建棋与仿其 流体力学IIW问题2006年春季 问题1.一维层流流动问题的分析解答 考虑这样的层流流动，利距疗一D01m,处于两静止的、水平平行板问的两易混合的流休。 第一种流体，具有较高密度p1=1,050Kgm3,粘度为μ1-0.0012Pax,处干区域0≤y≤aB, 0a<1沛道的底部，第二种清体，只有较低密度p:=980Kgm3,粘度为山=0.0009P多， 处于区域B<y≤B流道的顶部， 流动是出一不变动力压头APAx父从左往右驱动的。 y=B- fluid2 y■度B=·=·=·-, fluid 1 y=0 (Ia解析地计算稳定视态速必小，作为Pr的数，通过解决Navier-Stokesi运动方 程和连续性方程。 晋+p卫-卫P4n 里x=0 运动方程中的x方向分量与作分量形式为 a+p心ax 业+ 12,02,02 +“0++2 在底部以及上部平板墙壁，使用无滑移边界条件， x0=0)=0 y=B)=0 界面处，使用力平衡间述在交界面上每一侧的剪应力。对于牛顿流体，这产生了此条件 4yaB=a元ls*
建模与仿真 流体力学HW问题 2006年春季 问题1.一维层流流动问题的分析解答 考虑这样的层流流动，相距B = 0.01 m，处于两静止的、水平平行板间的两易混合的流体。 第一种流体，具有较高密度ρ1= 1,050 Kg/𝑚𝑚3，粘度为µ1 = 0.0012 Pa*s, 处于区域0 ≤ y ≤αB, 0 < α < 1流道的底部，第二种流体，具有较低密度ρ2 = 980 Kg/𝑚𝑚3，粘度为µ2 = 0.0009 Pa*s, 处于区域αB < y ≤ B流道的顶部。 流动是由一不变动力压头ΔP/Δx < 0从左往右驱动的。 (1.a)解析地计算稳定状态速度vx(y)，作为ΔP/Δx和α的函数，通过解决Navier-Stokes运动方 程和连续性方程。 运动方程中的x方向分量写作分量形式为 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜌𝜌 �𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝑧𝑧 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 � = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇 � 𝜕𝜕2𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝜕𝜕2𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑦𝑦2 + 𝜕𝜕2𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑧𝑧2 � 在底部以及上部平板墙壁，使用无滑移边界条件， 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦 = 0) = 0 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦 = 𝐵𝐵) = 0 界面处，使用力平衡阐述在交界面上每一侧的剪应力。对于牛顿流体，这产生了此条件 𝜇𝜇1 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 |𝛼𝛼𝐵𝐵− = 𝜇𝜇2 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 |𝛼𝛼𝐵𝐵+
5为在界面下y方向值，B为界面上y方向值。当心，在界而下圆（流体1）速度梯度会 小于界面上德（流体2）. (1b)对于0.5，格两流体流动每个区域的平均速度标绘出来， 1 1 ra )=B 0ydy(2■ (dy 函数受迫压力梯度APx<D,单位表达为Pm,同样标出每个区域的无量甄雷详效 ke,=巴，ciB Re=e,a-副 41 2 k力稀度为阿脑Rem=max{Re1.Rez》梦？ 问题2时问依赖性流动问愿的数值解法 我」来简化一下上述提到的问恩，即符共定为尽包含流体2性质的单一流体的流动叫恩， 从面时间相关速度场Oy,)满足 A+业=-卫P+47 cF 又y=0 即为=0。我们使用上述对于稳定流动问题相同的边界条件，以及在1=0给定初始条件， 流体静止， 0y,t=0)=0 使用下列程序策写计算都习题4T1A且CC++,ORTRAN梦数值上解决此启动源动阿 S. 2)使用疏动y,)的假设函致形式，找到与和相关的驱动压力杨度和空问导致 以心，)偏微分方程， =数侣器} 使用问愿1中的压力梯度值使符Rm丽=1 2.b)建立坐标节点（至少100个》贯穿0的<B范围，标定列出0yw<B
αB− 为在界面下y方向值，αB＋ 为界面上y方向值。当µ1> µ2, 在界面下侧(流体1)速度梯度会 小于界面上侧(流体2)。 (1.b)对于α=0.5，将两流体流动每个区域的平均速度标绘出来， 〈𝑣𝑣𝑥𝑥 〉1 = 1 á𝐵𝐵 � 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 á𝐵𝐵 0 〈𝑣𝑣𝑥𝑥 〉2 = 1 (1 − á)𝐵𝐵 � 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐵𝐵 á𝐵𝐵 函数受迫压力梯度ΔP/Δx < 0，单位表达为Pa/m。同样标出每个区域的无量纲雷诺数 Re1 = 𝜌𝜌1〈𝑣𝑣𝑥𝑥〉1[á𝐵𝐵] 𝜇𝜇1 Re2 = 𝜌𝜌2〈𝑣𝑣𝑥𝑥〉2[(1 − á)𝐵𝐵] 𝜇𝜇2 压力梯度为何值时Remax = max{Re1, Re2}等于一？ 问题2.时间依赖性流动问题的数值解法 我们来简化一下上述提到的问题，即将其定为尽包含流体2性质的单一流体的流动问题， 从而时间相关速度场𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦,𝑡𝑡)满足 即为α=0。我们使用上述对于稳定流动问题相同的边界条件，以及在t＝0给定初始条件， 流体静止， 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦,𝑡𝑡 = 0) = 0 使用下列程序编写计算机习题(MATLAB, C/C++, FORTRAN等)数值上解决此启动流动问 题： (2.a)使用流动𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦,𝑡𝑡)的假设函数形式，找到与𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 /𝜕𝜕𝜕𝜕相关的驱动压力梯度和空间导数 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦,𝑡𝑡)偏微分方程， 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 函数 � ∆𝑃𝑃 ∆𝑥𝑥 , 𝜕𝜕2𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑦𝑦2 , ⋯ � 使用问题1中的压力梯度值使得Remax = 1 (2.b)建立坐标节点（至少100个）贯穿0<y<B范围，标定列出0<𝑦𝑦1<𝑦𝑦2<⋯<𝑦𝑦𝑁𝑁<B
2.©)对于在每个单元节点的每个速度域值，你可以得到·个常规微分方程， a心，0y2=南数 2.)使用有碳差分近似写出每个空间导数邻近的一个网格点值的代数差 亿.)使用四阶Rugc-Kta方法积分时间常微分方什直到流动达到稳定状念.这应该发牛在 特征时间，w=P2B/2,个别值的时何跨域上， 2.0标注出平均遮度 v(y)dy 作为时间函数。标出最终稳定状态信，并月通过比较说明其在此跟定条什符合问画！ 的解析解法
(2.c)对于在每个单元节点的每个速度域值，你可以得到一个常规微分方程， 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑗𝑗 ) 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 函数 � ∆𝑃𝑃 ∆𝑥𝑥 , 𝜕𝜕2𝑣𝑣𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑦𝑦2 |𝑦𝑦𝑗𝑗 , ⋯ � (2.d)使用有限差分近似写出每个空间导数邻近的一个网格点值的代数差。 (2.e)使用四阶Runge-Kutta方法积分时间常微分方程直到流动达到稳定状态。这应该发生在 特征时间，𝑡𝑡𝑓𝑓𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝜌𝜌2𝐵𝐵2/𝜇𝜇2，个别值的时间跨域上。 (2.f)标注出平均速度 〈𝑣𝑣𝑥𝑥 〉 = 1 𝐵𝐵 � 𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐵𝐵 0 作为时间函数。标出最终稳定状态值，并且通过比较说明其在此限定条件符合问题1 的解析解法