2.004动力学建模与控制Ⅱ 2003春季 习题8 第一题。三个质量相同的物体m在水平侧性杆上无摩擦地滑动，6个完全一样的弹性系数为 k的弹簧附在在物体上，如下面的草图所示。系统的自由泰荡通过三个自然振落模型和它们 的白然振荡频率来精述。 尖m 0000 Your problem is to identify as many natural modes and natural frequencies as possible. 你的任务是尽可能多地辨识出固有模型和固有频率。 第二题，扭转素动。一般来说电力传输设备的枫城结构可以认为是一个简单的轴。电机对转 轴的一瑞施加转距：，另一端将扭矩r传给推速器、机械工具，裂、发电机等。轴被扭矩 带动，国是如果累动器能保持转速山，电力传输能持线转动，转轴为T=。在理想情况 下扭矩和速度都是常数，是稳定的能流。事宾上是动器和被壑动设备的特性是在每次转动过 程中的能流有波动。澄成扭矩波动的最大因素之一是内部的内燃机，高速膨服的结果产生了 波动扭矩，这于稳定的正常扭矩相反。波动扭矩的结果是导致轴的旋转被动：扭转振动。 在这道题中，你需要研究由一个电动机通过物据动的泵所组成的一个具体系绕，它的抗扭州 度为 Glz K=T 其中G为剪切弹性模数，z为轴交叉区域的极点惯性矩，L为轴的长度。电机转子的质量 顺性矩为m,聚叶轮的质量惯性矩为，系统草图如下图1所示
2.004 动力学建模与控制 Ⅱ 2003 春季 习题 8 第一题。三个质量相同的物体 m 在水平刚性杆上无摩擦地滑动。6 个完全一样的弹性系数为 k 的弹簧附在在物体上，如下面的草图所示。系统的自由振荡通过三个自然振荡模型和它们 的自然振荡频率来描述。 你的任务是尽可能多地辨识出固有模型和固有频率。 第二题。扭转振动。一般来说电力传输设备的机械结构可以认为是一个简单的轴。电机对转 轴的一端施加转距τ ，另一端将扭矩τ 传给推进器、机械工具、泵、发电机等 。轴被扭矩 带动，但是如果驱动器能保持转速 ，电力传输能持续转动，转轴为 。在理想情况 下扭矩和速度都是常数，是稳定的能流。事实上驱动器和被驱动设备的特性是在每次转动过 程中的能流有波动。造成扭矩波动的最大因素之一是内部的内燃机。高速膨胀的结果产生了 波动扭矩，这于稳定的正常扭矩相反。波动扭矩的结果是导致轴的旋转波动：扭转振动。 在这道题中，你需要研究由一个电动机通过轴驱动的泵所组成的一个具体系统，它的抗扭刚 度为 其中 G 为剪切弹性模数， 为轴交叉区域的极点惯性矩，L 为轴的长度。电机转子的质量 惯性矩为 ，泵叶轮的质量惯性矩为 。系统草图如下图 1 所示 1
风 K 凶 回 图1：电机通过弹性轴影动泵 要求找出无阻尼系统的固有模型和国有颜率，以及在电机数据已知的条件下的受迫响应 Im 20 lb-in-sec2 e■40h-m-ac2 K=1.000,000im-b/md 电机和泵的转动角度分别为一和。 (a)在自由的，无阻力运动中求得广义坐标0m和的运动方程， (b)构造对于国有模型和固有频率的特征值付题， (©)求解特征值问题并且求得模型矩阵和固有顿率的平方的对角矩阵。 《d)当电机扭矩具有下面形式封 7m■%+ain 考虑系统的稳志响应， 其中时电机产生的平均扭矩常量，为电机平均转动速度常量。因为转子和定子之同的间 隙圆周空间的磁场的振动的大小是一个较小的交互扭矩的放大。找出角度8m和的稳 态响应。 (©)通过电机输送到聚的平均电能是什么？ (0 违接着马达和系的轴恰当地传输()顶测的电能。当系统被安装好时，有一定的早 期的废劳破坏。如果需要你考虑这个破坏，你能找出这问题的原因吗？， (g) 你能对这个间愿提出一个改进的办法吗？同时不需要对硬件做出较大的政变
图 1：电机通过弹性轴驱动泵 要求找出无阻尼系统的固有模型和固有频率，以及在电机数据已知的条件下的受迫响应 电机和泵的转动角度分别为 和 。 （a） 在自由的，无阻力运动中求得广义坐标 和 的运动方程。 （b） 构造对于固有模型和固有频率的特征值问题。 （c） 求解特征值问题并且求得模型矩阵和固有频率的平方的对角矩阵。 （d） 当电机扭矩具有下面形式时 考虑系统的稳态响应。 其中 时电机产生的平均扭矩常量， 为电机平均转动速度常量。因为转子和定子之间的间 隙圆周空间的磁场的振动 的大小是一个较小的交互扭矩的放大。找出角度 和 的稳 态响应。 （e） 通过电机输送到泵的平均电能是什么？ （f） 连接着马达和泵的轴恰当地传输（e）预测的电能。当系统被安装好时，有一定的早 期的疲劳破坏。如果需要你考虑这个破坏，你能找出这问题的原因吗？。 （g） 你能对这个问题提出一个改进的办法吗？同时不需要对硬件做出较大的改变。 2
第三题。起重机力学。如图所示的起重机用来把负霞从建筑工地的一个地点移动到另一个地 点。 ☒☒☒☒☒☒☒☒☒☒☒ 考虑木平的运输(L是常数)。由为摆动的影响，虽然起重机司机能控制滑车的速度a 但是负载的速度不是一定和滑车的速度一样，司机的主要任务是控制滑车的速度性得负霞在 移动中平稳并且快速地到达目的地而不会以太大的角度来回摆动， (a》使用角皮0作为广义坐标，得到输入rg(的响应0)的线性化运动方程. (b)得到一个美于负我速度们对滑车迷度✉r()的微分方程. (c)找到从滑车速度mm,(s到角度风&的传逸函数。 (d)我到从滑车速度r(到负载速度md(的传遥函数。 负载速度的期望时间图如下图所示，这里只有一个很短的启动时间T,之后负载的速度慢慢 加速到V%在这个阶段开始滑车和负霞都以速度V6,角度日为0，然后是短暂的结束时间， 负载的速度平稳地减速到0，同时滑车和负载也逐渐静止，角度为0=0 Start Stop
第三题。起重机力学。如图所示的起重机用来把负载从建筑工地的一个地点移动到另一个地 点。 考虑水平的运输（L 是常数）。由为摆动的影响，虽然起重机司机能控制滑车的速度 但是负载的速度不是一定和滑车的速度一样。司机的主要任务是控制滑车的速度使得负载在 移动中平稳并且快速地到达目的地而不会以太大的角度来回摆动。 （a） 使用角度 作为广义坐标，得到输入 的响应 的线性化运动方程。 （b） 得到一个关于负载速度 对滑车速度 的微分方程。 （c） 找到从滑车速度 到角度 的传递函数。 （d） 找到从滑车速度 到负载速度 的传递函数。 负载速度的期望时间图如下图所示。这里只有一个很短的启动时间 T，之后负载的速度慢慢 加速到 。在这个阶段开始滑车和负载都以速度 ，角度θ 为 0。然后是短暂的结束时间， 负载的速度平稳地减速到 0，同时滑车和负载也逐渐静止，角度为θ = 0 3
在开始阶段，负载速度的数学表达为 如果【的原点是在开始阶爱的起点，那么在结束阶段负载速度的数学表达式为 (c) 如果【的原点是结束阶段的起点，那么为了得到定量的结果。取同隔T为 (e) 求出滑车速度的时间由线，要求得出开如时间阶段的负载速度。面出草图比较开始 阶段滑车速度和负霞速度， (D 求出滑车速度的时间自线，要求得出结来时闻阶段的负载速度。面出草图比较开始 阶段滑车速度和负线速度。 (g)求出开始和结束阶段的的时间由线。画出在开始和结束阶段的时间曲线
在开始阶段，负载速度的数学表达为 如果 t 的原点是在开始阶段的起点，那么在结束阶段负载速度的数学表达式为 如果 t 的原点是结束阶段的起点，那么为了得到定量的结果，取间隔 T 为 （e） 求出滑车速度的时间曲线，要求得出开始时间阶段的负载速度。画出草图比较开始 阶段滑车速度和负载速度。 （f） 求出滑车速度的时间曲线，要求得出结束时间阶段的负载速度。画出草图比较开始 阶段滑车速度和负载速度。 （g） 求出开始和结束阶段的 的时间曲线，画出在开始和结束阶段 的时间曲线。 4