《宏观经济学》第9章习题张延录入 第9章习题 (课后习题都录入了,按照要求做!) 11、考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济,为了简单,假定无技术进步。现 在假定人口增长率下降。 (a)处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均 消费将发生什么变化?画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 (b)说明人口增长率下降对产量路径(总产量,而非每工人平均产量)的影响。 12、假定生产函数为柯布一道格拉斯函数 (a将ky*和c*表示为模型的参数s、n、d、g和a的函数。 (b)k黄金律值是多少? (c)为得到黄金律资本存量,所需的储蓄率是多少? 13、考虑不变替代弹性(CES)生产函数,Y=/Kom+4)oq叫,其中0k 00,∫"()<0? (d在什么条件下该密集形式满足稻田条件? 14、若一经济中有技术进步但无人口增长,且处于平衡增长路径上。现在假定 工人数有一次性上升。 (a)在上升之时,每单位有效劳动的平均产量是上升、下降,还是不变?为 共5页,第1页
《宏观经济学》第 9 章习题 张 延 录 入 共 5 页，第 1 页。 第 9 章习题 （课后习题都录入了，按照要求做！） 1.1、考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现 在假定人口增长率下降。 (a)处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均 消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 (b)说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响。 1.2、假定生产函数为柯布—道格拉斯函数。 (a)将k*、y* 和 c* 表示为模型的参数s 、n、δ、g 和 a 的函数。 (b) k黄金律值是多少？ (c)为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？ 1.3、考虑不变替代弹性(CES)生产函数，Y = [ K(σ-1)/σ + (AL) (σ-1) /σ ] σ/(σ-1) ，其中0 0 , f″(·) < 0 ? (d)在什么条件下该密集形式满足稻田条件？ 1.4、若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。现在假定 工人数有一次性上升。 (a)在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为
《宏观经济学》第9章习题张延录入 什么? (b)当新工人出现,在每单位有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后, 每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化?如果会,是上升还是下降?为 什么? (c)一旦经济重新回到一平衡增长路径,每单位有效劳动的平均产量是高于、 低于还是等于新工人出现前的水平?为什么? 1.5、求平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产量y对人口增长率n的弹性。如 果a(k)=13,g=2%,6=3%,则当n从%降至1%时,y*上升多少? 16、假定尽管存在政治障碍,美国还是永久性地将其预算赤字从GDP的3%降至 0。假定开始时s=015,且投资的上升量正好等于赤字的下降量。假定资本的收 入份额为1/3。 (a)与赤字不下降的情形相比,产量最终将上升大约多少? (b与赤字不下降的情形相比,消费将上升多少? (c)赤字下降对消费的最初影响是什么?若要消费回到赤字不下降时的水 平,约需多长时间? 17、索洛模型中的要素收入。假定对资本和劳动均按其边际产品支付报酬, 用w表示aF(K,A/a,r表示OK,A/。 (a)证明:劳动的边际产品w为4f(k)-kf(k (b证明:如果劳动和资本均按其边际产品取得报酬,规模报酬不变意味着: 生产要素总收入等于总产量。即在规模报酬不变的情形下,w+r=F(K AL)o (c)卡尔多(196年)列出的另外两个关于增长的特征事实是:资本报酬率r 近似不变;产量中分配向资本和劳动的比例也各自大致不变。处于平衡增长路 径上的索洛经济是否表现出这些性质?在平衡增长路径上,w和r的增长率是多 共5页,第2页
《宏观经济学》第 9 章习题 张 延 录 入 共 5 页，第 2 页。 什么？ (b)当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后， 每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？为 什么？ (c)一旦经济重新回到一平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、 低于还是等于新工人出现前的水平？为什么？ 1.5、求平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产量y*对人口增长率n的弹性。如 果 aK(k* ) = 1/3 , g = 2% ,δ= 3%, 则当n从2%降至1%时，y*上升多少？ 1.6、假定尽管存在政治障碍，美国还是永久性地将其预算赤字从GDP的3%降至 0。假定开始时s = 0.15，且投资的上升量正好等于赤字的下降量。假定资本的收 入份额为1/3。 (a)与赤字不下降的情形相比，产量最终将上升大约多少？ (b)与赤字不下降的情形相比，消费将上升多少？ (c)赤字下降对消费的最初影响是什么？若要消费回到赤字不下降时的水 平，约需多长时间？ 1.7、索洛模型中的要素收入。假定对资本和劳动均按其边际产品支付报酬， 用w表示∂F( K，AL)／∂L，r表示∂F( K，AL)／∂K。 (a)证明：劳动的边际产品w为A[ f(k)－ k f′(k)]。 (b)证明：如果劳动和资本均按其边际产品取得报酬，规模报酬不变意味着： 生产要素总收入等于总产量。即在规模报酬不变的情形下，wL + rK ＝ F(K， AL)。 (c)卡尔多（1961年）列出的另外两个关于增长的特征事实是：资本报酬率r 近似不变；产量中分配向资本和劳动的比例也各自大致不变。处于平衡增长路 径上的索洛经济是否表现出这些性质？在平衡增长路径上，w和r的增长率是多
《宏观经济学》第9章习题张延录入 少? d)假定经济开始时,k0,B>0,且a+B<1 生产要素按照:K(=s刊-6K1),A(=g4(0),L(0=nL()和R(= 0变动。 共5页,第3页
《宏观经济学》第 9 章习题 张 延 录 入 共 5 页，第 3 页。 少？ (d)假定经济开始时，k ＜ k* 。随着k移向k* ，w 的增长率高于、低于还 是等于其在平衡增长路径上的增长率？对r 来说，结果又是什么呢？ 1.8、假定与 1.7 一样，资本和劳动被付以其边际产品。另外，假定所有资本收 入被储蓄，所有劳动收入被消费。这样，K˙ (t) = [ ∂F( K，AL)／∂K]K-δK(t) (a)证明：这一经济收敛于一平衡增长路径。 (b)处于该平衡增长路径上的 k 是大于、小于还是等于 k 的黄金律水平？如 何直观地理解这一结果？ 1.9、哈罗德 — 多马模型。假定生产函数为里昂惕夫函数： Y(t) = min[cK K(t)，cL e gt L(t)]，其中 cK、cL 和 g 均为正。与索洛模型一 样，L˙ (t) = n L(t)，K˙ (t) = s Y(t) -δK(t)。最后，假定 cK K(0) = cL L(0)。 (a)在什么条件下，对于所有 t，有 cK K(t) = cL e gt L(t)？如果 cK 、cL、g、s、 δ和 n 由不同因素决定，有无理由期望这一条件成立？ (b)如果 cL e gt L(t) 的增长快于 cK K(t) 的增长(且如果将过剩劳动力算作失 业)，那么失业率随时间的变动将受到什么样的影响？ (c)如果 cK K(t) 的增长快于 cL e gt L(t) 的增长(且如果将过剩资本算作未被 利用)，那么资本存量中被利用部分所占比例随时间的变动将受到什么影响？ 1.10、可持续增长问题。从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素(其 中土地和自然资源最受重视)的供给是有限的，最终必然将使经济增长停滞 下来。本题要求你在索洛模型的框架下探讨这一观点。设生产函数为： Y = Kα (AL) β R1-α-β ，其中 R 为土地数量。假定：α＞ 0，β＞ 0，且α+β＜ 1， 生产要素按照：K˙ (t)= s Y(t)－δK(t)，A˙ (t)= g A(t)， L˙ (t)= n L(t) 和 R˙ (t)= 0 变动
《宏观经济学》第9章习题张延录入 (a)该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径?也就是说,该经济是否收 敛于这样一种情形:Y、K、L、A和R均以不变但不必相同的速率增长 如果是这样,其增长率各为多少?若非如此,为什么? (b)根据你的答案,土地存量不变,这一事实是否意味着:持续增长是不 可能的?请加以解释。 1.11技术进步的体现。(来自索洛,1960年,萨托,1966年)关于技术进 步的一个观点是,t时建造的资本品,其生产率决定于t时的技术状态,且不受 随后的技术进步的影响。这被称作被体现的技术进步(技术进步在提高产量之 前必须被体现于新资本品之中)。本题请你探讨其影响。 (a)作为第一步,我们修改基本索洛模型,以使技术进步为资本增进型,而 非劳动增进型。为使一平衡增长路径存在,假定生产函数为柯布一道格拉斯生 产函数:Y(=K(A(rL()4,假定A的增长率为u:A()=u4(),证 明该经济收敛于—平衡增长路径,并求出平衡增长路径上Y和K的增长率。(提 示:我们可把Y/A)写为K/(A4L)的一个函数,其中φ=a/(1-a)。然后 分析K/(AL)的动态学。) (b)现在考虑被体现的技术进步。令生产函数为Y=0°L(0,其中 为有效资本存量。J的动态学由J(=sA()Y(0)-(0)给定,此表达式中A( 项的出现意味着t时投资的生产率取决于t时的技术。证明这一经济收敛于一平 衡增长路径。在此平衡增长路径上Y和J的增长率是多少?(提示:令J(= J/4()。然后用(a)问的方法,着重考虑J/(A4D)而非K/(A)。) (c)平衡增长路径上产量对s的弹性是多少? (d)在平衡增长路径的邻近,经济向平衡增长路径收敛得有多快? (e)将从(c)和(d)问中所得结果跟基本索洛模型中的相应结果作一对 比 共5页,第4页
《宏观经济学》第 9 章习题 张 延 录 入 共 5 页，第 4 页。 (a)该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收 敛于这样一种情形：Y、K、L、A 和 R 均以不变(但不必相同)的速率增长？ 如果是这样，其增长率各为多少？若非如此，为什么？ (b)根据你的答案，土地存量不变，这一事实是否意味着：持续增长是不 可能的？请加以解释。 1.11 技术进步的体现。（来自索洛，1960 年，萨托，1966 年）关于技术进 步的一个观点是，t 时建造的资本品，其生产率决定于 t 时的技术状态，且不受 随后的技术进步的影响。这被称作被体现的技术进步（技术进步在提高产量之 前必须被体现于新资本品之中）。本题请你探讨其影响。 (a)作为第一步，我们修改基本索洛模型，以使技术进步为资本增进型，而 非劳动增进型。为使一平衡增长路径存在，假定生产函数为柯布—道格拉斯生 产函数：Y(t) = [K(t)A(t)] a L(t) 1-a ，假定 A 的增长率为μ：A˙ (t) = μA(t) ，证 明该经济收敛于一平衡增长路径，并求出平衡增长路径上 Y 和 K 的增长率。（提 示：我们可把 Y／(Aφ L) 写为 K／(Aφ L) 的一个函数，其中φ= a／(1-a) 。然后 分析 K／(Aφ L) 的动态学。） (b)现在考虑被体现的技术进步。令生产函数为 Y(t) = J(t) a L(t) 1-a ，其中 J(t) 为有效资本存量。J(t) 的动态学由 J ˙ (t)= s A(t) Y(t) - δJ(t) 给定，此表达式中 A(t) 项的出现意味着 t 时投资的生产率取决于 t 时的技术。证明这一经济收敛于一平 衡增长路径。在此平衡增长路径上 Y 和 J 的增长率是多少？（提示：令 Jˉ (t) = J(t)／A(t) 。然后用(a)问的方法，着重考虑 Jˉ ／(Aφ L) 而非 K／(Aφ L)。） (c)平衡增长路径上产量对 s 的弹性是多少？ (d)在平衡增长路径的邻近，经济向平衡增长路径收敛得有多快？ (e)将从(c)和(d) 问中所得结果跟基本索洛模型中的相应结果作一对 比
《宏观经济学》第9章习题张延录入 1.12、考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济。假定将95节所述的增长因 素分析方法用于此经济 (a在每工人平均产量的增长率中,增长因素分析认为多大比例是由于每 工人平均资本的增长?多大比例是由于技术进步 (b你如何把你从(a)中得出的结论与如下情况相调和:索洛模型表明 平衡增长路径上每工人平均产量增长率唯一地决定于技术进步率。 共5页,第5页
《宏观经济学》第 9 章习题 张 延 录 入 共 5 页，第 5 页。 1.12、考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济。假定将 9.5 节所述的增长因 素分析方法用于此经济。 (a)在每工人平均产量的增长率中，增长因素分析认为多大比例是由于每 工人平均资本的增长？多大比例是由于技术进步？ (b)你如何把你从(a)中得出的结论与如下情况相调和：索洛模型表明， 平衡增长路径上每工人平均产量增长率唯一地决定于技术进步率