麻省理工学院 物理系 物理学8033 2002年10月8日 测验1 姓名— 1.完成下面6个问愿. 2.每个问题均为17分。 3。闭卷考试：1允许带一页笔记（常用公式）. 4.如果可能，解题时先给出公式。 5.最后一步代入数据。 问题 得分 等缓 1 2 3 4 5 6 总分
麻省理工学院 物理系 物理学 8.033 2002 年 10 月 8 日 测验 1 姓名 1． 完成下面 6 个问题。 2． 每个问题均为 17 分。 3． 闭卷考试；但允许带一页笔记（常用公式）。 4． 如果可能，解题时先给出公式。 5． 最后一步代入数据。 问题 得分 等级 1 2 3 4 5 6 总分
间题1 坐标系s中两事件同，y,相应的坐标分别为A:0,0,0:B:510,8】。坐标系S”沿x 轴正方向以B■4/5运动。假设在0时，S和S”的原点重合。 (a)指出在初始坐标系中事件A和B的时间： (b》说明是否存在一洛仑蓝参考系S”(沿任一方向运动)，使得在这个参考系中两事件 顺序顺倒。 4 cr'=rct-Ar) 引-刿 a)- b)ds2=女2+2-e2dh -25+100-64-+110(类空间隔) 由此可见，存在一个c山”<0的参考系S'. 但是，这些参考系中设有一个完全沿x方向运动的参考系起作用
问题 1 坐标系 S 中两事件同{ } x, y, ct 相应的坐标分别为 A：{0,0,0}；B：{5,10,8}。坐标系 S′ 沿 x 轴正方向以 β = 4 5 运动。假设在 t=0 时，S 和 S′的原点重合。 （a） 指出在初始坐标系中事件 A 和 B 的时间。 （b） 说明是否存在一洛仑兹参考系 S′′ （沿任一方向运动），使得在这个参考系中两事件 顺序颠倒。 ct′ = γ (ct − βx) 3 5 5 4 β = ⇒ γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = − 5 5 4 8 3 5 ct a） 3 20 ct′ = b） 2 2 2 2 2 ds = dx + dy − c dt =25+100-64=+11>0 （类空间隔） 由此可见，存在一个cdt′ < 0的参考系 S′。 但是，这些参考系中没有一个完全沿 x 方向运动的参考系起作用
问题2 坐标系S中有一速度为#的粒子。它沿与x触成45度角的方向在S中运动（如图所示）， (a)求为使较子在S中仅沿y方向运动，坐标系S'的速度应为多少。 (6》由(a)中的结果求粒子在参考系S中的速度W',并将其用变量表示出来。 s 45 a) =丝二 1-% 0- 得山=0 → ,==万 2 b) == 2c2 2
问题 2 坐标系 S 中有一速度为 u 的粒子。它沿与 x 轴成 45 度角的方向在 S 中运动（如图所示）。 （a） 求为使粒子在 S′中仅沿 y′ 方向运动，坐标系 S′的速度应为多少。 （b） 由（a）中的结果求粒子在参考系 S′中的速度u′ ，并将其用变量 u 表示出来。 a） 2 1 c u v u v u x x x − − ′ = (1 ) 2 c u v u u x y y − ′ = γ 得u′ x = 0 ⇒ 2 u u v x = = 2 u v = b） 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 c u u c u c u u u uy − = − − ′ = ′ = 2 2 2 c u u u − ′ =
问题3 平面电磁波沿+x轴方向传播可由下式表述 E(x,r)o sin (a)设坐标系S沿+x方向以速度？运动，对三角函数运用洛仑整变换求在S中些波函 数的表述形式。特别是，指出在坐标系S”中的观测者所测得的顿率（不必考些开普勒效 应的影响). (b) 如果在s中入为5000A,求当v=4/5c时S°中的入的值。（生：=c) 之-W.生水+m阳 长变m -1 因此， 会无- V=Y1- b)=.1且=B A=3×5000A=15000A
问题 3 平面电磁波沿+x 轴方向传播可由下式表述 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∝ − t x E x t 0 0 ( , ) sin 2 ν λ π （a） 设坐标系 S′沿+x 方向以速度 v 运动，对三角函数运用洛仑兹变换求在 S′ 中些波函 数的表述形式。特别是，指出在坐标系 S′ 中的观测者所测得的频率ν （不必考虑开普勒效 应的影响）。 （b） 如果在 S 中λ0 为 5000 o A ，求当v = 4 5c 时 S′中的λ 的值。（注： = c λ0 ν 0 ） a） ( ) ( ) t x c x ct t x − ′ + ′ ′ + ′ − = ν γ β λ γ β ν λ 0 0 0 0 t x c t c x − ′ ′ ≡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − ν λ γν λ γν β γβ λ γ 0 0 0 0 因此， ( ) β λ γ λ = 1− 1 0 ν = γν (1− β ) 0 b） 3 1 9 5 1 5 1 1 1 1 2 0 = = + − = − − = β β β β λ λ
间题4 两时钟开始时均静止于坐标系3中。时钟A在坐标系5中保持静止不变，时钟B随一变加 速飞船能行。飞船速度在坐标系$中可以由下面的时间函数描述 v(r)=esin 式中T是指这次飞行的特续时间（由坐标系S中的时钟A测得）。求飞行结束后，时钟B显 示所用的时间是多少。详细说明你的每一步结果。 重要规：利用问愿的对称性先计算四分之一次桌行所用的时间，再将时间乘以四即可得到 结果。 由洛仑兹不变式d2=c2d2- jr-ja号 -fow -} r
问题 4 两时钟开始时均静止于坐标系 S 中。时钟 A 在坐标系 S 中保持静止不变，时钟 B 随一变加 速飞船旅行。飞船速度在坐标系 S 中可以由下面的时间函数描述 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = T t v t c 2π sin 式中 T 是指这次飞行的持续时间（由坐标系 S 中的时钟 A 测得）。求飞行结束后，时钟 B 显 示所用的时间是多少。详细说明你的每一步结果。 重要提示：利用问题的对称性先计算四分之一次旅行所用的时间，再将时间乘以四即可得到 结果。 由洛仑兹不变式 123 14243 B A系 c dt c dt dx 2 2 2 2 2 ′ = − ∫ ∫ ′ = − 2 2 1 c v dt dt ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = − 4 0 2 2 2 2 sin 4 1 T c T t T dt c π ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 0 2 4 cos T dt T πt 4 0 2 sin 2 4 T T T t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = π π T T π 2 ′ =
问题5 在如下的空白阀科夫斯基图形上指出下列月题： ()由图上黑点处的时空点发出一来光，左图画的是光线在坐标系S中以该点为原点随 时间对称地向四周传播。右图面的是充线在坐标系S'中以该点为原点随时间对称地白四周 传播。 ct ct x
问题 5 在如下的空白闵科夫斯基图形上指出下列问题： （a） 由图上黑点处的时空点发出一束光。左图画的是光线在坐标系 S 中以该点为原点随 时间对称地向四周传播。右图画的是光线在坐标系 S′ 中以该点为原点随时间对称地向四周 传播
(b》x轴上的两凰点表示的是国定在S坐标系内（在时间'■0时）的杆的两端，S 坐标系的性质由B和产刻画。西出该杆的世界线。在稍后的'时刻，画出分别对应于杆左 端，中点和右痛的点A,B和C。在图上指出在某一确定时刻：时，对应于杆左端，中点和 右端的点（分别用点D,E,F表示）：如果后一=则x:一。是多少？ ct D X 如果一= -%-5 (长度牧缩)
（b） x′ 轴上的两黑点表示的是固定在 S′坐标系内（在时间t′ = 0 时）的杆的两端。S′ 坐标系的性质由 β 和γ 刻画。画出该杆的世界线。在稍后的t′时刻，画出分别对应于杆左 端，中点和右端的点 A，B 和 C。在图上指出在某一确定时刻 t 时，对应于杆左端，中点和 右端的点（分别用点 D，E，F 表示）。如果 L0 x x ′ B − ′ A = 则 E D x − x 是多少？ 如果 L0 x x ′ B − ′ A = γ L0 x x E − D = （长度收缩）
间题6 根据哈密顿定理，粒子总是沿x一1瘩径运动以便与时间相关的量（动能势能）的积分最小。 考虑一物体与弹簧相连做一推运动《沿x轴方向)，其势能为士红2。用变量微积分计算来描 述该运动的微分方程。（仅使用非相对论动力学和运动学，且不必计算该方程，》 J=(T-U)d 运用欧拉方程将其最小化 过_d道=0 新由益 ∫=士2-士 - a 过=mi 因此， =k红-成■0 云+会x=0 由欧拉方程的第二种形式可知，答案为： f- =const 1 2
问题 6 根据哈密顿定理，粒子总是沿 x − t 路径运动以便与时间相关的量（动能-势能）的积分最小。 考虑一物体与弹簧相连做一维运动（沿 x 轴方向），其势能为 2 2 1 kx 。用变量微积分计算来描 述该运动的微分方程。（仅使用非相对论动力学和运动学，且不必计算该方程。） ∫ J = (T −U)dt 运用欧拉方程将其最小化 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ x f dt d x f & 2 2 2 1 2 1 f = mx& − kx kx x f = − ∂ ∂ mx x f & & = ∂ ∂ 因此， − kx − m& x& = 0 x + x = 0 m k && 由欧拉方程的第二种形式可知，答案为： x const x f f = ∂ ∂ − & & mx − kx − mx = const 2 2 2 2 1 2 1 & & x kx const m ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +2 2 2 1 2 &