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第二部分 麻省理工学院 机械工程系 2.12 机器人导论 期末考试试题及解答 题一 图1是带有平行四边形机构的两个d.o.f平面机器人。连杆1和连杆3、连杆2和连杆4相 互平行，关节轴1和关节轴2并排排列。连杆1和连杆2由安装在底盘上的直流电机单独驱 动。使用图中的符号，回答下列问题。 [1-1] 求出端点速度Vx、Vy与关节速度θ1、θ2之间的雅可比矩阵。 [1-2] 求出关节力矩τ1和τ2，以及需要随的端点力Fx 和Fy。 [1-3]设Kp是与位置误差 有关的关节力矩T = [TI, T2]7 的2X2反馈收益矩 阵，即 。根据图2描述的端点，求出收益矩阵Kp。也就是说，要求Ci和C2 沿主xb 和yb运动，轴xb与轴x的夹角为α。 图 平行四边行机构的平面机器人 图2 运动方向 -4] 连杆2处于固定状态时，求出连杆1的转动惯量，即 [1-6] 列出由 1 [1 1-1 element of the 惯性矩阵H = \Ht/\ 的1-1元素是随θ1、θ2生成的。机械臂连杆运动与Hu元素的关系是什么？ [1-5] 说明惯性矩阵中的H11和H22为什么在机械臂结构变化的情况下仍保持 不变的原因。 定义的 配四个连杆的质量的方法，尽可能简化 题二 器人用扳手松开六角螺栓，如下图所示。使用梅森 惯性矩阵的非对角元素。 出各 位/力混合控制，求出完成任务所需 [1-7] 用重新分 机械臂动力学并将其线性化。求 种条件下的质量参数，用于简化、线性化各种机械臂形位下的机械臂动力学。并解释现象的 原因。 A. 机 要的自然限制和人为限制。定义用于描述上述限制的坐标系和相关参数，在草图中用符号标 明。假定拆卸过程是准静态的，没有摩擦力，而且扳手与螺栓之间没有间隙
麻省理工学院 机械工程系 机特人导论 那末潜验试赠 都容 图一 (11)装点坐标由下式确定： |x-∠，u,+l+cef0:-x) 9s1sm,t年mBa-元) -Lrs6,,103nl/岛 4a46,-4时0 丁 (12)根据二元性 t-JE (13)设△和A是坐标系XbY6在X粕和Y拍上的精点坐标，Fb是对应的 装点力。坐标系XY6中用里的葡点运动可以表示为 *-C3 式中的 -(名8】代表的运动 应当用下述坐标文换来表示XY坐标系 aPeRap rrh=R么P Rconx -in sind cent 式中的 是从F-R广求出的 结合以上各式，得出： F-R化厂Rr△P, R(C)户R'-XY上需要的坐标 设为与4P和△相关的邪可比矩阵，根郑(11)得出： t-丁F-丁R(CR'Ta& 通过矩阵得出关节反镯收益矩件： K-T'R(C)'RT (14)和(15》 物理意义：州11代表美节2处于国定状态下第一个据功器（美节1）的国性： d=8,风=0 与H11有关的连杆运动为： 连杆1相对于关节1晓转，对关节1的有效双性为：工+m,是常量。 连杆2国定不动。 连杆3相对于关情3转分，在关节2容止时，关节3W定不动。因此有效惯性 为：1+吨公，是鞋立形位
麻省理工学院 机械工程系 机器人导论 期末测验试题 解答 题一 （1-1） 端点坐标由下式确定： （1-2） 根据二元性 （1-3） 设Δp和Δpb是坐标系Xb-Yb在X轴和Y轴上的端点坐标，Fb是对应的 端点力。坐标系Xb-Yb中期望的端点运动可以表示为： 麻省理工学院 机械工程系 机器人导论 期末测验试题 解答 题一 （1-1） 端点坐标由下式确定： （1-2） 根据二元性 （1-3） 设Δp和Δpb是坐标系Xb-Yb在X轴和Y轴上的端点坐标，Fb是对应的 端点力。坐标系Xb-Yb中期望的端点运动可以表示为： 式中的 代表期望的运动。 应当用下述坐标交换来表示X-Y坐标系 式中的 是从 求出的。 结合以上各式，得出： =X-Y上需要的坐标。 设J为与ΔP和Δθ相关的雅可比矩阵，根据（1-1）得出： 通过矩阵得出关节反馈收益矩阵： （1-4） 和（1-5） 物理意义：H11代表关节2处于固定状态下第一个驱动器（关节1）的惯性； 与H11有关的连杆运动为： 连杆1相对于关节1旋转，对关节1的有效惯性为： ，是常量。 连杆2固定不动。 连杆3相对于关节3转动。在关节2静止时，关节3固定不动。因此有效惯性 为： ，是独立形位
连杆4与胃定不动的连杆2保持平行。因此，连杆4不旋转，而是按下图所示 段圆运动，在所有机城臀结构中，风国笛半径均为L1, 连4业年 连杆2定不动 因此有效慢性为树中4公，与912无关。由于没有卡关联变量。H1是始 构不变的 (1-6)日12是关节1与关节2之可的偶合复性。考虑到 向=0,6，e井且2，=e 。关节1单猛计算并且，+0. 由于对陈性，当A+0.8年时。包会得到相啊结黑： H2表不连杆1国定不切时，关节1上承受的方矩。 根据《15)得到，连杆4只管平移运动功。连杆3和连杆1上的财性产生力更 工，A和工，这两个力矩都为零，因此，力矩只能是由连杆3和些杆4 的力产生的。 Trffs =「4m干「鸟美n4V 对于连杆3 roc 2,04%+2,ss1 2m0:+n6, 4+具cm队6、 同样，对于连杆4 I2s+a6,t司 40+ 因此，可以得出：
连杆4与固定不动的连杆2保持平行。因此， 旋转，而是按下图所示 做圆圈运动，在所有机械臂结构中，圆圈的半径均为L1。 杆1 连杆3 连杆2固定不动 此有效惯性为 连杆4不 连杆4 连 因 ，与θ1和θ2无关。由于没有非关联变量，H11是结 构不变的。 （1-6）H12是关节1与关节2之间的偶合惯性。考虑到 ，关节1单独计算并且 。 由于对称性，当 、 时，也会得到相同结果； H12表示连杆1固定不动时，关节1上承受的力矩。 根据（1-5）得到，连杆4只做平移运动。连杆3和连杆1上的惯性产生力矩 ，这两个力矩都为零。因此，力矩只能是由连杆3和连杆4 的力产生的。 对于连杆3， 同样，对于连杆4： 因此，可以得出：
Lndr in Bcose 鸡es8,r2,(●)/ka06 et9,+1auno广le,Cms9g Ct%{np14%,6 +同4{p,(6n4sna,+mb,6c46, Tt·*g0,aa42+4Lso-0a →4e(鸭山+n人)oe- (17)根据《1-6)，矩阵的丰对角元素为： h:=(l3-mg4,4)n1B,- 在下述条件下为零： 1》m3人al3-时4人人cg=0 i)Levl6-e.)=o te.6.-0.=t T/z 当且仅当7值不安的情泥下，H2在0，一61一士么的时候为零，因 此。即使在，一0a一士"么的情泥下，H12均时间？？也不等于零， 也就是说，尽管在，一0：=士"条件下%合为零，机板聘动力学也不 是线性的。 另一方面，当条件不变时，即 m是=， 723的情况下， 横性矩殊简化为常量，？？？矩件等于： H“ 在+稀：+盆)，0 玉江+m:尝剑 由于州对各种机械臂结构帝是含量，没有除重力以外的其它非线性力。因 此。如果上述质量分配条件不变。，就可以简化上棕系统并如以线性化 题 采用图中的坐标系。雷瑟注意的是，复手 可以沿轴方向相对于螺栓头留滑动。由于 螺栓在复干作用下旋转，螺栓沿2铂方间运 功：P丝▣（候斜度》X(健转的角度），不 雷要相应移动板手。否则版于会从栓上 报落
（1-7）根据（1-6），矩阵的非对角元素为： 在下述条件下为零： 当且仅当 值不变的情况下，H12在 的时候为零。因 此，即使在 的情况下，H12的时间？？？也不等于零。 也就是说，尽管在 条件下偶合为零，机械臂动力学也不 是 另一方面，当条件不变时，即 线性的。 的情况下， 惯性矩阵简化为常量，？？？矩阵等于： 由于H*对各种机械臂结构都是常量，没有除重力以外的其它非线性力。因 此，如果上述质量分配条件不变，就可以简化上棕系统并加以线性化。 题二 采用图中的坐标系。需要注意的是，扳手 可 螺栓头部滑动。由于 螺栓在扳手作用下旋转，螺栓沿Z轴方向运 动；PΩ=（倾斜度）X（旋转的角度）。不 需要相应移动扳手，否则扳手会从螺栓上 脱落。 以沿Z轴方向相对于
动态 静态 =0xm0 无z=0 天然 t的=0wy=g w2*22。 f=o tx=。 人为 U-pn>o fy=Fzo.Ty=0. 还有一种答案是： 动态 静态 vzeo fy=o tx-0 天然 Wy =0 f2=.t2-0 =0U=0 人为 Uz-pR wE-0 C1=0 在这种情况下扳于并不完全套在螺栓头上，而是沿Y轴移动一段距离
还有一种答案是： 在这种情况下扳手并不完全套在螺栓头上，而是沿Y轴移动一段距离