抽样问题及解答 2004年2月 习题一 某容积为容器内有1千克的氧气，温度稳定为T,=0时，在容器壁上钻一个很小的孔 讨论： 1刚钻完孔时，单位时间在小孔的单位面积上罐失的容器内微粒的数量。 2.计算离开容器的赏粒的平均动能。表明该平均动能的值是容器内部微教平均能量的 1/3倍，并解径原因。 答案： 在不失一没性的情况下，我」假设，小孔法线的方向为x方向，在△的时何里，冲出容器 表面速度为U的微粒疑目，与在体积为U,:内的微粒数日相同，其中A代表小孔的面积。 血于微粒是均匀分布的，该数目可表示为mU,△、为了能够计算途出的微粒总数，我们契 对总体积做积分，即： N Aa=A应。 nfAAtdu,du,du. 其中e1/40×6.023×106/W.由于我们感兴趣的是钻完孔的除间，于是我们假议气体仍 处于平衡状态， 即： -(品)Pm(-的
抽样问题及解答 2004年2月 习题一 某容积为V容器内有1千克的氩气，温度稳定为T，t＝0时，在容器壁上钻一个很小的孔。 讨论： 1.刚钻完孔时，单位时间在小孔的单位面积上流失的容器内微粒的数量。 2.计算离开容器的微粒的平均动能。表明该平均动能的值是容器内部微粒平均能量的 4/3倍，并解释原因。 答案： 在不失一般性的情况下，我们假设, 小孔法线的方向为x方向，在∆𝑡𝑡的时间里，冲出容器 表面速度为𝑈𝑈𝑥𝑥的微粒数目，与在体积为A𝑈𝑈𝑥𝑥∆𝑡𝑡内的微粒数目相同, 其中A代表小孔的面积。 由于微粒是均匀分布的, 该数目可表示为nfA𝑈𝑈𝑥𝑥∆𝑡𝑡。为了能够计算逸出的微粒总数，我们要 对总体积做积分，即： 𝑁𝑁 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 = 1 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 � � � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝐴𝐴∆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑈𝑈𝑥𝑥𝑑𝑑𝑈𝑈𝑦𝑦𝑑𝑑𝑈𝑈𝑧𝑧 ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ 0 其中n=1/40×6.023×1026/V。由于我们感兴趣的是钻完孔的瞬间, 于是我们假设气体仍 处于平衡状态， 即： f(𝑈𝑈�⃑)= ( 𝑚𝑚 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )3/2exp(− 𝑚𝑚𝑈𝑈2 2𝑘𝑘𝑘𝑘 ) 1
如将小孔堵上，可以得到 N kT 为了计算热出微粒的平均能量，我们用积分来计算逸出微粒的能量流，并将其用微粒来 划分。能量流表达式如下： 品-应工可吃m心+鸣+u,du-知 激控平均能量为： =2KT A厅 容器内微粒的平均能景为： E-厂w吃mo+g+au,du,u-2n 3 之所以逸出微粒所具有的平均能量大于容器内部微粒所兵有的平均能量，是因为具有更 大能是的微粒逸出的可能性更高。 习题二 假设有一需钠德琼斯材料理想的面心立方体尚体，由W个原子组成，温度为0费氏度。就雷 钠德琼斯参量而言，讨论： 1品体的总能量. 2.最近的相邻品面间距的平衡常数 提示：将任意原子)与给定原子(0之间的距离表示为=P,其中R表示最近的相邻 距离，同副： ∑7=12118 并且对于面心立方体品体来说： 2F=1445392
如将小孔堵上，可以得到 𝑁𝑁 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 = 1 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 � � � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛∆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑈𝑈𝑥𝑥𝑑𝑑𝑈𝑈𝑦𝑦𝑑𝑑𝑈𝑈𝑧𝑧 ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ 0 = 𝑛𝑛� 𝑘𝑘𝑘𝑘 2𝜋𝜋𝑚𝑚 为了计算逸出微粒的平均能量，我们用积分来计算逸出微粒的能量流，并将其用微粒流来 划分。能量流表达式如下： 𝐸𝐸 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 = 1 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 � � � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛∆𝑡𝑡( 1 2 𝑚𝑚(𝑈𝑈𝑥𝑥 2 + 𝑈𝑈𝑦𝑦 2+𝑈𝑈𝑧𝑧 2))𝑑𝑑𝑈𝑈𝑥𝑥𝑑𝑑𝑈𝑈𝑦𝑦𝑑𝑑𝑈𝑈𝑧𝑧 ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ 0 = 3 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 微粒平均能量为： 𝐸𝐸 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 𝑁𝑁 𝐴𝐴∆𝑡𝑡 =2kT 容器内微粒的平均能量为： 𝐸𝐸� = 1 𝑛𝑛 � � � 𝑛𝑛𝑛𝑛( 1 2 𝑚𝑚(𝑈𝑈𝑥𝑥 2 + 𝑈𝑈𝑦𝑦 2+𝑈𝑈𝑧𝑧 2))𝑑𝑑𝑈𝑈𝑥𝑥𝑑𝑑𝑈𝑈𝑦𝑦𝑑𝑑𝑈𝑈𝑧𝑧 ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ 0 = 3 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 之所以逸出微粒所具有的平均能量大于容器内部微粒所具有的平均能量, 是因为具有更 大能量的微粒逸出的可能性更高。 习题二 假设有一雷纳德琼斯材料理想的面心立方体晶体，由N个原子组成，温度为0摄氏度。就雷 纳德琼斯参量而言,讨论： 1.晶体的总能量。 2.最近的相邻晶面间距的平衡常数 提示: 将任意原子(j)与给定原子(i)之间的距离表示为𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 =R𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 ,其中R表示最近的相邻 距离，同时： � 1 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 12 𝑗𝑗 = 12.13188 并且对于面心立方体晶体来说： � 1 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 6 𝑗𝑗 = 14.45392 2
解答： 我们将雷纳德琼斯所势表示为： w,zcl9）”-()门 由小在0温度时没有动能，于是我们得到总能量表达式如下： 对于面心立方体品格有： ∑0=12131m 且： =14.45392 注意，在面心立方体品体中，一个原子周田最近的原子有12个，所以由以上可很快总结出， 大部分的能量都是由最近的相第原了提供的。 R的平衡常数R,由下式计算出： d=0=-2Ne r12 dR 12(12.1318)g-6014.45392 6 =R,-109e 习题三 用简单的平均自由行程参数排导出稀等气体的热导系数的理想估计值。 在谋程的网页上你会找到蒙特卡洛直接莫拟准则，它用米表征剪切流的饬真实验以及 估计气休的速度，更成这个准测并且做仿真实验，它会帮助你计算出稀湾气体的热导系 数。把你顶估计的位与下式所得到的埋想值进行比较： 75k 64a 3
解答： 我们将雷纳德琼斯势表示为： Φ(𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 )=4𝜀𝜀 �� σ 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 � 12 − � σ 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖 � 6 � 由于在0温度时没有动能，于是我们得到总能量表达式如下： 𝑈𝑈𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 1 2 𝑁𝑁4𝜀𝜀 ��� σ 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑅𝑅 � 12 −�� σ 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑅𝑅 � 6 𝑗𝑗 𝑗𝑗 � 对于面心立方体晶体有： � 1 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 12 𝑗𝑗 = 12.13188 且： � 1 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 6 𝑗𝑗 = 14.45392 注意，在面心立方体晶体中，一个原子周围最近的原子有12个，所以由以上可很快总结出， 大部分的能量都是由最近的相邻原子提供的。 R的平衡常数𝑅𝑅𝑜𝑜由下式计算出： 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 = −2𝑁𝑁𝑁𝑁 �12(12.13188) 𝜎𝜎12 𝑅𝑅13 − 6(14.45392) 𝜎𝜎6 𝑅𝑅7� ⇒ 𝑅𝑅𝑜𝑜=1.09σ 习题三 用简单的平均自由行程参数推导出稀薄气体的热导系数的理想估计值。 在课程的网页上你会找到蒙特卡洛直接模拟准则，它用来表征剪切流的仿真实验以及 估计气体的速度。 更改这个准则并且做仿真实验，它会帮助你计算出稀薄气体的热导系 数。把你预估计的值与下式所得到的理想值进行比较： κ= 75𝑘𝑘 64𝜎𝜎2 �𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜋𝜋𝜋𝜋 3
解答： 假设在气体中有一个虚拟的曲面，且有与之重直的温度伤度。我」可以仙计出当热流通过 该曲面时，单位温度梯度下的热导系数。为得到热导系数的一个微算薇我们程设微粒由 左至右穿过曲面：这些谁粒平均起来从曲面左侧2处出发，到曲面内右侧2处存止，与 它们有关的平能量流为(0.5m),其中1代表这些徽粒的起始位置。同理，从有到左 穿过曲面的微粒的严均德量缝为n高(0.5m),所以有效能量流为gs0.5州碎- 是=0.5m8k/m]/2T2-T=0.5nm8k/m]3T21-T/T)。 很明最，如果T1=T2,便没有能量流。我门假设存在一个温度梯度使得工2=T1+△T。 那么 7欢 AT 70=(1+ 3a7,.3,dT 3=1+2开 =1十 2Tdx 所以热导系数为： -3 Bx 三一m dT/dx 4 N 习题四 当某一特征流的湍流长度尺度（川接近分子平均自由径(），经共的连续法不再适用。当 克努森数.-/1超过0D1(近似地》经典连续法不可靠。你可以假设空气a=3.5×101m 1.分析（质量上）为们么足这样。 2.计算在水平面高度，空气密度为P。=1.23K/m时人致的带流长度尺度. 3.假设空气密度随着海拔(h)的增大而降低的规补为P。=exp(-h),其中 g=1,3×10‘m1,倍在多尚的海拔时用连续法来计算航天飞机重返大气层时的 空气动力是不可靠的
解答： 假设在气体中有一个虚拟的曲面，且有与之垂直的温度梯度。我们可以估计出当热流通过 该曲面时，单位温度梯度下的热导系数。为得到热导系数的一个概算值,我们假设微粒由 左至右穿过曲面: 这些微粒平均起来从曲面左侧𝜆𝜆/2处出发，到曲面内右侧𝜆𝜆/2处停止。与 它们有关的平均能量流为n𝑐𝑐̅ 1(0.5𝑚𝑚𝑐𝑐̅ 2 2)，其中1代表这些微粒的起始位置。同理，从右到左 穿过曲面的微粒的平均能量流 为 n 𝑐𝑐̅ 2(0.5𝑚𝑚𝑐𝑐̅ 2 2) 。所以有效能量流为q ≈ 0.5nm( 𝑐𝑐̅ 1 3 − 𝑐𝑐̅ 2 3)=0.5nm[8𝑘𝑘/𝜋𝜋𝜋𝜋]3/2(𝑇𝑇1 3/2 − 𝑇𝑇2 3/2 )= 0.5nm[8𝑘𝑘/𝜋𝜋𝜋𝜋]3/2𝑇𝑇1 3/2 (1－𝑇𝑇2 3/2 /𝑇𝑇1 3/2 )。 很明显，如果𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2，便没有能量流。我们假设存在一个温度梯度使得𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇1 + ∆𝑇𝑇。 那么 𝑇𝑇2 3/2 𝑇𝑇1 3/2 = (1 + ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇1 )3/2 ≈ 1 + 3 2 ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇1 ≈ 1 + 3 2𝑇𝑇1 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 所以热导系数为： 𝜅𝜅 ≈ −𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3 4 𝑛𝑛𝑛𝑛�( 8𝑘𝑘 𝜋𝜋𝜋𝜋)3𝜆𝜆𝑇𝑇1 1/2 = 12𝑘𝑘 𝜋𝜋2𝜎𝜎2 �𝑘𝑘𝑇𝑇1 𝜋𝜋𝜋𝜋 习题四 当某一特征流的湍流长度尺度(H) 接近分子平均自由径(𝜆𝜆), 经典的连续法不再适用。当 克努森数𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝜆𝜆/H超过0.01(近似地)经典连续法不可靠。你可以假设空气𝜎𝜎 ≈3.5×10−10m 1.分析(质量上)为什么是这样。 2.计算在水平面高度，空气密度为𝜌𝜌𝑜𝑜 = 1.23Kg/m3时大致的湍流长度尺度。 3.假设空气密度随着海拔(h)的增大而降低的规律为𝜌𝜌/𝜌𝜌𝑜𝑜 = exp (−𝛼𝛼ℎ) , 其中 𝛼𝛼 = 1.3 × 10−4m−1，估计在多高的海拔时用连续法来计算航天飞机重返大气层时的 空气动力是不可靠的。 4
解答： 1.连续法失效是因为当特证流的湍流长度尺度大致与平均自由径相等时，质点运动并 因此微拉的传递不再具有扩散性。换句话说，菲克的扩散率，牛颠的剪应力定律和傅 里叶的热传导定律都不再证用 2.当大气乐d=0而0am,若婴K。001,我门需要7um. 3.我们假设航天飞机的特征流的湍流长度尺度为7m(翼端)，之后，若要K.=001,我 们雷要1s7×10“m。通过前面的计算和已知的实1xp1,我们总结出 p%0.0001p,以及h=hp./p)la70Km. 5
解答： 1.连续法失效是因为当特征流的湍流长度尺度大致与平均自由径相等时，质点运动并 因此微粒的传递不再具有扩散性。换句话说,菲克的扩散率，牛顿的剪应力定律和傅 里叶的热传导定律都不再适用。 2.当大气压𝜆𝜆 = 𝑚𝑚 √2𝜌𝜌𝜎𝜎2 ≈70nm，若要𝐾𝐾𝑛𝑛 ≈0.01，我们需要H≈7𝜇𝜇m。 3.我们假设航天飞机的特征流的湍流长度尺度为7cm(翼端)。之后，若要𝐾𝐾𝑛𝑛 ≈0.01，我 们需要𝜆𝜆 ≈7×10−4 m。通过前面的计算和已知的事实𝜆𝜆 ∝ 𝜌𝜌−1 , 我们总结出 𝜌𝜌 ≈ 0.0001𝜌𝜌𝑜𝑜以及h＝ln（𝜌𝜌𝑜𝑜 /𝜌𝜌）/𝛼𝛼 ≈70Km。 5