麻省理工学院试卷习题建模与仿真的试验问题_Introduction to Modeling and Simulation（建模与仿真概论）.pdf_大学文库

测试问题.MIT,2005年3月－Rosales 1 问题 1.有限差分（综述）对于有线差分问题，你必须考虑几个简单的差分格式（简单的一维时间空间偏微分方程），并通过数字试验确定其滞止参数，特殊情况下，需找出：问题4.1 偏微分方程𝑢𝑢𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑢𝑢𝑥𝑥 = 0——其中c为某常数——显式有限差分方案的稳定性特性 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘+1 = 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘 − �𝑐𝑐 ∆𝑡𝑡 ∆𝑥𝑥 � (𝑢𝑢𝑛𝑛＋1 𝑘𝑘 − 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘 ) (1.1) 为：对于c0,稳定边界∆𝒕𝒕 = ∆𝒙𝒙/𝒄𝒄时是稳定的。问题4.3 偏微分方程𝑢𝑢𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑢𝑢𝑥𝑥 = 0——其中c为某常数——显式有限差分方案的稳定性特性 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘+1 = 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘 − �𝑐𝑐 ∆𝑡𝑡 2∆𝑥𝑥 � (𝑢𝑢𝑛𝑛＋1 𝑘𝑘 − 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 ) (1.3) 为：从不稳定。问题4.4 偏微分方程𝑢𝑢𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝑢𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥——其中í >0某常数——显式有限差分方案的稳定性特性 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘+1 = 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘 − �𝑣𝑣 ∆𝑡𝑡 (∆𝑥𝑥)2� (𝑢𝑢𝑛𝑛＋1 𝑘𝑘 − 2𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘＋𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 ) (1.4) 为：对于𝝂𝝂 >0,稳定边界∆𝒕𝒕 = (∆𝒙𝒙)𝟐𝟐/(𝟐𝟐𝟐𝟐)时是稳定的。事实证明，方程（??）中方案可以稳定，通过对它1 增加适当的“修正”项。这个“修正”的方案是： 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘+1 = 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘 − 𝛼𝛼 �𝑢𝑢𝑛𝑛＋1 𝑘𝑘 − 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 �＋2𝛼𝛼2(𝑢𝑢𝑛𝑛＋1 𝑘𝑘 − 2𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘＋𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 ) (1.5) 其中𝛼𝛼 = 𝑐𝑐∆𝑡𝑡/(2∆𝑥𝑥),修正项为有乘以𝛼𝛼2的那项。现在，对于此问题的疑问：不做任何的数值试验或长时间的分析，你能确定上一个方案的稳定边界的功能表？此方案的稳定边界非常简单，并有常用形式∆𝑡𝑡 = 𝐴𝐴(∆𝑥𝑥)𝑛𝑛 ,其中 n 和 A 是常数。根据“功能表”需求： a.n 值为多少？注意，它应该不依赖于方程中的常数 c。 b.方程中 A 如何取决于常量 c？亦即：A 与 c 是不是呈比例关系？A 与 c 是否呈反比例关系？或者其他关系？如果是，详细地，说明一下是什么？ 1通过先确定是什么原因导致不稳定，而后为消除它进行适当地修改此方案的此部分已经完工

测试问题.MIT,2005年3月－Rosales c.额外信贷：事实证明，方程的稳定性参数与常数c无关。为什么？注：必须提供合理的依据。不用过分冗长的分析，只需要一个简短的解释，但你必须这样做。提示 1.1 稳定性方程意味着没有误差的产生，由于这里的方程都是线性的，误差与方程解本身无关。即：写出一般形式的方案： 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘+1 = 函数（𝑢𝑢𝑛𝑛+1 𝑘𝑘 , 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘 , 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 ） (1.6) 由于上述函数是线性的，故可以得出： 𝑈𝑈𝑛𝑛 𝑘𝑘 = 𝑈𝑈𝑛𝑛 𝑘𝑘 + 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 其中，U是“精确”解，E是误差，可以得出： 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 = 函数（𝐸𝐸𝑛𝑛+1 𝑘𝑘 , 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 , 𝐸𝐸𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 ） (1.7) 因此，稳定性可解释为：向数字函数输入任何原始数据，他们都不会有变化。因此，稳定性是函数本身的固有特性，也可以是函数参数的独有特性。 2 问题 1.有限差分（解答）上述的各个粒子都是方程中的单一参数，称为𝛼𝛼。因此对于方案(??):𝛼𝛼 = 𝑐𝑐∆𝑡𝑡/∆𝑥𝑥. 对于方案(??):𝛼𝛼 = 𝑐𝑐∆𝑡𝑡/∆𝑥𝑥. 对于方案(??):𝛼𝛼 = 𝑐𝑐∆𝑡𝑡/(2∆𝑥𝑥). 对于方案(??):𝛼𝛼 = 𝑣𝑣∆𝑡𝑡/(∆x)2. 此外，在每一种情况下，稳定性都与𝛼𝛼有关。由此：方案(??)稳定对于：0 > 𝛼𝛼 > −1. 方案(??)稳定对于：0 < 𝛼𝛼 < +1. 方案(??)稳定对于：无α值. 方案(??)稳定对于：0 < 𝛼𝛼 < ＋1/2. 这个结果与提示??完全相符。对于该方案(??)，同一部分都是正确的，在合适的𝜶𝜶取值范围内方程稳定。因此，方案(??)的稳定区间必须有一下型式： ∆𝑡𝑡 = 常量∆𝑥𝑥/𝑐𝑐, (2.1) 从该讨论中不能得出该常数的数值。一稳定详细分析区域： −1 < 𝛼𝛼 < 1, (2.2) 其中𝛼𝛼 = 𝑐𝑐∆𝑡𝑡/(2∆𝑥𝑥)

测试问题.MIT,2005年3月－Rosales 额外学分问题：为什么方案在(??)中解答与c的标记无关？注意到在n→-n转变范围内方案不变。因此，稳定性也没有变化。然而，n→-n的变化导致方程x→-x 的转变，这也就相应的改变c。 3 问题 2.质量与弹性（综述）根据记录，观察一群被遵循胡克定律（每个弹性常数K）的弹力连接在一起的平衡质点（每个质量为m）。强制质点向前做直线运动，并标注他们的位移𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 (𝑡𝑡)。假设有半无穷序列的这样的质点，向右扩散，其中𝑥𝑥1 0是弹力的平衡长度。如果分散的质点群的变化根据距离l的不同而不同，且远比典型的弹力长度L大——亦即 𝜖𝜖 = 𝐿𝐿/𝑙𝑙 ≪ 1——我们写出： 𝑥𝑥𝑛𝑛 (𝑡𝑡) = 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝜏𝜏) (3.4) 其中𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝜖𝜖, 𝜏𝜏 = 𝑡𝑡/𝑇𝑇, 𝑇𝑇 = �𝑚𝑚/(𝑘𝑘𝜖𝜖2),以及𝑋𝑋 = 𝑋𝑋(𝑠𝑠, 𝜏𝜏)是讨论的光滑函数。然后，根据注释，代替方程(??-??)中的表达式，用泰勒级数展开𝑋𝑋(𝑠𝑠𝑛𝑛±1, 𝜏𝜏) = 𝑋𝑋(𝑠𝑠𝑛𝑛 ± 𝜖𝜖, 𝜏𝜏) = 𝑋𝑋(𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝜏𝜏) ± 𝜖𝜖𝑋𝑋𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝜏𝜏) + 0.5𝜖𝜖2𝑋𝑋𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑠𝑠𝑛𝑛 , 𝜏𝜏) + ⋯保留主要顺序，结果是波动方程： ∂2𝑋𝑋 ∂𝜏𝜏2 = ∂2𝑋𝑋 ∂𝑠𝑠2 , 其中s > 0 (3.5) 这是控制弹性线(小振幅2 )纵向振动的方程式（称作，橡皮筋）为了完成描述，应该说明在最后一行发生了什么；亦即：在s=0时应该给出pde的边界条件。这个可以根据方程(??)，从(??-??)开始通过扩展与这个相似的方式推导出(??)。你需要做的就是推导出边界条件。有三种不同的情况可以考虑：第一种情况.质点M是和m是相同大小。这就符合一列的最后质点自由移动的情况。比如，在这种情况下，没有压力边界条件： 𝑋𝑋𝑠𝑠(0, 𝜏𝜏) − 1 = 0 (3.6) 2于是胡克定律适用

测试问题.MIT,2005年3月－Rosales 第二种情况.质点群M是比m大的多。事实上，假设M≫ 𝑚𝑚/𝜖𝜖。这就符合一列的最后质点群足够大以至于线性力几乎不影响它的运动的情况。比如，在这种情况下，边界条件是： 𝑋𝑋(0, 𝜏𝜏)𝜏𝜏𝜏𝜏 = 0 (3.7) 因此，第一步是用方程必须解出X(0,𝜏𝜏)，然后波动方程的解出需要X取代最后的值。第三种情况.质点群M是比质点m大的多，但没有足够大以至于线性力不能影响它的运动。事实上，假设𝜇𝜇 = 𝜖𝜖𝜖𝜖/𝑚𝑚 = 𝑂𝑂(1)。这是最有趣的情况，质点群M与系列是连接着的。在这种情况下，边界条件： 𝜇𝜇𝜇𝜇(0, 𝜏𝜏)𝜏𝜏𝜏𝜏 = 𝑋𝑋𝑠𝑠(0, 𝜏𝜏) − 1 (3.8) 4 问题 2.质量与弹性（解答）用(??)替代(??)，在s=0处对𝑋𝑋(𝑠𝑠1, 𝜏𝜏) = 𝑋𝑋(𝜖𝜖, 𝜏𝜏)进行泰勒级数展开。得出： 𝑀𝑀 𝑇𝑇2 𝑋𝑋𝜏𝜏𝜏𝜏 = 𝑘𝑘𝑘𝑘�𝑋𝑋𝑠𝑠 − 1 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖)�， (4.1) 其中X和它的派生项估计在(0,𝜏𝜏)中。除以𝑘𝑘𝑘𝑘，利用T的定义，得到： 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚 𝑋𝑋𝜏𝜏𝜏𝜏 = 𝑋𝑋𝑠𝑠 − 1 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖) (4.2) 然后：第一种情况：方程左边的项较小，可以忽略。得出方程(??) 第二种情况：方程左边的项是主要部分。得出方程(??)。第三种情况：方程左右都是同一等级，得出方程(??)。 5 问题 3.量纲（综述）描述T=�𝑚𝑚/(𝑘𝑘𝜖𝜖2)，与先前问题中定义的一样，定义一个时间比例。 6 问题 3.量纲（结论）由于𝜖𝜖 = 𝐿𝐿/𝑙𝑙是两长度的比值，所以没有量纲。另一方面，K是弹性常数，除以长度即为力的量纲。也就是说，K的单位是((质量×长度)/(时间2 ))/长度 = 质量/(时间2 )。因此T就是时间。 7 问题 4.河流保护（综述）该讲义讨论： A.体积容量为流下一河流积蓄的水流。 B.体积“密度”(每单位长度体积，此情况下)就是河流填充横截面区域A=A(x,t),其中x为沿河流方向长度坐标

测试问题.MWT20m5年月一Rasales 因此，如米Q=Q区，)沿河流的体积流量，如下方程遵从： +=0. (1) 为了“到闭”此系统，我门接下米讨论一下半紫电区河流情况一以皮当水位变化不是很快速一流入河流的流动速度，基本上是一个河流携带多少水量的函数关系。亦即：山三：，因此Q=“A 同样为的盈数。把9一)带入上述方程)，北系统便封闭，此时我以单独未如量来结只方程。对于函致9·9我们应该考也什么？对于真实河流我必须经过测量，然而，在北我」将会给出一个简单的讨论即Q=Q)可看作什么一对于人资的、正规的通路来说不是很差。讨论如下： A当流动稳定，流动速度必定由沿河流坡度的重力与河济底部的摩擦力平衡产生。 B.在河流各个河段x的重力作用（下流）正比例于横截面的总质量PAdx乘以沿河流重力加速度分量：g6一其巾p为问水的密度，8为河床的斜度。 C.单位长度摩福力可以从定律（经验公式）F,=C,uPdx卿到，其中P为水的混周，C为摩擦系数。完成上述讨论：假定河床有有一些给定形态，假定一种（一般的）关系可以借由函数给定湿周户随后平衡两力从面御到·种关系可以从仿面给定流动速度山。从此得到关小-的方程一你们可得到Q=aA5,其中位为常量。置要说明：给定一个真实而完聚的论据。不可简单地给出使用非完善或不可常论点的答复， 8问题4.河流保护（解答）应该很清楚，一般来说，湿周（近似地）形如截面面积的平方根。因此，我们可以写成PC√石，共中C,为形式因子。作用在水面上的两个力于是为： %=Pgs机BAd红……每单位长度重力. 形=CC,v万dx ……每单位长度摩旅力然后令B=F得到u=gVA,其中g=pgsin6(CCg)-因此Q=u仁aA5, 结束 3考均当河床有一个三角形载面的特蛛例子。此情祝下，此种关系是止角的。其他情况下，也将大敦此

测试问题.MIT,2005年3月－Rosales 因此，如果Q = Q(x, t) 沿河流的体积流量，如下方程遵从： 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0. （1）为了“封闭”此系统，我们接下来讨论一下平原地区河流情况－以及当水位变化不是很快速－流入河流的流动速度，基本上是一个河流携带多少水量的函数关系。亦即：u = u(A)。因此Q = u A 同样为A的函数。把Q = Q(A)带入上述方程(??)，此系统便封闭，此时我们以单独未知量A来结束方程。对于函数Q = Q(A)我们应该考虑什么？对于真实河流我们必须经过测量。然而，在此我们将会给出一个简单的讨论即Q = Q(A)可看作什么－对于人造的、正规的通路来说不是很差。讨论如下： A.当流动稳定，流动速度u必定由沿河流坡度的重力与河流底部的摩擦力平衡产生。 B.在河流各个河段dx的重力作用（下流）正比例于横截面的总质量𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌乘以沿河流重力加速度分量：𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠－其中𝜌𝜌为河水的密度，𝜃𝜃为河床的斜度。 C. 单位长度摩擦力可以从定律（经验公式）𝐹𝐹𝑓𝑓＝𝐶𝐶𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢得到，其中P为水的湿周，𝐶𝐶𝑓𝑓为摩擦系数。完成上述讨论：假定河床有有一些给定形态，假定一种（一般的）关系3 可以借由函数A给定湿周P。随后平衡两力从而得到一种关系可以从A方面给定流动速度u。从此得到关于Q=Q(A)的方程－你们可得到𝑄𝑄 = 𝛼𝛼𝐴𝐴1.5,其中𝛼𝛼为常量。重要说明：给定一个真实而完整的论据。不可简单地给出使用非完善或不可靠论点的答复。 8 问题 4.河流保护（解答）应该很清楚，一般来说，湿周（近似地）形如截面面积的平方根。因此，我们可以写成P≈ 𝐶𝐶𝑔𝑔√𝐴𝐴，其中𝐶𝐶𝑔𝑔为形式因子。作用在水面上的两个力于是为： 𝐹𝐹𝑔𝑔 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯每单位长度重力。 𝐹𝐹𝑓𝑓 = 𝐶𝐶𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑔𝑔√𝐴𝐴𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯每单位长度摩擦力。然后令𝐹𝐹𝑔𝑔 = 𝐹𝐹𝑓𝑓得到u＝𝛼𝛼√𝐴𝐴，其中𝛼𝛼 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 /( 𝐶𝐶𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑔𝑔)－因此Q=uA=𝛼𝛼𝐴𝐴1.5。结束 3考虑当河床有一个三角形截面的特殊例子。此情况下，此种关系是正确的。其他情况下，也将大致如此

麻省理工学院 试卷习题 建模与仿真的试验问题_Introduction to Modeling and Simulation（建模与仿真概论）

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