麻省理工学院 物理系 物理学8033 2003年12月5日 测验2 姓名— 1.完成下面4个问愿， 2.每个问题均为25分： 3.闭卷考试：1允许带一页笔记（常用公式）。 4.如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 问思 得分 等缓 1 2 3 4 总分
麻省理工学院 物理系 物理学 8.033 2003 年 12 月 5 日 测验 2 姓名 1． 完成下面 4 个问题。 2． 每个问题均为 25 分。 3． 闭卷考试；但允许带一页笔记（常用公式）。 4． 如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 问题 得分 等级 1 2 3 4 总分
一些可能用到的关系式和积分 -《)+当9）+品) 票=(-当)票 8-6-当）” ds /I-万=n(制 ∫”a- ∫=+- 装-（微）=，=会 1-∑（微） constant
一些可能用到的关系式和积分
恩山 “牛顿字宙论 我门得到了下面的学宙演化“标度因子” d-0-0) 其中风是现在的哈物常数(H。=0m/s·C),2和分别是物质和暗能量密度， 单位是临界密度（物质和能量的密度与路界密度之比）。为了与我们知道的字宙参量相联系， 考虑下而简单的字宙学问题时，取值如下：卫山，D0 ()求出小你的答案只能包括常数，月。，以及时间：利用这个问题中给出的参数 的数值，求出： d=- da Ho = [avpda= Hodt 假定大爆炸存在，我们可以从0积分到某个时间国，1为单鞋变量。 (b) 求出哈勒常数《宇宙滴化的标度因子的一个参量》作为标度因子的函数表达式，把 你的答案用无量钢常数，，以及表示出来。 在(a)部分，我们用字宙的哈物常数的定义 H= a 求出它对标度因子的依餐性， H=a32 (e) 写出标度因子a和红移：的美系。用这个表达式和上面a的表达式推导出关于一个 红移物体年龄的积分表达式。在光发射时刻。计算出这个积分，并求出一个类星体 的年龄(：6)，单位是H。. 空间扩展的同时，其中的任何光子都相应的伸展。波长的部分增长与字宙半径的部 分增长相当。 :==%-.1l Aewod d 从这个式子中可以解出风或者仅仅简单按要求的写出来) 1 a=, 1+ 最简单的方法是找出：和：之闻的美系。并利用关于血的美系链
问题 1 “牛顿宇宙论” 我们得到了下面的宇宙演化“标度因子”a： 其中 H0 是现在的哈勃常数（ H ≈ 70km/s⋅ Mpc 0 ），ΩΛ和ΩM 分别是物质和暗能量密度， 单位是临界密度（物质和能量的密度与临界密度之比）。为了与我们知道的宇宙参量相联系， 考虑下面简单的宇宙学问题时，取值如下：ΩΛ=1，ΩM=0。 （a） 求出 a(t)；你的答案只能包括常数， H0，以及时间 t。利用这个问题中给出的参数 的数值，求出： 假定大爆炸存在，我们可以从 0 积分到某个时间 a(t)，t 为单独变量。 （b） 求出哈勃常数（宇宙演化的标度因子的一个参量）作为标度因子的函数表达式，把 你的答案用无量纲常数，H0，以及 a 表示出来。 在（a）部分，我们用宇宙的哈勃常数的定义 求出它对标度因子的依赖性， （c） 写出标度因子 a 和红移 z 的关系。用这个表达式和上面 . a 的表达式推导出关于一个 红移物体年龄的积分表达式。在光发射时刻，计算出这个积分，并求出一个类星体 的年龄（z =6），单位是 1 0 − H 。 空间扩展的同时，其中的任何光子都相应的伸展。波长的部分增长与宇宙半径的部 分增长相当。 1. 0 1 = − − = − = a a a a z emitted now emitted λ λ λ 从这个式子中可以解出 a(或者仅仅简单按要求的写出来) z a + = 1 1 最简单的方法是找出 t 和 z 之间的关系，并利用关于 dt 的关系链
由-出是t-0可： 1-1 d的止 像前边一样（当？+0时：+0）解这个方程式，可以看出 t=-1 de'al d 21 1+=,1+丽=31+9 30+67-0035晚者1=500×10m 21 H。= 间题2 “哈结常数” 考虑上面所示的哈勃图中的由线， 这条由线可以在en心y Freedman(20O1,埃塞俄比亚，阿尔巴尼亚)的论文中找到。发表 在天体物理学期刊上(553卷，62页。图4). (a)选择一个数据点(，d),中250Mc。利用这个数据计算哈勒常数的近似值，并写 出计算步骤。 如果达择小302M,则可以求出 。-5.215x10 d 302Mpc -km/s 71 km/s/Mpe (b》 用你在(a)部分求出的哈勃常数的值计算字宙的年龄矿。把计算结果的单位转 换成秒或年。(lparsec-3x10"cm-3x0m） 71×10 -31K10x10=HG三43x10'3=14G (©)分别用H,和H线（波长分别是6925A和5130A)观测一个类行星。H和H线的静 止被长分别为6595A和4885A。求出类行展的：，然后用(a)部分的结果求出观测 者到类行星的距离。 关于红移，应用(1》部分的关系式，对这两条线，我们有 692 -1=0.05,: 6592 5130-1=0.05 4885 知果-0.05，则v三15000kms d-1-15000-200Mpe H。71
dz z a dz dz da da dt dt 2 (1 ) 1 1 + − = = • 。 像前边一样（当t → 0 时 z → ∞ ）解这个方程式，可以看出 0.035 (1 6) 1 3 2 0 3 / 2 = + H t = 或者 6 t ≈ 500×10 yr。 问题 2 “哈勃常数” 考虑上面所示的哈勃图中的曲线。 这条曲线可以在 Wendy Freedman（2001，埃塞俄比亚，阿尔巴尼亚）的论文中找到。发表 在天体物理学期刊上（553 卷，62 页，图 4）。 （a） 选择一个数据：点（v,d），d>250Mpc。利用这个数据计算哈勃常数的近似值，并写 出计算步骤。 如果选择 d=302Mpc，则可以求出 / 71 302 2.15 104 0 ≈ × = = km s d Mpc v H km/s/Mpc （b） 用你在（a）部分求出的哈勃常数的值计算宇宙的年龄 1 H0 - 。把计算结果的单位转 换成秒或年。（1parsec=3×1018cm=3×1016 m） 4.3 10 14 3.1 10 10 71 10 1 17 18 6 0 5 0 ⇒ ≅ × = × × × = − H H s Gyr。 （c） 分别用 Hβ和 Hα线（波长分别是 6925 A 和 5130A）观测一个类行星。Hβ和 Hα线的静 止波长分别为 6595A 和 4885A。求出类行星的 z，然后用（a）部分的结果求出观测 者到类行星的距离。 关于红移，应用（1c）部分的关系式，对这两条线，我们有 1 0.05 4885 5130 1 0.05, 6592 6925 z = − ≅ z = − ≅ 如果β=0.05，则 ν ≅ 15000 km/s, 0 15000 200 71 v d H == = Mpc
题3 “光在随瓦席度规下的轨道” 光子消适所雷的时闻（寿命？）是灯=0。在这种情况下，应用燕瓦席度规求出光子的路 径方程（也瓷是，◆仙的表达式）。接下来，应用费马原理一它指出光子从A点飞到B点 所用时间《纪录员纪录的时间)最短的路径，就是光子所走的路径。一个有用的建议：如果 你用一个符号比如)米代表(1-2Gr),数学计算会简单很多。 (a)写出熊瓦席度规，并令dr0。 cdcdrgr)d r2dj2=0 q(r) 其中，9r=1-2M1r) (b》重新整理表达式，用径向《山)方向和角向方向(d)的运动表示出记录时 间的增量。 cidr=dr rdf g(r)q(r) (c)用(b)部分的结果推导光子从A()点运动到Ba点所用时闻的积 分表达式。（注意：这里从A(4》点运动到倒）点所用时间是指妃买 灵所记录的时间。)它提示我们把当作独立变量。 速择女作为我们在空间中标出的微分成/本一的独立变量。 ()选择一个合适的欧拉-拉格阴日方程作这个路径积分取最小值，并找出d伸仙 (或本)的方程式。它提示我们把r当作独立变量。积分常数叫做b(它 是这个问题中的一个经典的取值)，证明这个常数的单位是长度单位，不要计 算d仙积分. 我们可以把它的平方根写成函数了然后用以拉方程得到运动方程。注意，我 们称积分常数为b: 道_dg)=0 dpd本do 这个方程中的第一项可以确定等于零。 d ro =0 drlaf(o':r)] 由于这是一个总的微分，我们把它写成一个常数
问题 3 “光在施瓦席度规下的轨道” 光子消逝所需的时间（寿命？）是 dτ = 0 。在这种情况下，应用施瓦席度规求出光子的路 径方程（也就是，dφ /dr 的表达式）。接下来，应用费马原理—它指出光子从 A 点飞到 B 点 所用时间（纪录员纪录的时间）最短的路径，就是光子所走的路径。一个有用的建议：如果 你用一个符号比如 q(r)来代表（1−2GM/c2 r），数学计算会简单很多。 （a） 写出施瓦席度规，并令 dτ =0。 2 2 2 22 2 2 () 0 ( ) dr c d c dt q r r d q r t f = -- = 其中， q(r ≡1− 2M /r) 。 （b） 重新整理表达式，用径向（dr）方向和角向方向（rdφ）的运动表示出记录时 间的增量。 2 22 2 2 2 () () dr r d c dt q r qr f = - （c） 用（b）部分的结果推导光子从 A（rA, φA）点运动到 B(rB, φB)点所用时间的积 分表达式。（注意：这里从 A（rA, φA）点运动到 B(rB, φB)点所用时间是指纪录 员所记录的时间。）它提示我们把 r 当作独立变量。 选择 dr 作为我们在空间中标出的微分 df / dr = φ′的独立变量。 （d） 选择一个合适的欧拉-拉格朗日方程作这个路径积分取最小值，并找出 dφ /dr （或 dr /dφ）的方程式。它提示我们把 r 当作独立变量。积分常数叫做 b（它 是这个问题中的一个经典的取值），证明这个常数的单位是长度单位。不要计 算 dφ /dr 积分。 我们可以把它的平方根写成函数 f，然后用欧拉方程得到运动方程。注意，我 们称积分常数为 b。 ( ) = 0 ′ − φ dφ df dr d d df 这个方程中的第一项可以确定等于零。 0 ( ; ) 2 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ qf r r dr d φ φ 由于这是一个总的微分，我们把它写成一个常数 b
2 两边平方并整理得： -2g2=2→=-Pr2可 do b -1-号0- 题4 “引力红移和粒子的径向运动” (a)一个从Fe原子爱出的X一射线的光子，静止能量h=6.4keV:它从中子星表面 发射。向一个距离很远的星体传播（也就是，”∞）。以施瓦席度规为出发点，推 导出一个很运处的天文学家观测到的，光子能量的表达式。如果中子屋的半径约 等于施瓦席半径R的3倍，R-2G2,并求出hV 由于我门们通过光子的频率测量它们能量，所以我们要看两个电磁波波峰的时间间隔。 又因为辐射是从一个固定的球壳发出的，所以在这个度规中山和的值都取零。 dr2 2dr2=2d2gr）- -do r） 2dr2m=c22q-0-0 2GM dr,=dty1- 联立以上方程可得 秒，= V1-型 =11-- 代入星体上观测春测到得静止能量。可以求出记录员所求的雀量 u=V-4v=V4v=2 (》在距离黑洞根远〔也就是r=∞)的地方，把一块石头径向仍向黑洞，黑洞的质量 是M,石头在无穷远处的门始能量为：
q r q b q r 2 2 2 2 φ 1 φ′ = − ′ 两边平方并整理得： 问题 4 “引力红移和粒子的径向运动” （a） 一个从 Fe 原子发出的 X—射线的光子，静止能量 hν 0 = 6.4 keV。它从中子星表面 发射，向一个距离很远的星体传播（也就是，r ≈ ∞ ）。以施瓦席度规为出发点，推 导出一个很远处的天文学家观测到的，光子能量的表达式。如果中子星的半径 r 约 等于施瓦席半径 RS 的 3 倍，RS =2GM/c2 ，并求出 ν ∞ h 。 由于我们通过光子的频率测量它们能量，所以我们要看两个电磁波波峰的时间间隔。 又因为辐射是从一个固定的球壳发出的，所以在这个度规中 dr 和 dφ 的值都取零。 联立以上方程可得： 代入星体上观测者测到得静止能量，可以求出记录员所求的能量 （b） 在距离黑洞很远（也就是 r = ∞ ）的地方，把一块石头径向仍向黑洞，黑洞的质量 是 M。石头在无穷远处的初始能量为：
E =久· 式中，m是石头的静止：听量。求出的徽分方程，r和：都是“记录远”参考系中 的测量值。不用解这个方程。提示：要用到常用方程列表中E的表达式。你的答案 的形式他是一个关于，M和P的函数。 首先，我出无好远处年仪量的能量，然后用常用方程列女中给出的第二个方程。 三-0-2，中-当→m点-中 r'dr m dr "7e 见在，利用管用方积式巾的第一个方程(L-0).可以得到： 空产+0-200 md? 利用规知链和E的相关方程。以及：，可以看出 阁+6[窗+( 平方然后整理可得： =+=- 再开平方，安可以得到最后的站果，也就是记烫员参考系中的 =0-2 、2 -hl--
= ∞ γ 2 mc E 。 其中，m 是石头的静止质量。求出 r(t)的微分方程，r 和 t 都是“记录员”参考系中 的测量值。不用解这个方程。提示：要用到常用方程列表中 E 的表达式。你的答案 的形式 dr/dt 是一个关于 ∞ γ ，M 和 r 的函数。 首先，找出无穷远处单位质量的能量，然后用常用方程列表中给出的第二个方程。 = − ⇒ r → ∞ d dt r M m E 当 τ ) 2 (1 = ∞ = ∞ γ τ ( ) d dt m E 。 现在，利用常用方程式中的第一个方程（L=0），可以得到： 2 1 2 )(1)] 2 [( ) (1 r M d dr m E + − τ =0 利用规则链和 E 的相关方程，以及 dt/dτ，可以看出 平方然后整理可得： 再开平方，就可以得到最后的结果，也就是记录员参考系中的 2 ) 2 (1 ) 1 2 (1 ∞ − = − − γ r M r M dt dr