问题集7的解 到期：星期一下午9点，4月4日 问题1每个函数有这些属性的某个子集： 单射满射双射 列定以下函数，简如解释你的推理。 a)函数f:R→R被x)=e定文。 解：这个函数是单射的。因为对于每个x的每个实数值都得一个非负实数值。然而，函 数不是满则的，因为©不会是负值。因此，函数也不是观射的。 b)函数fRR被x)=e定义. 解：函数©对每个×取非负值，因此它是单射、满射和双射的： ()函数ER→R被定文x)=伐+1风x-。 解：这个函数是满射的，因为它是连续的，它趋于+，对于大正数x来说，且对于大负 数而言。区城-©。因此，函数取一个实数值对至少一个x:然而。这个函数不是单射的， 因为它在x1,x0且x】的时候取0。因此，函数也不是双射的， (令S是有20-比特序列的集合，令T是所有的10比特序列的集合，令FS→T肤射每 个20-比特序列到它的前面10个比特。例如： f11110110101101010010)=1111011010 解：这个场数是满射的，因为序列b1babe被陕射到bb2b1ol0.0。然面。这个函数不是单 射的，因为这个序列也映射到bb2b111。结果是，这个函数也不是双射的。 问题2在书架上有20本书安排为一行， ()描述一个从这些书中选择6本书的方式。以便没有两个相邻的书核远中，且15比特的 序列恰好有6个1。 解：存在一个从恰好有6个1的15比特序列到有效书的适择的双射：给出这样的序列，骏 射每个0到意选邦书：每个前面5个1到选择的书紧接着是一本非选择的书，且最后一个1 到一个选择的书。例如这里是一个书和其对应的二值序列的配置： 这择的书是黑色的，注意前面的5个！按照顺序肤射为透择的书和一个非选择的书确保二值 序列映射为一个有效的书的选择。 b)有多少种方式选择6本书，以便浪有两本相邻的书是俊选择的？ 解：通过双射规则，这个等于恰好有6个1的15比特序列的个数，由B0kK规则得 其等于： PDF文件使用“pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
问题集 7 的解 到期：星期一下午 9 点，4 月 4 日 问题 1 每个函数有这些属性的某个子集： 单射 满射 双射 判定以下函数，简短解释你的推理。 (a) 函数 f : Rà R 被 f(x) = e x定义。 解：这个函数是单射的，因为 e x对于每个 x 的每个实数值都得一个非负实数值。然而，函 数不是满射的，因为 e x不会是负值。因此，函数也不是双射的。 (b) 函数 f:RàR + 被 f(x) = e x定义。 解：函数 e x对每个 x 取非负值，因此它是单射、满射和双射的。 (c) 函数 f: RàR 被定义 f(x) = (x + 1)x(x-1)。 解：这个函数是满射的，因为它是连续的，它趋于 +∞，对于大正数 x 来说，且对于大负 数而言，区域-∞。因此，函数取一个实数值对至少一个 x。然而，这个函数不是单射的， 因为它在 x= -1，x=0 且 x=1 的时候取 0。因此，函数也不是双射的。 (d) 令 S 是有 20-比特序列的集合。令 T 是所有的 10-比特序列的集合。令 f: SàT 映射每 个 20-比特序列到它的前面 10 个比特。例如： 解：这个函数是满射的，因为序列 b1b2…b10被映射到 b1b2..b1010..0。然而，这个函数不是单 射的，因为这个序列也映射到 b1b2…b1011..1。结果是，这个函数也不是双射的。 问题 2 在书架上有 20 本书安排为一行。 (a) 描述一个从这些书中选择 6 本书的方式，以便没有两个相邻的书被选中，且 15 比特的 序列恰好有 6 个 1。 解：存在一个从恰好有 6 个 1 的 15 比特序列到有效书的选择的双射：给出这样的序列，映 射每个 0 到非选择书；每个前面 5 个 1 到选择的书紧接着是一本非选择的书，且最后一个 1 到一个选择的书。例如这里是一个书和其对应的二值序列的配置： 选择的书是黑色的。注意前面的 5 个 1 按照顺序映射为选择的书和一个非选择的书确保二值 序列映射为一个有效的书的选择。 (b) 有多少种方式选择 6 本书，以便没有两本相邻的书是被选择的？ 解：通过双射规则，这个等于恰好有 6 个 1 的 15 比特序列的个数，由 BookKeeper 规则得 其等于： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
151 15 619! 6 问题3回答以下门避，提供简短证明。不是每个问愿能用一个简单得公式被这邦，你也许 必须透入情况分析，明确列举域者其他的方法， 你也许在你的公式中面下了阶乘和二项式系数。 ()在流行19世纪80年代的乐队BANANA我AMA中的字母能被安排多少种不同的方式？ 解：由5个A,2个N,1个B,1个R一个M.因此，通过Bookkeeper规则得到总的安 排的数日是： 101 52!1!1!11 从点(00,0)到(1224,36)由多少不同的路径。知果每步争价一个坐标，且另外两个没有 变化？ 解：这个是所有这种路径的集合到包括12个X,24个Y,和36个Z的字符串的集合。特 别的我们通过从右到左的字符串。一个X对应于第一个坐标的增加，一个Y增加第二个坚 标，一个Z增如第三个。这些字符申的个数是： 721 1224!361 因此，这就是路径的个数。 ()2n个学生有多少种不同的方式米分对？ 解：通过以下的过程分队学生。排列学生，把第一和第二个推断，然后是第三和第四，第五 和第六，等等。学生能够线性到(2个不月的方式。然而，这个通过2”的因子数目上◆因 为我们得到月样的对，如果第一和迪格个学生交换，第三和第四个学生交换等等。进一步说， 我门仍然在数目上鼓的因子超过，因为我们讲得到同样的对，即使假设学生对是序列成 变的，等等。第一个和第二个和第九个和第十个交换。因此，对的个数是： (2n)1 2n.n! (在自然书上，有多少个不同的解是亨于以下方程的： x1+x2+x3+..+x8=100 一个解每个变量x的值的特值。两个解是不同的，如果对于某个变量x的赋予的值是不同 的. 解：存在一个在包括100个零和7个1的序列之间的双射，特别的。了个1把0分成8个片 段。令名是在第个片段中的零的个数。因此，解的个数是： PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
问题 3 回答以下问题，提供简短证明。不是每个问题能用一个简单得公式被选择；你也许 必须进入情况分析，明确列举或者其他的方法。 你也许在你的公式中留下了阶乘和二项式系数。 (a) 在流行 19 世纪 80 年代的乐队 BANANARAMA 中的字母能被安排多少种不同的方式？ 解：由 5 个 A，2 个 N，1 个 B， 1 个 R 一个 M。因此，通过 Bookkeeper 规则得到总的安 排的数目是： (b) 从点(0,0,0)到点(12,24,36)由多少不同的路径，如果每步争价一个坐标，且另外两个没有 变化？ 解：这个是所有这种路径的集合到包括 12 个 X，24 个 Y，和 36 个 Z 的字符串的集合。特 别的我们通过从右到左的字符串。一个 X 对应于第一个坐标的增加，一个 Y 增加第二个坐 标，一个 Z 增加第三个。这些字符串的个数是： 因此，这就是路径的个数。 (c) 2n 个学生有多少种不同的方式来分对？ 解：通过以下的过程分队学生。排列学生，把第一和第二个排断，然后是第三和第四，第五 和第六，等等。学生能够线性到(2n)!个不同的方式。然而，这个通过 2 n 的因子数目上。因 为我们得到同样的对，如果第一和迪格个学生交换，第三和第四个学生交换等等。进一步说， 我们仍然在数目上被 n!的因子超过，因为我们讲得到同样的对，即使假设学生对是序列改 变的，等等。第一个和第二个和第九个和第十个交换。因此，对的个数是： (d) 在自然书上，有多少个不同的解是等于以下方程的： 一个解每个变量 xi 的值的特值。两个解是不同的，如果对于某个变量 xi 的赋予的值是不同 的。 解：存在一个在包括 100 个零和 7 个 1 的序列之间的双射。特别的，7 个 1 把 0 分成 8 个片 段。令 xi是在第 i 个片段中的零的个数。因此，解的个数是： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
100+7 7 (©)有多少中不同的方式，可以从2知个物体中选择n个物体，给出2如中的有n个物体是相 同的，其余的n个是不同的T 解：我们能按照知下方式选择个物体，首先，这择不月的树象的子集。然后这择许多相同 元素香要是的总数大袄第一步能被在”种方式种完成，第二步能仅在1步种完成。因此， 存在”个方式速择n个对象。 (田项点V￥，有多少个无向图。如果自图是允许的？ n 解：存在（②）】十刀个潜在的边，它们中的每个色许或者也许不能出现在给出的图中。 因此，图的个数是： 2()+n ()有多少种方式使得10个不同的球能被放入到4个不同的盒子种，以便每个盒子获得1， 2,3暖4个球？ 解：首光，我们也许把】个球放入每个盒子中。现在的月题是把剩余的6个球放入到4个盒 子中以便没有盒子能获得短过3个球。现在我们回到情况分析。例如。我们能放置3个球到 4 两个盒子中，且0个球到其他的两个盒子中。存在22=6 方式来完成这个。所有的 情况列举如下： distribution of balls of ways 3.3.0,0 4 =6 3.2,1,0 T=24 3,1,1,1 3I=4 2,2,2,0 刀=4 4 2,2,1,1 212=6 因此，存在6+24+4+4+644中方式. 在一行中有15个人行道方块。假设一个球能被抛出，以致于它能瑞在0,1,2或3不 同的人行道方块上，假设每个球总是从左边移动到右边。多少个不同的扔法是可能的。 作为例子，一个2个跳的扔法在以下说明。 PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.finsprint,cn
(e) 有多少中不同的方式，可以从 2n 个物体中选择 n 个物体，给出 2n 中的有 n 个物体是相 同的，其余的 n 个是不同的？ 解：我们能按照如下方式选择 n 个物体。首先，选择不同的对象的子集。然后选择许多相同 元素需要是的总数大袄 n。第一步能被在 2 n种方式种完成，第二步能仅在 1 步种完成。因此， 存在 2 n个方式选择 n 个对象。 (f) 顶点 v1,v2,…,vn有多少个无向图，如果自圈是允许的？ 解：存在 个潜在的边，它们中的每个也许或者也许不能出现在给出的图中。 因此，图的个数是： (g) 有多少种方式使得 10 个不同的球能被放入到 4 个不同的盒子种，以便每个盒子获得 1， 2，3 或 4 个球？ 解：首先，我们也许把 1 个球放入每个盒子中。现在的问题是把剩余的 6 个球放入到 4 个盒 子中以便没有盒子能获得超过 3 个球。现在我们回到情况分析。例如，我们能放置 3 个球到 两个盒子中，且 0 个球到其他的两个盒子中。存在 方式来完成这个。所有的 情况列举如下： 因此，存在 6+24+4+4+6=44 中方式。 (h) 在一行中有 15 个人行道方块。假设一个球能被抛出，以致于它能蹦在 0，1，2 或 3 不 同的人行道方块上。假设每个球总是从左边移动到右边。多少个不同的扔法是可能的。 作为例子，一个 2 个跳的扔法在以下说明。 解： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
15+ ）+( 3 ()有多少种不同的方式能使得在红色的骰子，绿色的餐子，和蓝色的酸子上的数字的总和 是15？假段这些餐子是评通的6面酸子 解：我们回到明了的列举法。令R。G,和B是在三个酸子上暴示的数值： R=1,B+G=14-0ways R=2.B+G=13- 0 ways R=3,B+G=12-1way R=4,B+G=11- 2 ways R=5.B+G=10-3ways R=6,B+G=9-4ways 0)在下一年的工作日能被列举为1,2,3，.，300。我最好尽可能地进避。 ·在偶数天，我将说我病了。 ·在3的倍数的天。我将在交通中堵上了， ·在5的倍数的天，我将鞋绝从子下出来。 总共，在末案的年中，我将选霆有多少天？ 解：令D:是偶数天集合，D,是3的倍数，D:是5的倍数。我能速避的天的集合是D:UD UD,通过容斥原理，这个集合的大小是： D:UDsUD=D2+Dal+D -D0D-D:0D:-D30Dl +D:ODnD: 300.300300300 300300 300 = 2+3+5-23-25-35+235 =220 问题4使用的果原理来求解以下问题 回正明在X方格中的任何1点中必然存在再个点，北距离最多是√瓦. 解：把n×n分为n单位方块。n+1点中的每个点在一个这些单位方格中，（如果 个点在两个方格的边界上，那么任意把这个点赋予一个方格，》因此，通过鹤果原理，存在 两个点在同样的方格单元中，且这两点的距离最多是√2. )6种不同的显形软糖放在5个罐子种。每种风味有11个显形软糖。正明某个罐子中包局 PDF文件使用“pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
(i) 有多少种不同的方式能使得在红色的骰子、绿色的骰子、和蓝色的骰子上的数字的总和 是 15？假设这些骰子是普通的 6 面骰子。 解：我们回到明了的列举法。令 R，G，和 B 是在三个骰子上显示的数值。 (j) 在下一年的工作日能被列举为 1，2，3，…，300。我最好尽可能地逃避。 l 在偶数天，我将说我病了。 l 在 3 的倍数的天，我将在交通中堵上了。 l 在 5 的倍数的天，我将拒绝从毯子下出来。 总共，在未来的年中，我将逃避有多少天？ 解：令 D2是偶数天集合，D3是 3 的倍数，D5是 5 的倍数。我能逃避的天的集合是 D2 ∪ D3 ∪ D5。通过容斥原理，这个集合的大小是： 问题 4 使用鸽巢原理来求解以下问题。 (a) 证明在 n×n 方格中的任何 n 2 +1 点中必然存在两个点，其距离最多是 解：把 n × n 分为 n 2 单位方块。n 2 +1 点中的每个点在一个这些 n 2 单位方格中。（如果一 个点在两个方格的边界上，那么任意把这个点赋予一个方格。）因此，通过鸽巢原理，存在 两个点在同样的方格单元中。且这两点的距离最多是 (b) 6 种不同的豆形软糖放在 5 个罐子种。每种风味有 11 个豆形软糖。证明某个罐子中包括 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
至少3个一种风味的豆形软糖，且至少3个其他风味的豆形载需： 解：我们使用修果原理两次，低然存在11个给定风味的豆形软糖。只存在5个罐子。某个 暖子必须至少有111/5[=3个那件风味的豆子。低然存在6种风味和5个罐子，装 个罐子种必煜有两对同样口味的豆子。 (心)任明在30个整数的每个集合种，存在两个的差或着和是5引的倍数。 解：考忠30个整数为的子。认为26个集合0,1,501,2,49，，2526)是的子。映射 整数n到包括nem51的集合。通过鸽巢原理，某两个鸣子（整数a和b)技映射到同样 的鸽更中。因此，或者： am51=bem51,因此a和b的差是51的倍数。 Aem5引+brem5】或者是0或者是51，因此a和b的和是51的倍数。 闻题5一个平衡的括号字符串是一个序列。其左括号和右括号是： 左括号和右括号的数目是相等的】 左括号的个数大于等于右括号的个数，在每个的缓中。 例知： Balanced Not Balanced (0) KO more left than right 0(0) 0)0( fewer left than right in prefix ( 令Cn是右2n个括号的平衡的括号字符串.Ca,C,C,是Catalan数学，这出现一打不同 的计数问题。这里是前面的几个Cn数字： n|012345678910 1112 C.11251442132429143048621679658786208012 a通过列举所有的右至多6个括号的平衡括号字符串验证前面的4个入口。（不要忘记空 字符串)， 解：这里是所有的右6个括号的平衡字符串： empty 0 (00 (0 (0(0) (00 (00) (0) (000 因此，Ce=1,C=1,C=2和C3=5,正如表中声明的一样。 PF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint,n
至少 3 个一种风味的豆形软糖，且至少 3 个其他风味的豆形软糖。 解：我们使用鸽巢原理两次。既然存在 11 个给定风味的豆形软糖，只存在 5 个罐子，某个 罐子必须至少有 个那种风味的豆子。既然存在 6 种风味和 5 个罐子，某 个罐子种必然有两对同样口味的豆子。 (c) 证明在 30 个整数的每个集合种，存在两个的差或者和是 51 的倍数。 解：考虑 30 个整数为鸽子。认为 26 个集合{0}，{1,50}，{2,49}，…,{25,26}是鸽子。映射 整数 n 到包括 n rem 51 的集合。通过鸽巢原理，某两个鸽子（整数 a 和 b）被映射到同样 的鸽巢中。因此，或者： a rem 51 = b rem 51，因此 a 和 b 的差是 51 的倍数。 A rem 51 + b rem 51 或者是 0 或者是 51，因此 a 和 b 的和是 51 的倍数。 问题 5 一个平衡的括号字符串是一个序列，其左括号和右括号是： 左括号和右括号的数目是相等的； 左括号的个数大于等于右括号的个数，在每个前缀中。 例如： 令 Cn是右 2n 个括号的平衡的括号字符串。C0,C1，C2，…是 Catalan 数字，这出现一打不同 的计数问题。这里是前面的几个 Catalan 数字： (a) 通过列举所有的右至多 6 个括号的平衡括号字符串验证前面的 4 个入口。（不要忘记空 字符串）。 解：这里是所有的右 6 个括号的平衡字符串： 因此，C0 = 1, C1 = 1，C2= 2 和 C3 = 5，正如表中声明的一样。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
b)从0.O到nn的路径包括向上和向右的步靠是安全的。如果它部能穿越Flaming Chasm of Hideous Death对角边界. Faming Flaming Chasm of hm对 Iideon Ilideous Death Death A Sate Path An Unsate Patth 说明存在恰好一个，个安全的路径，通过描述平衡括号字符串的双射： ()许多计算几何算法，通过分解多边形到有月样顶点的三角形。侧如，这里是一些可能五 边形的三角形。 说明通过描述从三角形到平衡括号字符串的双射有C,个不同的方式来三角化，这个问题是 富有挑战性的：询月你的A如果你遇到困难，) 解：注意到每个非空平衡的括号字符串有形式（αB,因为前面的字符必须是（且必须有一 个)与之对应。因此每个平衡括号字符串能鼓分解为两个更小的字符串日和B。我们将使 用这个事实来遥推地爽射一个平衡的括号学符串到一个三角形。 假设我们有一个没有分解为三角形的+2)五变形和一个平衡括号学符串(@B,我们必须味射 括号字符串到三角形。 选择两个连续的顶点x利和y,表示剩余的顶点。1：它必须是a包括」对个括号和B包 括剩余的n)可寸对，对于某个在0到n1之间的j:使用项点x,y和写画出三角形. P诉文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint,cn
(b) 从(0,0)到(n,n)的路径包括向上和向右的步骤是安全的，如果它部能穿越 Flaming Chasm of Hideous Death 对角边界。 说明存在恰好一个 Cn个安全的路径，通过描述平衡括号字符串的双射。 (c) 许多计算几何算法，通过分解多边形到有同样顶点的三角形。例如，这里是一些可能五 边形的三角形。 说明通过描述从三角形到平衡括号字符串的双射有 Cn 个不同的方式来三角化。这个问题是 富有挑战性的；询问你的 TA 如果你遇到困难。） 解：注意到每个非空平衡的括号字符串有形式(α)β，因为前面的字符必须是（ 且必须有一 个 ）与之对应。因此每个平衡括号字符串能被分解为两个更小的字符串 α 和 β。我们将使 用这个事实来递推地映射一个平衡的括号字符串到一个三角形。 假设我们有一个没有分解为三角形的(n+2)五变形和一个平衡括号字符串(α)β。我们必须映射 括号字符串到三角形。 选择两个连续的顶点 x 和 y，表示剩余的顶点 v0,..,vn-1。它必须是 α 包括 j 对个括号和 β 包 括剩余的(n-1) –j 对，对于某个在 0 到 n-1 之间的 j。使用顶点 x，y 和 vj 画出三角形。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
VA V 40 1 X 这个三角形把多边形分成心+2边和一个n十1)多边形。使用平衡括号字符串ā和B递归地 三角化这些多边形。（令x和y充当在一侧的三角化中的x和y的角色，且令与和y充当在 另一侧的x和y的角色。) 间题6一个错位是一个集合1,2…时的排列x1xx}以至于x+i,对于所有的i: 例知，(2345,1)是一个错位，但是2,1,35.4)不是，因为3出现在第三个位置上，这个问题 的目标是计数错位。 ()让我们首先在计数在{1,2n上的没有错位的计数上工作，令S,是排列x总x的堡 合。以便无一。使用容斥公式表达非错位的个数，根据集合S,…S的交集的大小。 解： ∑18l-∑18ns+∑18n9nS-…±Snsn..n8l 6.1.R 在每个和中，下标是1…中的不同的元素。 )S是多少？ 解：存在1在在第1个位置中的12时上的排列和2，…时-的没有限制的组合的双射. 因此，=(o) e IS.nsjl 是什么。这里ij 解：集合s门S包括所有的i在第i个位置j在第j个位置的排列。因此，存在一个 12n-j月的排列，因此SnS|=m-2)! PDF文件使用“pdfFactory Pro”试用版本创建fineprint.cn
这个三角形把多边形分成(j+2)-边和一个(n-j+1)多边形。使用平衡括号字符串α和 β 递归地 三角化这些多边形。 (令 x 和 vj充当在一侧的三角化中的 x 和 y 的角色，且令 vj和 y 充当在 另一侧的 x 和 y 的角色。) 问题 6 一个错位是一个集合{1,2,…,n}的排列(x1,x2,…,xn) 以至于 xi ≠ i，对于所有的 i。 例如，(2,3,4,5,1)是一个错位，但是 (2,1,3,5,4)不是，因为 3 出现在第三个位置上。这个问题 的目标是计数错位。 (a) 让我们首先在计数在{1,2,…n}上的没有错位的计数上工作。令 Si是排列(x1,x2,…,xn)的集 合。以便 xi = i。使用容斥公式表达非错位的个数，根据集合 S1，…,Sn的交集的大小。 解： 在每个和中，下标是{1,…,n}中的不同的元素。 (b) |Si |是多少？ 解：存在 i 在在第 i 个位置中的{1,2,…n}上的排列和{1,2,…,n} –i 的没有限制的组合的双射。 因此，|Si | ＝ (n-1)！。 (c) 是什么，这里 i ≠j。 解：集合 Si∩ Sj 包括所有的 i 在第 i 个位置 j 在第 j 个位置的排列。因此，存在一个 {1,2,…n}-{I,j}的排列，因此 |Si∩ Sj | = (n -2 )！ PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
d ISa nSian...nSl 是什么？这里各不相同。 解：有同样的证明得。(-k (e)在部分a中有多少嘎有形式 ISanSn...nSl 解：在个元素得集合中对于每个长元素得自已有一个这样得项。四此。有（风）这样的现 (价结合你的回到到前面的部分，来得到一个对于幸错位数字的表达式。 解： ∑1Sl-∑I8ns+∑8n8ns-±lS,n8n..ns . =(）--(（a-2+( =任-是+方 + (现在给出一个对情位数字的表达式。 解： .1 … 1 当变为无限的时候，这个表达式区城一个所有排列的常数分数，这个常熟是什么？国 忆： e2=1+x+ 2+ 3! 解： 1/e. Pf文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint,n
(d) 是什么？这里 i1,i2,…,ik各不相同。 解：有同样的证明得， (n-k)!. (e) 在部分(a)中有多少项有形式 ？ 解：在 n 个元素得集合中对于每个 k 元素得自己有一个这样得项。因此，有 这样的项。 (f) 结合你的回到到前面的部分，来得到一个对于非错位数字的表达式。 解： (g) 现在给出一个对错位数字的表达式。 解： (h) 当 n 变为无限的时候，这个表达式区域一个所有排列的常数分数。这个常熟是什么？回 忆： 解： 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn