： 正明归一化条件满足所有的时间时，「一定为0。 (b) 粒子波函数x)总为实数（不像粒子的总液函数Ψx,小一定为复数）。注意：这并 不意味着定态薛定污方程的每个解都是实数：相反，如果有的解不是实数，它总可 以被写成实数解（具有相同的能量本征值）的线性叠加。 (提示：如果够(x)是定态薛定可方程的解，对应于能量本任值E,则它的复共辄
麻省理工学院物理系 物理 8.04 2003 年春季 第六部分习题 阅读材料：French & Taylor 第 3 章 和 Liboff, 第 4 章和 第 5 章 1．有关δ 函数的计算。（10 分） 对于任意函数 f (x) ,δ 函数定义为 求下列积分的解 2．Ehrenfest 定理。(15 分) 应用含时薛定谔方程和在课上讲的关于 p 的期待值的积分表达式 证明 这被称为 Ehrenfest 定理。它揭示了动量和能量的期待值服从牛顿第二定律。 3．定态薛定谔方程的固有结论。(25 分) 证明下面关于定态薛定谔方程的定理。 （a） 为了保证薛定谔方程的“定态”解 是标准化的，本征值 E 必须是实数。提示：把 E 写成 E0 + iΓ ( E0 和Γ 都是实数)。 证明归一化条件满足所有的时间t 时，Γ 一定为0 。 （b） 粒子波函数ψ( ) x 总为实数（不像粒子的总波函数 Ψ(x,t)一定为复数）。注意：这并 不意味着定态薛定谔方程的每个解都是实数；相反，如果有的解不是实数，它总可 以被写成实数解（具有相同的能量本征值）的线性叠加。 （提示：如果ψ( ) x 是定态薛定谔方程的解，对应于能量本征值 E ，则它的复共轭
型(x)是不是也一样呢？找出实数解的线性叠加（构造出》，） (e)如果V()是函数[V(x)=(x小，则(x)不是海函数数是偶函数。 (提示：找出一个明确为奇函数和另一个明确为偶函数的方程解的线性叠如》 4.定态裤定薄方程的景小能级。(15分) ()对于定态裤定博方程的每一个归一化的本征解，E必须大于V气x)的最小植。这是经典 的观点。提示：写出定态薛定司方程 器-Y-e 如果E<'·则学工)和它的二次导数值总相等。讨论这样的函数是不是归一化的。 (b)证明对于E=0和E<0的无限深势阱，定态薛定司方程没有合适的解。这是()的 一般结论的特殊情况。现在要精确求解萨定污方程，并且证明它不满足边界条件。 5.无裂深方势阱(15分) 求边界条件为中心在a/2,宽为a的无限深势牌的定态薛定得方程， 0 0<z<m elsewhere. 核对它的能级与课堂上所讲的中心在原点的无限深势阱的薛定得方程的解是否一致。证明波 函数w()可以由课堂上所讲的。用x→x+/2的替换得到， 6,无限承方势阱的运算，(20分) 考虑一粒子处于如前题所示的势除中。在■0时，粒子由下面的函数表示 a.0-++ 其中，)，，)和，()分别是能量本任值分别为E,E,(仁4E,)和E,仁9E,)的定表 归一化本征函数。注意：本题的每步那不需要大量的运算，但考察了到现在所有的概之。 (a)怎么由平，(x,0)推得含时的情况？若可以，写出被函数平，工0)的表达式。 (b》计算由平，(x,0)描述的粒子的能量本征值(E》:用E,来表示。这个数值是否随时间 变化呢？ (©)在1=0时测量，能量本征值(E的儿率是多少？在时间1=1，时呢： ()在1=0时，那些修量值旋被测量到？并求几率。这些值随时间变化吗？
( ) x * ψ 是不是也一样呢？找出实数解的线性叠加（构造出）。） （c） 如果V ( ) x 是偶函数[ ] V( ) − x = V (x) ，则ψ(x)不是奇函数就是偶函数。 （提示：找出一个明确为奇函数和另一个明确为偶函数的方程解的线性叠加） 4. 定态薛定谔方程的最小能级。(15 分) （a）对于定态薛定谔方程的每一个归一化的本征解，E 必须大于V (x)的最小值。这是经典 的观点。提示：写出定态薛定谔方程 如果 E < Vmin ，则ψ( ) x 和它的二次导数值总相等。讨论这样的函数是不是归一化的。 （b）证明对于 E = 0 和 E < 0 的无限深势阱，定态薛定谔方程没有合适的解。这是(a) 的 一般结论的特殊情况。现在要精确求解薛定谔方程，并且证明它不满足边界条件。 5. 无限深方势阱. (15 分) 求边界条件为中心在 a / 2，宽为 a 的无限深势阱的定态薛定谔方程， 核对它的能级与课堂上所讲的中心在原点的无限深势阱的薛定谔方程的解是否一致。证明波 函数 ( ) x ψ n 可以由课堂上所讲的，用 x → x + a / 2 的替换得到。 6. 无限深方势阱的运算。(20 分) 考虑一粒子处于如前题所示的势阱中。在t = 0 时，粒子由下面的函数表示 其中 ( ) x ψ 1 ， ( ) x ψ 2 和 ( ) x ψ 3 分别是能量本征值分别为 E1， ( ) 2 1 E = 4E 和 ( ) E3 = 9E1 的定态 归一化本征函数。注意：本题的每步都不需要大量的运算，但考察了到现在所有的概念。 （a） 怎么由 (x,0) ΨA 推得含时的情况？若可以，写出波函数 (x,0) ΨA 的表达式。 （b） 计算由 (x,0) ΨA 描述的粒子的能量本征值 E ，用 E1来表示。这个数值是否随时间 变化呢？ （c） 在t = 0 时测量，能量本征值 E 的几率是多少？在时间 1 t = t 时呢？ （d） 在t = 0 时，哪些能量值能被测量到？并求几率。这些值随时间变化吗？
()在1=1，时，测得的粒子能量为E,·写出1>1，时，描述较子状态的波函数Ψ(x,) 在3>马时，哪些能量值能被测量到？并求几率， ()求另一个与平，x,0线性无关的一化的波函数平x,0,并且具有相的(E), 具有相同几率的相同能级。 (g》求另一个与Ψ，x,0)线性无关的归一化的波函数平(x,0小，具有相同的(E),阻测 量得到的能级不月（可以说测到两个不同的能圾）。 (h)如何由实验测得是否粒子处于态平，平。或平c
（e） 在 1 t = t 时，测得的粒子能量为 E3。写出 1 t > t 时，描述粒子状态的波函数 Ψ( ) x,t 。 在 2 1 t > t 时，哪些能量值能被测量到？并求几率。 （f） 求另一个与 ( ) x,0 ΨA 线性无关的归一化的波函数 (x,0) ΨB ，并且具有相同的 E ， 具有相同几率的相同能级。 （g） 求另一个与 ( ) x,0 ΨA 线性无关的归一化的波函数 (x,0) ΨC ，具有相同的 E ，但测 量得到的能级不同（可以说测到两个不同的能级）。 （h） 如何由实验测得是否粒子处于态 ΨA ， ΨB 或 ΨC