麻省理工学院 物理系 物理学8033 2003年11月14日 测验2 姓名— 1.完成下面5个问愿， 2. 每个问题均为20分： 3.闭卷考试：1允许带一页笔记（常用公式）。 4.如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 问思 得分 等缓 1 2 3 4 5 总分
麻省理工学院 物理系 物理学 8.033 2003 年 11 月 14 日 测验 2 姓名 1． 完成下面 5 个问题。 2． 每个问题均为 20 分。 3． 闭卷考试；但允许带一页笔记（常用公式）。 4． 如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 问题 得分 等级 1 2 3 4 5 总分
题山 一个光子沿x轴正方向运动。另一个光子沿与：轴成60°夹角方向运动。如图所示，两个光 子相撞。两个光子具有相同的能量。 gwekoe2 隧撞后产生一对粒子，每个轮子的静止能量是10G©Vea10m,C,其中m,是光子的静止 质量)，并且最初的两个光子保留下来。在动量参考系的中心，四个粒子的总动能是 3GeV=3m,,求出光子的能量： 这个月题是能量动量洛仑兹不变性的直接应用。从质心参考系来看，粒子碰撞后不是静止 的，总能量是 昆-代2=品 求解实验室动量的时候，我们必须考虑第一个光子与坐标轴的夹角。 2 =2m2+2+10m,2+3m2 4-净-净=5=感 42-2子=32+21-=32+1=625 32=2+￥-v丽 这就给出了两个光子的初始能量144GV
问题 1 一个光子沿 x 轴正方向运动。另一个光子沿与 x 轴成 60°夹角方向运动，如图所示，两个光 子相撞。两个光子具有相同的能量。 碰撞后产生一对粒子，每个粒子的静止能量是 10GeV/c2 ( ≅ 10 mp c 2 ，其中 mp 是光子的静止 质量)，并且最初的两个光子保留下来。在动量参考系的中心，四个粒子的总动能是 3GeV/c2 ( ≅ 3 mp c 2 )。求出光子的能量。 这个问题是能量-动量洛仑兹不变性的直接应用。从质心参考系来看，粒子碰撞后不是静止 的，总能量是 求解实验室动量的时候，我们必须考虑第一个光子与坐标轴的夹角。 这就给出了两个光子的初始能量 14.4GeV
间思2 在S参考系中，一束顾率是的光子，如下所示。对于下而的问愿，只用能量(E)和动量 (》变换方程求解：（不要用多售勒频移表达式或笔记中的角度变换，》 (a)在S'参考系（以速率具沿x方向运动）中，求出光子的频率。 利用沿x方向运动的能量变换公式，可以得到： E=(E-pe】 h 1hv-(-csald /=1+3c0s0 引出了多语初领移公式， (b》求出角度日，就是在$”参考系中粒子束与一X方向的夹角。你的表达式只能包括 B.B(而不是v成) 结合动量雯换式可以得到： =(-) and =P m=(gm-) 由()部分中的方程我们可以推导出： c0s0+3 sin Gs∥= 1+3c0s9, 血f=0+3s 它们其中的任何一个都满足上面的方程式。联立它门可以得到 sin6 tan=- (G0s8+列
问题 2 在 S 参考系中，一束频率是ν的光子，如下所示。对于下面的问题，只用能量（E）和动量 （p）变换方程求解：（不要用多普勒频移表达式或笔记中的角度变换。） （a） 在 S′参考系（以速率βc沿 x 方向运动）中，求出光子的频率。 利用沿 x 方向运动的能量变换公式，可以得到： 引出了多谱勒频移公式。 （b） 求出角度θ′ ，就是在 S′参考系中粒子束与 − x′方向的夹角。你的表达式只能包括 θ,γ ,β （而不是ν或ν′ ）。 结合动量变换式可以得到： 由（a）部分中的方程我们可以推导出： ， 它们其中的任何一个都满足上面的方程式。联立它们可以得到
间题3 (a) 一个物体的静止质量是M,向一个方向发射出能量为E的辐射。之后，静止质 量碱少为M心通过简单（有物理意义）的计算，确定E是大于，还是小于，或 者是等于(M-M)C2. 由能量守恒可知。静止粒子的任何质量损失都会转化成能量。尤其是，在这种情况 下，总能量变化是(M一场》C。发射出的辐财的动量正比于它的能量。由动量守 恒可知发射粒子一定会向反方向反弹。这部分反冲动量，需要消耗一些能量。所以， 发射的辐射不可能使损失质量转化成的能量全部释放。 BM<(M-M小2 (b》所谓的“a三角”作用可以使，He在很热的星体内燃烧成，C。这个反应是： 3He3一C日 :He的“原子标准质量”对应的能量是2.42MV。求出反应中释放的能量。 提示：原子标准质量的单位是占M一 12 由于源子的质量标准是。C(在提示中给出了)，产生的，C的质量为零，这个 反应中释政出的总的质量能量就是反应物的质量能量： 3*242MeV-0-726MeV 回4 利用下面给出的提示步骤，推导出E,E,和民的变换定律。由S参考系的安培定律〔真空 中)：分量为出发点： 0B_8B-1E Bs By c ot (a)S·参考系以速率沿x-轴运动，将偏微分扫/位，a/可，/}转化成S·参考系中的 相应形式。 030 =707-CO 品=（品-品） 应用这些微分推导出上面给出的安培定律的：分量： (b) 用我义相对论的基本段定和()部分的结果推导出E,E,和品的相对论变换定律。 尤其是，要说清楚你引用了两个基本假定的爆一条。 (c) 在=0时刻，一个点电荷g在原始参考系S中沿x方向以速率B运动。利用(b)》 部分中你得到的结果，说明为什么电场(x上，：，)=(0火0,0》的y因子比从固定 电荷的岸仑定律中得到的，()大。（岸仑定律变换的练习载不用做了，） 答案 (a) 直接带入可得：
问题 3 （a） 一个物体的静止质量是 M0,i，向一个方向发射出能量为 Erad 的辐射。之后，静止质 量减少为 M0,f。通过简单（有物理意义）的计算，确定 Erad 是大于，还是小于，或 者是等于（M0,i−M0,f）c 2 。 由能量守恒可知，静止粒子的任何质量损失都会转化成能量。尤其是，在这种情况 下，总能量变化是（M0,I−M0,f）c 2 。发射出的辐射的动量正比于它的能量。由动量守 恒可知发射粒子一定会向反方向反弹。这部分反冲动量，需要消耗一些能量。所以， 发射的辐射不可能使损失质量转化成的能量全部释放。 （b） 所谓的“α三角”作用可以使 4 2He 在很热的星体内燃烧成 12 6C 。这个反应是： 4 2He 的“原子标准质量”对应的能量是 2.42MeV。求出反应中释放的能量。 提示：原子标准质量的单位是 12 6 1 12 M c 。 由于原子的质量标准是 12 6C （在提示中给出了），产生的 12 6C 的质量为零。这个 反应中释放出的总的质量能量就是反应物的质量能量： 3*2.42MeV−0=7.26 MeV 问题 4 利用下面给出的提示步骤，推导出 Ex，Ey和 Bz的变换定律。由 S 参考系的安培定律（真空 中）z 分量为出发点： （a） S′ 参考系以速率β 沿 x-轴运动，将偏微分{∂ / ∂x,∂ / ∂y,∂ / ∂t}转化成 S′ 参考系中的 相应形式。 应用这些微分推导出上面给出的安培定律的 z 分量。 （b） 用狭义相对论的基本假定和（a）部分的结果推导出 Ex，Ey和 Bz 的相对论变换定律。 尤其是，要说清楚你引用了两个基本假定的哪一条。 （c） 在 t= 0 时刻，一个点电荷 q 在原始参考系 S 中沿 x 方向以速率β 运动。利用（b） 部分中你得到的结果，说明为什么电场（x, y, z, t）=（0, y, 0, 0）的γ 因子比从固定 电荷的库仑定律中得到的γ（q/y2 ）大。（库仑定律变换的练习就不用做了。） 答案 （a） 直接带入可得：
(b》从爱因斯凯的基本里定我们知道所有的物理规律在洛仑蓝变换下式不变的。这就意 味着 8B武8道_18E 如果我们把(a)部分的答案如下改写一下 品h4+E1-0-品h6+ 从两个方程式中的相等部分可以求出以下关系： 民=(B+E,)Bg=B,=E,+B (©)考虑S·参考系，问题中的：点处静止的电荷潭。我们可以把它描述成一个电场 =9/:而设有磁场。利用(b)部分得到的最后一个变换方程的转化式可得： E-) 间题5 (a)一个固定物体的静止质量华2kg:在S参考系中从静止开始运动，受到一个恒力 F=10N(=10小s)。那么这个物体的速率达到0c需要多长时间？出以物 体本身为参考系时。它的速度为队，时所受的力： 由于在0时射的速度和动量都是零，所以这个问思核简化了， 利用题后给出的积分可得： et0.0 -京=元 =2.06 1=2060=2 下=08×1)206=12×10e=39mm 或者我们也可以利用F是恒力直接解决何题：
（b） 从爱因斯坦的基本假定我们知道所有的物理规律在洛仑兹变换下式不变的。这就意 味着： 如果我们把（a）部分的答案如下改写一下 从两个方程式中的相等部分可以求出以下关系： （c） 考虑 S′ 参考系，问题中的 z 点处静止的电荷源，我们可以把它描述成一个电场 2 E q / z z ′ = 而没有磁场。利用（b）部分得到的最后一个变换方程的转化式可得： 问题 5 （a） 一个固定物体的静止质量 M=2kg，在 S 参考系中从静止开始运动，受到一个恒力 10 ˆ( 10 ) 6 F = Nx = dynes r 。那么这个物体的速率达到 0.9c 需要多长时间？求出以物 体本身为参考系时，它的速度为 x u 时所受的力。 由于在 t=0 时刻的速度和动量都是零，所以这个问题被简化了。 利用题后给出的积分可得： 或者我们也可以利用 F 是恒力直接解决问题：
F=中=m=3 取一般形式=越，。利用力的变换公式可以得到： =E-5)A.m 1- 菱- 我们也可以把爆裂参考系《叫：=0)转换，还原到实验室参考系中。通过把上面式 子中的如号变成减号也可以得到同样的结果。 (b) 一个能量是Ym,c2=6x10"eF(=1J=10g)的字宙射找光子，套直于近蚁均 匀的磁场B10Gau5一0°T运动。推导出光子运动方程的近以表达式，并解出光 子轨道的由率半径。（光子所带电量-1.6×10C=4.8×10.) 从实验室参考系来看，磁场提供的横向力（与速度方向垂直，不改变物体速率，即 改变方向)为如 F=m心证=行xB 其中，矢量系数依赖于选择的单位，由于光子做圆网运动，所以可得： m发行 Rymolqju 9B 要解这个方程，我们必领找到一个合适的：植。如道了m,ca1GV,就可以由给 出得条件求出速度。 6×10sV =1x1N 中uac 也可以用单位CGS(Gau,csu【c): R=mue) (10Fer(1】 98 =8x10-”0-Ga网=21×102cm 对于MKS B=fme2) 1-1 ”B×106x10Cwo万=21×产-■ R≌680pe 可能用到的积分：
取一般形式 u = ux r ，利用力的变换公式可以得到： 我们也可以把爆裂参考系（u′ x = 0）转换，还原到实验室参考系中。通过把上面式 子中的加号变成减号也可以得到同样的结果。 （b） 一个能量是 6 10 ( 1 10 ) 2 18 7 m c eV J ergs γ p p = × = = 的宇宙射线光子，垂直于近似均 匀的磁场(B=10−6 Gauss=10−10T)运动。推导出光子运动方程的近似表达式，并解出光 子轨道的曲率半径。（光子所带电量= 19 10 1.6 10 4.8 10 − − × C = × esu。） 从实验室参考系来看，磁场提供的横向力（与速度方向垂直，不改变物体速率，即 改变方向）为： 其中，矢量系数依赖于选择的单位。由于光子做圆周运动，所以可得： 要解这个方程，我们必须找到一个合适的 u 值。知道了 mp c 2 ≅ 1GeV，就可以由给 出得条件求出速度。 也可以用单位 CGS（Gauss, esu, [c]）： 对于 MKS： 可能用到的积分：
∫a=咖两-告a丽a丽