1.033/1.57Q#1:应力和强度一圆锥穿透测试 2003年10月8日 麻常理工学院-1.0331.57 2003秋 计师：rnz-Jo%fULM 用仪器测量纳使度是材料科学与工程中在极小尺度上确定材料强度的一项新技 术。我们己经在课外作业中研究了“扁平”压头句圆。此次练习的重点是一个在形状 上更接近实际情况的压头，即圆排压头测试，如下图所示，压头（由金刚石制成）考 虑为一个半顶角为a的削性圆排，压头在材料中的深度为h,垂直力F沿Q?.轴方向 饰加在刚性压头上.比试验给出得到被穿透材料的硬度H的途径.定义为平均压力： n-月 式中A=需？是在表面0处的投彬接触面积（见图）。此絲习的目标是把硬度与 被穿透的材料的强度性能联系起来。在压头表面为扁平的前提下，刚性压头与材料 (沿单位法向量取向的因排表而)的接触可以被考感为无摩擦，在比练习中，我 们门将假设准静态条件（忽略惯性效应），并且我们将忽略休积力。 Rigid Indenter 21 第I到
1.033/1.57 Q#1: 应力和强度－圆锥穿透测试 2003年10月8日 麻省理工学院-1.033/1.57 2003 秋 讲师：Franz-Josef ULM 用仪器测量纳硬度是材料科学与工程中在极小尺度上确定材料强度的一项新技 术。我们已经在课外作业中研究了“扁平”压头问题。此次练习的重点是一个在形状 上更接近实际情况的压头，即圆锥压头测试，如下图所示。压头(由金刚石制成)考 虑为一个半顶角为α的刚性圆锥。压头在材料中的深度为 h。垂直力 F 沿 Oz 轴方向 施加在刚性压头上。此试验给出得到被穿透材料的硬度 H 的途径。定义为平均压力： 式中 是在表面 z=0 处的投影接触面积（见图）。此练习的目标是把硬度与 被穿透的材料的强度性能联系起来。在压头表面为扁平的前提下，刚性压头与材料 （沿单位法向量 n 取向的圆锥表面）的接触可以被考虑为无摩擦。在此练习中，我 们将假设准静态条件（忽略惯性效应），并且我们将忽略体积力。 第 1 页
1.静态容许应力场：为了便于分析，我们将半空问Q分为两个子空问，分别记 为Ω和2，（见图）.在这两个了空间中，我们在圆柱坐标系中考忠对角线应力场， 其形式为： a=der er Gaves @es+e:e: (Q1 (a)对于两个子空间2，和2，”确定在2，和Ω，中满足静态容许应力场的形式(Q1) 需要的所有条件.提示：应特别注意沿单位法向量取向的压头与材料界面之间的无 师源接触条什 (b)通过假设2，和2，中的应力常数，确定两个了空间中的应力的表达式，以确保 应力场a在=U中是静态容许的。 《c)在Mohr平面(o×T)中显示e和8，的应力场a',在两个Mohr平面和材料平面 中，确定在9中最大剪切应力所处的表面以及对应的应力矢量。 2.Mohr-Coulomb强度标准：我们考虑的材料是一种Mohr-Coulomb材料，其 强度域由下式定义： f(a）=0(1+snP）-1(1-对np)-2xcwp≤0 式中1≥0u≥0山为主应力，ψ和c为已知摩擦角和粘附力. (a)写出在Mohr平面(g×T)中的Mohr-Coulomb标准； (b)得到的最大硬度值如下给出： H≤mxH=eF(P) 确定在圆锥压头测试中的函数厂(). (c)在材料平面上，表示出达到Mhr-Comb强度标准时的临界材料表面的取向。 (d)讨论：你认为对角线应力场Q1确定的心是在实验中希望测量的实际伦之 比的下边界还是上边界？ 第2页
1. 静态容许应力场：为了便于分析，我们将半空间Ω分为两个子空间，分别记 为Ω1 和Ω2 （见图）。在这两个子空间中，我们在圆柱坐标系中考虑对角线应力场， 其形式为： （a）对于两个子空间Ω1 和Ω2 ，确定在Ω1 和Ω2 中满足静态容许应力场的形式(Q1) 需要的所有条件。提示：应特别注意沿单位法向量n取向的压头与材料界面之间的无 摩擦接触条件。 （b）通过假设Ω1 和Ω2 中的应力常数，确定两个子空间中的应力的表达式，以确保 应力场σ’在 中是静态容许的。 （c）在Mohr平面 中显示Ω1 和Ω2 的应力场σ’。在两个Mohr平面和材料平面 中，确定在Ω中最大剪切应力所处的表面以及对应的应力矢量。 2. Mohr-Coulomb 强度标准：我们考虑的材料是一种 Mohr-Coulomb 材料，其 强度域由下式定义： 式中 为主应力，φ和 c 为已知摩擦角和粘附力。 （a）写出在 Mohr 平面 中的 Mohr-Coulomb 标准； （b）得到的最大硬度值如下给出： 确定在圆锥压头测试中的函数 。 （c）在材料平面上，表示出达到 Mohr-Coulomb 强度标准时的临界材料表面的取向。 （d）讨论：你认为对角线应力场 Q1 确定的 H/c 是在实验中希望测量的实际 H/c 之 比的下边界还是上边界？ 第 2 页
1.静态允许应力场 个静态浮许应力场应满足：O力边界条件，（回在材料中任何表面上的应力欠 量连续性条什：(m应力张量的对称性：(w)动量平衡。 对于圆雏纳硬度测试，条件为： 在0中： 一沿按单位法向量=cos4c+snuc取向的压头一材料界而的无摩擦接触。对 角线应力场的应力矢量如下： sina 由于是无摩擦接触，因此t·T-0。这甲=snac,-cse,因而有： t.Tin)(singe -cosoe,)(o'cosae+a singe,) =d sina cos a-d cosasina=0=d 一在z=0处的力边界条作 n=-e:Nd=Fe,三-人eed血=-HAeH=-人m周 一平衡 在0，中： 一零应力边界条件：“ om :=0;r>R:n=-e:T(n=-e.)=0=0m=0 一平衡： 尝=0一=等-驶=0 70 在=R时的走续性条件： 0m>r=Ra9= 这样，对前述联立乃程作一个小结，可得： 第3页
1. 静态允许应力场 一个静态容许应力场应满足：(i)力边界条件，(ii)在材料中任何表面上的应力矢 量连续性条件；(iii)应力张量的对称性；（iv）动量平衡。 对于圆锥纳硬度测试，条件为： 在Ω1 中： —沿按单位法向量n=cosαer +sinαez 取向的压头－材料界面的无摩擦接触。对 角线应力场的应力矢量如下： 由于是无摩擦接触，因此t·T(n)=0，这里t=sinαer -cosαez ，因而有： —在 z＝0 处的力边界条件： －平衡： 在Ω2 中： —零应力边界条件： ** —平衡： 在 r=R 时的连续性条件： 这样，对前述联立方程作一个小结，可得： 第 3 页
在,中：=-He8e,+e8e+ee) 9 在8，中：。=-H(e@e,+e@ (10 如下图所示，成力状态显示在Mo平面中。定义域1中的流体静力学应力场 表示为Mor平面上的点(a,)=（一H,0.定义域2中的Mohr圆只有最大位， 且半径为H2.剪切应力最大的表面按如下取向： n-2(-+e 2.Mohr-Coulomb强度判断标准 对于一个流体静力学应力场，Mohr.Coulomb标准始终能得到满足.因而，唯 的限制米自于定义城2，其中 1=01=0=-H (2 用于Mohr.Coulomb强度标准中则有： gsr-2品 (3 在子空间，上达到强度标准的衣面按如下取向 n =-sinder+cos de;0(ea.n)=/4-/2 140 因为在下边界上满足平衡和强度标准。因此这是一个解。然而，我应当指出 这个解不太实际：它与顶角无关，因此不收敛于任何一个扁平压头，比如： 扁平穿透： H≤F(=0-m可 从而进一步可得出结论：压头下面的应力状态为一个流体静力学应力场似乎是 相当不实际的。 第4页
在Ω1 中： 在Ω2 中： 如下图所示，应力状态显示在 Mohr 平面中。定义域 1 中的流体静力学应力场 表示为 Mohr 平面上的一点 。定义域 2 中的 Mohr 圆具有最大值， 且半径为 H/2。剪切应力最大的表面按如下取向： 2. Mohr-Coulomb 强度判断标准 对于一个流体静力学应力场，Mohr-Coulomb 标准始终能得到满足。因而，唯 一的限制来自于定义域 2，其中： 用于 Mohr-Coulomb 强度标准中则有： 在子空间Ω2 上达到强度标准的表面按如下取向： 因为在下边界上满足平衡和强度标准，因此这是一个解。然而，我们应当指出 这个解不太实际：它与顶角无关，因此不收敛于任何一个扁平压头，比如： 扁平穿透： 从而进一步可得出结论：压头下面的应力状态为一个流体静力学应力场似乎是 相当不实际的。 第 4 页
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